江苏省扬州中学2024学年高三5月底高考模拟考试数学试题

江苏省扬州中学2024学年高三5月底高考模拟考试数学试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ）
A ．32
B ．32-
C ．23
D ．23
- 2．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）
A ．1-
B ．23
C ．32
D ．4
3．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）
A ．55
B ．500
C ．505
D ．5050
4．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）
A ．5?n ≤
B ．6?n ≤
C ．7?n ≤
D ．8?n ≤
5．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
6．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B=
A ．{}1
B ．{}0,1
C ．{}1,2
D ．{}0,1,2
7．函数()1cos f x x x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知33a =1b e -=，3ln 2
8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b c a >>
D ．b a c >>
9．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线22221
2x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）
A ．33y x =±
B ．3y x =±
C ．22
y x =± D ．2y x =± 10．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）
A ．(1,0)-
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(2,3)
11．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“
1x y <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
12．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.
A ．5.45
B ．4.55
C ．4.2
D ．5.8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若4cos()45
π
α-=，则sin 2α=__________． 14．若函数32,0()log ,0
x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，则411[(log )]33f f 的值为______. 15．设全集U =R ，{|31,}A x x x Z =-<≤∈，{}2|20,B x x x x R =--≥∈，则U A B =______.
16．实数,x y 满足2201020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =+的最大值为_____．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数2()cos 2a f x x x =+（a ∈R ），()f x '是()f x 的导数. （1）当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '在区间0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭存在唯一的极小值点； （2）已知函数42(2)3y f x x =-
在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围. 18．（12分）在三棱锥
中，为棱的中点， (I )证明：
； (II )求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）如图，已知在三棱台111ABC A B C -中，22AC AB ==，3BC =，111A B BB ⊥.
（1）求证：1AB CC ⊥；
（2）过AB 的平面ABDE 分别交11B C ，11A C 于点D ，E ，且分割三棱台111ABC A B C -所得两部分几何体的体积比为1114:3AA E BB ABC BDC D V V --==，几何体1ABC EDC -为棱柱，求11A B 的长.
提示：台体的体积公式()
13V S S S S h ''=（S '，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高）. 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线()10y kx k =+≠与抛物线C ：()2
40x py p =>交于A ，B 两点，且当1k =时，8AB =.
（1）求p 的值；
（2）设线段AB 的中点为M ，抛物线C 在点A 处的切线与C 的准线交于点N ，证明：//MN y 轴.
21．（12分）已知动点M 到定点()1,0的距离比到y 轴的距离多1.
（1）求动点M 的轨迹C 的方程；
（2）设A ，B 是轨迹C 在()0x ≥上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且3π
αβ+=时，证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.
22．（10分）在等比数列{}n a 中，已知11a =，418a =
.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b =-，112n n n a b S -+=-（2n ≥，n *∈N ）.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列； （3）是否存在等差数列{}n c ，使得对任意n *∈N ，都有n n n S c a ≤≤？若存在，求出所有符合题意的等差数列{}n c ；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解题分析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.
【题目详解】
依题意，()()183********
a a a a S ++=
==，故364a a +=，故33a =，故63233a a d -==-，故选：D ． 【题目点拨】
本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
2．D
【解题分析】
模拟程序运行，观察变量值的变化，得出S 的变化以4为周期出现，由此可得结论．
【题目详解】
234,1;1,2;,3;,4;4,532S i S i S i S i S i ===-=======；如此循环下去，当2020i =时，3;4,20212
S S i ===，此时不满足2021i <，循环结束，输出S 的值是4.
故选：D ．
【题目点拨】
本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论． 3．C
【解题分析】 因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2
123()n f n n
+++⋅⋅⋅+=，即得解. 【题目详解】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，
又n 阶幻方有n 行（或n 列）， 因此，2
123()n f n n
+++⋅⋅⋅+=， 于是12399100(10)50510
f +++⋅⋅⋅++=
=． 故选：C
【题目点拨】
本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
4．B
【解题分析】
试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值，并输出满足循环的条件．
解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值，
并输出满足循环的条件．
∵S=2+22+…+21=121，
故①中应填n≤1．
故选B
点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
5．B
【解题分析】 根据抛物线定义得62p AF =+
，即可解得结果. 【题目详解】 因为262
p AF p ==+
，所以4p =. 故选B
【题目点拨】
本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．A
【解题分析】
先解A 、B 集合，再取交集。

【题目详解】 ()2002x x x -<⇒<<,所以B 集合与A 集合的交集为{}1，故选A
【题目点拨】
一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。

7．D
【解题分析】 因为1
1()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x
-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ
=-=--<，故选D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
8．D
【解题分析】
构造函数()ln x f x x
=
，利用导数求得()f x 的单调区间，由此判断出,,a b c 的大小关系. 【题目详解】
依题意，
得ln 33a ==，1ln e b e e -==，3ln 2ln888c ==.令ln ()x f x x
=，所以21ln '()x f x x -=.所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.所以max 1[()]()f x f e b e ==
=，且(3)(8)f f >，即a c >，所以b a c >>.故选：D.
【题目点拨】
本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题. 9．A
【解题分析】
由题意可得222222a b a b -=+，即2
23a b ，代入双曲线的渐近线方程可得答案.
【题目详解】 依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22
221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22
221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122
a b a b -=+， 即223a b
，∴b a =
3=
双曲线的渐近线方程为：3
x y x =±=, 故选：A ．
【题目点拨】
本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 10．B
【解题分析】
由函数f (x )的图象可知，0＜f (0)＝a ＜1，f (1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.
又f ′(x )＝2x －b ，所以g (x )＝e x ＋2x －b ，所以g ′(x )＝e x ＋2＞0，所以g (x )在R 上单调递增，
又g (0)＝1－b ＜0，g (1)＝e ＋2－b ＞0，
根据函数的零点存在性定理可知，函数g (x )的零点所在的区间是(0，1)，
故选B.
11．D
【解题分析】
x y <，不能得到1x y <， 1x y
<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【题目详解】
因为x ，y R ∈， 当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x y
=>， 故x y <时，1x y
<不成立， 当1x y
<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“
1x y
<”的既不充分也不必要条件， 故选：D
【题目点拨】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
12．B
【解题分析】
如图，已知10AC AB +=，3BC =，2229AB AC BC -==
∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -= ，
∴100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩
. ∴折断后的竹干高为4.55尺
故选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．725
【解题分析】 因为4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由二倍角公式得到21cos(2)2cos ()2
4παπα+--= 1sin 216225a +== ，故得到 7sin225
α= ． 故答案为7sin225
α=． 14．12
- 【解题分析】 根据题意，由函数的解析式求出41(log )3
f 的值，进而计算可得答案．
【题目详解】 根据题意，函数3
2,0,()log ,0.x x f x x x -⎧=⎨>⎩，
则4421(log )(log 3)(log 3f f f =-=-=
则43111[(log )]log 332
f f f ===-； 故答案为：12
-. 【题目点拨】
本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力． 15．{0,1}
【解题分析】
先求出集合A ，B ，然后根据交集、补集的定义求解即可．
【题目详解】
解：{2,1,0,1}A =--，{|1B x x =≤-或2}x ≥；
∴{|12}U x x B =-<<；
∴{0,1}U A B ⋂=．
故答案为：{0,1}．
【题目点拨】
本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．
16．
52
． 【解题分析】
画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值. 【题目详解】
解：作出可行域，如图所示，
则当直线2z x y +＝过点C 时直线的截距最大，z 取最大值．
由1202
103
2x x y x y y ⎧=
⎪+-=⎧⎪⇒⎨
⎨-+=⎩⎪=⎪⎩13(,),22C ∴同理(0,2),B (1,0),A - 5
2C z ∴=
，2B z =，2A z =- 5
2
c z ∴=取最大值．
故答案为：
52
． 【题目点拨】
本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）见解析；（2）1a ≤ 【解题分析】 （1）设1()()cos g x h x x x '==-，'21()sin g x x x -=+，注意到'()g x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单增，再利用零点存在性定理即可解决；
（2）函数42(2)3y f x x =-
在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则'0y ≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即342sin 203ax x x --≤在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立，构造函数3
4()2sin 23
m x ax x x =--，求导讨论()m x 的最值即可. 【题目详解】
（1）由已知，'
()sin f x x x =-，所以()ln sin h x x x =-， 设'
1()()cos g x h x x x ==
-，'21
()sin g x x x
-=+， 当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，'
()g x 单调递增，而(1)0g '
<，'
02g π⎛⎫>
⎪⎝⎭，且'
()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上图象连续 不断.所以'
()g x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上有唯一零点α，
当(0,)x α∈时，'
()0g x <；当,
2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭
时，'
()0g x >； ∴()g x 在(0,)α单调递减，在,
2απ⎛⎫ ⎪⎝
⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上存在唯一的极小
值点，即()h x '
在区间0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上存在唯一的极小值点； （2）设()sin k x x x =-，[)0,x ∈+∞，()1cos 0k x x '=-≥， ∴()k x 在[)0,+∞单调递增，()(0)0k x k ≥=， 即sin x x ≥，从而sin 22x x ≤， 因为函数42(2)3y f x x =-
在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴34()2sin 203m x ax x x =--
≤在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立， 令'
2
()22cos24()m x a x x p x =--=， ∵sin 22x x ≤，
∴'
()4sin 280p x x x =-≤，
'()m x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，''max ()(0)22m x m a ==-，
当1a ≤时，'
()0m x ≤，则()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，()(0)0m x m ≤=，符合题意.
当1a >时，'
()m x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减， '
(0)220m a =->所以一定存在00,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
当00x x ≤<时，()0m x '
>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=
与题意不符，舍去.
综上，a 的取值范围是1a ≤ 【题目点拨】
本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题. 18． (I )证明见解析；(II ) 【解题分析】 (I ) 过作于，连接
，根据勾股定理得到
，得到平面
，得到证明.
(II ) 过点作于，证明平面
，故
为直线
与平面
所成角，计算夹角得到答案.
【题目详解】 (I )过作
于，连接
，根据角度的垂直关系易知：
，
，，故
，
，
.
根据余弦定理：，解得，故，
故，，
，故
平面
，
平面
，
故
.
(II )过点作
于， 平面，平面，故
，，
，
故
平面
，故
为直线
与平面
所成角，
，根据余弦定理：
，
故
.
【题目点拨】
本题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19．（1）证明见解析；（2）2 【解题分析】
（1）在ABC ∆中，利用勾股定理，证得AB BC ⊥，又由题设条件，得到1AB BB ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面11BCC B ，进而得到1AB CC ⊥；
（2）设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为h 1
2
S S '=，得到111
2
AB A B =，即可求解. 【题目详解】
（1）由题意，在ABC ∆中，22AC AB ==，3BC =， 所以222AB BC AC +=，可得AB BC ⊥， 因为111A B BB ⊥，可得1AB BB ⊥. 又由1BC
BB B =，BC ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，
因为1CC ⊂平面11BCC B ，所以1AB CC ⊥.
（2）因为111:4:3AA E BB D ABC EDC V V --=，可得1111:7:3ABC A B C ABC EDC V V --=， 令ABC S S ∆'=，111A B C S S ∆=，
设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为h ，
则
()
1111
1
7
33
ABC A B C ABC EDC S S h
V V S h --'⋅=='⋅
，整理得60S S '=，
即610S S '-=
12=，即
11
12AB A B =， 又由1AB =，所以112A B =. 【题目点拨】
本题主要考查了直线与平面垂直的判定与应用，以及几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及熟练应用几何体的体积公式进行求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 20．（1）1；（2）见解析 【解题分析】
（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线和抛物线方程，得2
440x px p --=，写出韦达定理，根据弦长公式，即可求
出1p =； （2）由214y x =
，得1
2
y x '=，根据导数的几何意义，求出抛物线在点A 点处切线方程，进而求出N M x x =，即可证出//MN y 轴. 【题目详解】
解：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，
将直线l 代入C 中整理得：2
440x px p --=，
∴124x x p +=，124x x p =-，
∴
8AB =
==，
解得：1p =.
（2）同（1）假设()11,A x y ，()22,B x y ， 由214y x =
，得1
2
y x '=，
从而抛物线在点A 点处的切线方程为()211111
42
y x x x x -=-， 即21111
24
y x x x =
-， 令1y =-，得211
42N x x x -=，
由（1）知124x x -=，从而211212
122
N M x x x x x x x x ++=
==， 这表明//MN y 轴. 【题目点拨】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程，考查转化思想和计算能力.
21．（1）2
4y x =或()00y x =<；（2
）证明见解析，定点4,
3⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
【解题分析】
（1）设(,)M x y
||1x =+，对x 的正负分情况讨论，从而求得动点M 的轨迹C 的方程； （2）设其方程为y kx b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到4tan
3
4b k π
=
-
，所以443b k k =+=+，
所以直线AB
的方程可表示为43
y kx k =++
，即(4)y k x =+，所以直线AB
恒过定点(-． 【题目详解】 （1）设(),M x y ，
动点M 到定点()1,0的距离比到y 轴的距离多1，
1x =+，0x ≥时，解得2
4y x =，
0x <时，解得0y =.
∴动点M 的轨迹C 的方程为24y x =或()00y x =<
（2）证明：如图，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且120x x ≠， 所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，
将y kx b =+与24y x =联立消去x ，得2440ky y b -+=， 由韦达定理知124
y y k
+=
，124b y y k =，①
显然2
114
y x =，2
224y x =，
3
παβ+=，()()12124tan tan tan tan 31tan tan 16y y y y π
αβαβαβ++∴=+==--， 将①式代入上式整理化简可得：4
tan
3
4b k
π
=
-，
所以4434433
b k k =
+=+，
此时，直线AB 的方程可表示为43
43
y kx k =+
+， 即()43
43
y k x =++
， 所以直线AB 恒过定点434,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭.
【题目点拨】
本题主要考查了动点轨迹，考查了直线与抛物线的综合，是中档题．
22．（1）1
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
（2）见解析（3）存在唯一的等差数列{}n c ，其通项公式为0n c =，n *∈N 满足题设
【解题分析】
（1）由11a =，418
a =可得公比q ，即得；（2）由（1）和112n n n a
b S -+=-可得数列{}n b 的递推公式，即可知
11n n n n b b a a ++-结果为常数，即得证；（3）由（2）可得数列{}n b 的通项公式，()112n n n S a b ++=-+，设出等差数列{}n c ，再根据不等关系n n n S c a ≤≤来算出{}n c 的首项和公差即可.
【题目详解】
（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =，418
a =
，所以3
18q =，解得12q =.
所以数列{}n a 的通项公式为：1
12n n a -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
.
（2）由（1）得，当2n ≥，n *
∈N 时，可得1
1
11
22
n n n b S --⎛⎫+=- ⎪⎝⎭①，
11122n
n n b S +⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
②
②-①得，11122n
n n b b +⎛⎫-= ⎪⎝⎭
， 则有1
1
1
1122n n n
n b b +--
=⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，即
111n n
n n
b b a a ++-=，2n ≥，n *∈N . 因为11b =-，由①得，20b =，所以
()21
21011b b a a -=--=， 所以
111n n
n n
b b a a ++-=，n *∈N . 所以数列n n b a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以1-为首项，1为公差的等差数列. （3）由（2）得2n n b n a =-，所以122n n n b --=，()112n n n S a b ++=-+11122
22n n n n n --⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭. 假设存在等差数列{}n c ，其通项n c dn c =+， 使得对任意n *∈N ，都有n n n S c a ≤≤， 即对任意n *∈N ，都有11
1
22n n n dn c ---
≤+≤.③ 首先证明满足③的0d =.若不然，0d ≠，则0d >，或0d <. （i ）若0d >，则当1c n d ->，n *∈N 时，11
12
n n n c dn c a -=+>≥=， 这与n n c c ≤矛盾.
（ii ）若0d <，则当1c
n d
+>-
，n *∈N 时，1n c dn c =+<-.
而1111
0222n n n n n
n n n S S +-+--=-
+=≥，123S S S =<<，所以11n S S ≥=-.
故1n n c dn c S =+<-≤，这与n n S c ≤矛盾.所以0d =. 其次证明：当7x ≥时，()()1ln 22ln 0f x x x =-->.
因为()11
ln 2ln 207
f x x '=-
>->，所以()f x 在[)7,+∞上单调递增， 所以，当7x ≥时，()()64
76ln 22ln 7ln 049
f x f ≥=-=>. 所以当7n ≥，n *∈N 时，122n n ->. 再次证明0c
.
（iii ）若0c <时，则当7n ≥，1n c
>-，n *∈N ，112n n n S c n
-=->->，这与③矛盾. （iv ）若0c >时，同（i ）可得矛盾.所以0c
.
当0n c =时，因为1102n n n S --=≤，1
102n n a -⎛⎫=> ⎪
⎝⎭
，
所以对任意n *∈N ，都有n n n S c a ≤≤.所以0n c =，n *∈N .
综上，存在唯一的等差数列{}n c ，其通项公式为0n c =，n *∈N 满足题设. 【题目点拨】
本题考查求等比数列通项公式，证明等差数列，以及数列中的探索性问题，是一道数列综合题，考查学生的分析，推理能力.。