54动量矩和动量矩守恒定律

1 4
mv0l

J
l
因为 J 1 Ml 2
3
m v0
v
所以 3mv0l 9mv0
4J 4Ml
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32
第5章 刚体力学基础 动量矩
例8 质量分别为 M1、M2 , 半径分别为R1 、R2的
两均匀圆柱,可分别绕它们本身的轴转动,二轴平
行。原来它们沿同一转向分别以10 ,20 的角速

cosd
0
0
R
O
A
θ
FN
v
B
P
L mR3/2 2g sin 1/2
L mR2 2g sin
R
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24
第5章 刚体力学基础 动量矩
例3 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M , 半 径为R的行星。当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时, 以速度 v0发射一质量为 m 的仪器。 要 使该仪器恰好掠过行星表面。
积分，得
冲量矩
t2
t1
M

dt

L2

L1
——质点动量矩定理的积分形式。
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12
第5章 刚体力学基础 动量矩
t2
t1
M
dt

L2

L1
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动
量的增量。
说明
(1) 冲量矩是力矩的时间积累,是质点动量 矩变化的原因。
(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积 累结果。
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13
第5章 刚体力学基础 动量矩
2. 质点动量矩守恒定律
质点动量矩定理
M

dL
dt
若M 0，则
L 常矢量
—— 质点动量矩守恒定律。
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14
第5章 刚体力学基础 动量矩
讨论 (1) 守恒条件
M 0
F 0
F过O点
L rp mrv
L
p
o
m r
mr2 J
(4) 动量矩的定义并没有限定质点只能作曲 线运动而不能作直线运动。
(5) 单位: kgm2/s
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8
第5章 刚体力学基础 动量矩
2. 刚体绕定轴转动的动量矩 质点对 z 轴的动量矩
Lz mvr mr2
求: 发射角θ及着陆滑行时的速度v 多大？
m
v0 ? r0
v?
R
OM
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25
第5章 刚体力学基础 动量矩
解: 引力场（有心力）
系统的机械能守恒
1 2
mv02

GMm r0

1 2
mv2

GMm R
质点的动量矩守恒 mv0r0sin( π ) mvR
sin

30
第5章 刚体力学基础 动量矩
例6 一均质棒,长度为 L,质量为M,现有一子弹
在距轴为 y 处水平射入细棒,子弹的质量为 m , 速度为 v0 。
求: 子弹细棒共同的角速度 。
解: 子弹、细棒系统的动量矩守恒
mv0 y J
y
其中
J

J棒

J子

1 ML2 3

my2
v0
源自文库 mv0 y
1 ML2 my2 3
m

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31
第5章 刚体力学基础 动量矩
例7 如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射 入一静止悬于顶端长棒的下端, 穿出后速度损 失3/4, 已知棒长为 l, 质量为M 。
求: 子弹穿出后棒的角速度 。
解: 选取子弹和棒为系统,
其动量矩守恒
M
mv0l

动量矩守恒定律
1. 动量矩定理 质点的动量矩定理
M＝
dL
dt
刚体内任一质量元所受力矩


Mi Mi外 Mi内
刚体内所有质量元所受力矩


i
Mi


i
dLi
dt
Mi (Mi外 Mi内) M外
M ij
i
i
i ji
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刚体定轴转动动量矩定理积分形式:
t2
t1
M
z
dt

2 d
1
J
J2 J1 L2 L1 L
t2
t1
M
z
dt

L
定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其
动量矩的增量。
讨论 J 不变时 L J 2 J 1
J 改变时 L J2 2 J1 1
r
mv
mv
但是 r mv 常数
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2
第5章 刚体力学基础 动量矩
例子: 开普勒行星运动定律的面积定律:
行星在相等的时间内扫过相等的面积。
S

1 2
r

p1
p2
s in
1 rvt sin
2

LL


mv p2 v mv
r
rr
p1
S 1 rv sin 常数
rA
vB
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第5章 刚体力学基础 动量矩
因为
rA 6370 439 6809km
rB 6370 2384 8754km
固有
vB

rA rB
vA
68098.12 6.32km/s 8754
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28
第5章 刚体力学基础 动量矩
第5章 刚体力学基础 动量矩


而 Mij M ji

Mij 0
M

M外

d Lz dt
i
ji
对定轴转动的刚体, Jz 为常量, Lz J z
dLZ dt

JZ
d
dt

JZ
Mz
dLZ dt
Mz
或
Mzdt dLz dJ
——刚体定轴转动的动量矩定理微分形式。
质点L相对r于 原p 点 r的 动m量v 矩 大小： L rmvsin
L
z
v
rm
xo
y
L
v

r
方向: 符合右手螺旋法则。
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6
第5章 刚体力学基础 动量矩
讨论
(1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢
有关 (取决于固定点的选择) 。
(2) 在 直角坐 标系中的分量式
1 4
1
3GM 2Rv02
1/ 2
v
v0r0sin
R
4v0sin
v

v0
1

3GM 2Rv02
1/
2
m
v0 ? r0
v?
R
OM
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例4 设人造地球卫星引力作用下沿着平面椭圆轨
道运动，地球中心可以看着固定点，且为椭圆轨
动,卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具 有独特作用。 因此, 必须引入一个新的物理 量 — 动量矩 L, 来描述这一现象。
卫星
地球
+
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5
第5章 刚体力学基础 动量矩
一、动量矩
1. 质点的动量矩( 对O点 )
速刻度相质对v 量原在为点空O间m的运位的动矢质, 为点某以时r ,
例5 如图，质量为m的小球系在绳子的一端，
绳穿过一 铅直套管，使小球以速度v0绕管心 作半径为r0的四周运动, 然后向下拉绳, 使小 球运动的轨迹最后成为半径为r1的圆。 求（1）小球距管心为r1时速度v的大小； （2）由r0缩短到r1过程中，力F 所做的功。
解 小球受到的是有心力，根据 质点的动量矩守恒，故有
刚体上任一质量元对 z 轴 的动量矩为
Lzi Δmviri
Δmri2
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z

LLi
OO

rri
vvi
mmi
9
第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体上任一质量元对 z 轴的
动量矩具有相同的方向。
z
Lz Δmiviri
i
Δmiri2 JZ
i
度匀速转动, 然后平移二轴使它们的边缘相接触, 如图所示。 求: 最后在接触处无相对滑动时, 每
r xi yj zk

mv mvxi mvy j mvzk
i
jk
Lx ypz zp y
L x y z
Ly zpx xpz
mvx mvy mvz
Lz xp y ypx
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7
第5章 刚体力学基础 动量矩
(3) 当质点作圆周运 动时： 质点以角速度ω 作半径为r 的圆运动，相 对圆心的动量矩的大小
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第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体定轴转动中, 动量矩定理与转动定律的关系
M dL d (J) J d J
dt dt
dt
M J
刚体定轴转动的转动定律实质是动量矩 定理沿固定轴方向分量式的一种特殊形式。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距 离分别为d1 、d2 、 d3 。
求: 此时质点对三个参考点的动量矩的大小。
解: LA d1mv LB d1mv
d1 A
m

v
d2
d3
LC 0
B
C
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例2半径为R 的光滑圆环上A点有一质量为m 的 小球, 从静止开始下滑, 若不计摩擦力。 求: 小球到达B点时对O的动量矩和角速度。
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.4 动量矩和动量矩守恒定律
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理。
力矩的时间累积效应 冲量矩、动量矩、动量矩定理。
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1
第5章 刚体力学基础 动量矩
动量矩的引入：
在质点的匀速圆周运动中,动量
mv
不守恒。
mv mv
rr
L


mv r rr
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第5章 刚体力学基础 动量矩
2. 刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律
对定轴转动刚体
若Mz 0
Lz 0 Jω 常量 即L 0
动量矩L不变的含义:
z
刚体: J 不变 , 则 不变。
rk
非刚体:因 J 可变,则 J 乘积不变。
mk
变形体绕某轴转动时, 若 M z 0
解: 小球受重力矩作用, 由动量矩定理：
M mgRcos dL
dt
L mvR mR2 mR2 d
dt
mR c os
L

dL
mR2d
R
O
A
θ
FN
v
B
P
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第5章 刚体力学基础 动量矩
即
LdL m2gR3 cosd
积分
L LdL m2gR3
(2) 向心力的角动量守恒。 F过O点
(3) 自然界普遍适用的一条基本规律。
(4) 质点对轴的动量矩守恒定律: 若 Mz=0, 则Lz =常数。即若力矩在某轴上的分量为零 (或力对某轴的力矩为零)，则质点对该轴的动 量矩守恒。
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15
第5章 刚体力学基础 动量矩
三、 刚体绕定轴转动下的动量矩定理和
道的焦点,如图所示。卫星的近地点A离地面的距
离为439km, 远地点B离地面的距离为2384km。
已知卫星在近地点的速度为vA=8.12kms-1, 求卫星 在远地点B的速度大小。设地球的平均半径为
R=6370km。
解 以卫星为研究对象，根据 vA
rB
质点动量矩守恒定律，有
Ro
O1
B
mvBrB mvArA

mv
dL d r mv
dt dt
vmv 0

r

d(mv)

dr

mv
dt dt
rF M
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11
第5章 刚体力学基础 动量矩
M

dL


Mdt dL
dt
—— 质点动量矩定理的微分形式。
作用在质点上的力矩等于质点动量矩对时间的 变化率。此即质点对固定点的动量矩定理。
则变形体对该轴的动量矩 Lz Jkk C
k
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20
第5章 刚体力学基础 动量矩
动量矩守恒举例
J t ω 常量
J t ω J t ω
花样滑冰、跳水、芭蕾舞等.
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21
第5章 刚体力学基础 动量矩
例1一质点m,速度为 v ,如图所示,A、B、C
r0
o
r1
v0
mv0r0 mvr1
F
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29
第5章 刚体力学基础 动量矩
mv0r0 mvr1
所以
v

v0
(
r0 r1
)
r0
o
r1
v0
根据动能定理，力 F 做的功为 F
A

1 2
mv02
(
r0 r1
)2

1 2
mv02

1 2
mv02[(
r0 r1
)2
1]
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(所有质元对 z 轴的角动量之和)

LLi
OO

rri
vvi
mmi
说明 动量矩与质点动量
P

mv
对比:
Jz — m， — v 。
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10
第5章 刚体力学基础 动量矩
二、 质点的动量矩定理和动量矩守恒定律
1.质点的动量矩定理
已知
L

r

P
,

P
实再t 例考2都虑说到明行星r的质mv量 是m为一恒个量独，立r的 m物v理量常数。
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3
第5章 刚体力学基础 动量矩
开普勒第二定律(面积定律): 行星在相等的时间内扫过相等的面积。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
r mv 在描述行星的轨道运动, 自转运