2016高中数学人教B版必修5第3章不等式3.1第2课时同步练习

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人教版高中数学必修五 第三章3.1第2课时不等式的性质与应用

人教版高中数学必修五 第三章3.1第2课时不等式的性质与应用

第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时不等式的性质与应用A 级 基础巩固一、选择题1.若a >0,b >0,则不等式-b <1x <a 等价于( )A .-1b <x <0或0<x <1aB .-1a <x <1bC .x <-1a 或x >1bD .x <-1b 或x >1a解析:由题意知a >0,b >0,x ≠0, (1)当x >0时,-b <1x <a ⇔x >1a ;(2)当x <0时,-b <1x <a ⇔x <-1b.综上所述,不等式-b <1x <a ⇔x <-1b 或x >1a .答案:D2.设0<b <a <1,则下列不等式成立的是( ) A .ab <b 2<1 B .log 12b <log 12a <0C .2b <2a <2D .a 2<ab <1答案:C3.已知实数x,y,满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-y 的取值范围是()A.[-7,26] B.[-1,20]C.[4,15] D.[1,15]答案:B4.已知a<b<0,那么下列不等式成立的是()A.a3<b3B.a2<b2C.(-a)3<(-b)3D.(-a)2<(-b)2解析:取a=-2.b=-1.验证知B,C,D均错,故选A.答案:A5.如下图所示,y=f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系,y=g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系,当销量x满足下列哪个条件时,该公司盈利()A.x>a B.x<aC.x≥a D.0≤x≤a解析:当x<a时,f(x)<g(x);当x=a时,f(x)=g(x);当x>a 时,f(x)>g(x),故选A.答案:A二、填空题6.若x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by,④x-b>y-a这四个式子中,恒成立的序号是________. 答案:②④7.若角α,β满足-π2<α<β<π3,则α-β的取值范围是________.答案:(-56π,0)8.设x >1,-1<y <0,试将x ,y ,-y 按从小到大的顺序排列如下________.答案:y <-y <x 三、解答题9.已知a >b >0,c <d <0,判断b a -c 与ab -d 的大小.解:因为a >b >0,c <d <0,所以-c >-d >0,所以a -c >b -d >0, 所以0<1a -c <1b -d,又因为a >b >0,所以b a -c <ab -d.10.已知0<x <1,0<a <1,试比较|log a (1-x )|和 |log a (1+x )|的大小.解:法一:|log a (1-x )|2-|log a (1+x )|2=[log a (1-x )+log a (1+x )]·[log a (1-x )-log a (1+x )]=log a (1-x )2log a 1-x 1+x.因为0<1-x 2<1,0<1-x1+x<1,所以log a (1-x 2)log a 1-x1+x>0.所以|log a (1-x )|>|log a (1+x )|.法二:⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1-x )log a (1+x )=|log 1+x (1-x )|= -log 1+x (1-x )=log 1+x 11-x =log 1+x 1+x 1-x 2=1-log 1+x (1-x 2). 因为0<1-x 2<1,1+x >1, 所以log 1+x (1-x 2)<0. 所以1-log 1+x (1-x 2)>1. 所以|log a (1-x )|>|log a (1+x )|. 法三:因为0<x <1,所以0<1-x <1,1<1+x <2, 所以log a (1-x )>0,log a (1+x )<0. 所以|log a (1-x )|-|log a (1+x )|= log a (1-x )+log a (1+x )=log a (1-x 2). 因为0<1-x 2<1,且0<a <1, 所以log a (1-x 2)>0.所以|log a (1-x )|>|log a (1+x )|.B 级 能力提升1.对下列不等式的推论中: ①a >b ⇒c -a >c -b ; ②a >b +c ⇒(a -c )2>b 2; ③a >b ⇒ac >bc ;④a >b >c >0⇒(a -c )b >(b -c )b ;⑤a >b ,1a >1b ⇒a >0,b <0.其中正确的个数是( ) A .2 B .3 C .4 D .5 答案:A2.若-2<c <-1<a <b <1,则(c -a )(a -b )的取值范围为________.答案:(0,6)3.若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称,且1≤f (1)≤2;3≤f (2)≤4,求f (3)的取值范围.解:由题意设f (x )=ax 2+c (a ≠0),则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)=a +c ,f (2)=4a +c ,所以⎩⎨⎧a =f (2)-f (1)3,c =4f (1)-f (2)3,而f (3)=9a +c =3f (2)-3f (1)+4f (1)-f (2)3=8f (2)-5f (1)3,因为1≤f (1)≤2,3≤f (2)≤4, 所以5≤5f (1)≤10,24≤8f (2)≤32, 所以-10≤-5f (1)≤-5, 所以14≤8f (2)-5f (1)≤27, 所以143≤8f (2)-5f (1)3≤9,即143≤f (3)≤9.。

高中数学人教B版必修5习题 第3章 不等式 3.5 第3课时(含答案)

高中数学人教B版必修5习题 第3章 不等式 3.5 第3课时(含答案)

第三章 3.5 第3课时一、选择题1.已知O 为坐标原点,点M (3,1),若N (x ,y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≥0x +y ≤4,则OM →·ON →的最大值为( )A .6B .8C .10D .12[答案] D[解析] 目标函数为z =OM →·ON →=3x +y ,作出不等式组⎩⎨⎧x ≥1y ≥0x +y ≤4表示的可行域,如图所示.作出直线l 0:3x +y =0,再将直线l 0平移,当l 0的平行线l 1经过点A (4,0)时,z 取得最大值12,即OM →·ON →的最大值为12.2.设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤3x -y ≥-1y ≥1,则目标函数z =4x +2y 的最大值为( )A .12B .10C .8D .2[答案] B[解析] 画出可域如图中阴影部分所示,目标函数z =4x +2y 可转化为y =-2x +z2,作出直线y =-2x 并平移,显然当其过点A 时纵截距z2最大.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =3y =1得A (2,1),∴z max =10.3.变量x 、y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧2x +y ≥122x +9y ≥362x +3y =24x ≥0,y ≥0,则使z =3x +2y 最小的(x ,y )是( )A .(4,4)B .(3,6)C .(9,2)D .(6,4)[答案] B[解析] 检验法:将A 、B 、C 、D 四选项中x ,y 代入z =3x +2y 按从小到大依次为A 、B 、D 、C .然后按A →B →D →C 次序代入约束条件中,A 不满足2x +3y =24,B 、C 、D 全部满足,经检验,只有(3,6)使z =3x +2y 最小,故选B .4.已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x +y ≤4x +2y ≤4x ≥0,y ≥0,则z =x +y 的最大值是( )A .43B .83C .2D .4[答案] B[解析] 画出可行域为如图阴影部分.由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =42x +y =4,解得A (43,43),∴当直线z =x +y 经过可行域内点A 时,z 最大,且z max =83.5.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3 t 、B 原料2 t ;生产每吨乙产品要用A 原料1 t 、B 原料3 t .销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13 t ,B 原料不超过18 t ,那么该企业可获得最大利润是()A .12万元B .20万元C .25万元D .27万元[答案] D[解析] 设生产甲产品x t ,乙产品y t ,则获得的利润为z =5x +3y .由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,y ≥03x +y ≤132x +3y ≤18,可行域如图阴影所示.由图可知当x 、y 在A 点取值时, z 取得最大值,此时x =3,y =4, z =5×3+3×4=27(万元).6.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x +y |≤1|x -y |≤1表示的平面区域内整点的个数是( )A .0B .2C .4D .5[答案] D[解析] 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ |x +y |≤1|x -y |≤1变形为⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x +y ≤1-1≤x -y ≤1,即⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤1x +y ≥-1x -y ≤1x -y ≥-1作出其平面区域如图.可见其整点有:(-1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0,-1)和(1,0)共五个.二、填空题7.设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤1y ≤xy ≥0,则z =2x +y 的最大值是________.[答案] 2[解析] 可行域如图,当直线z =2x +y 即y =-2x +z 经过点A (1,0)时,z max =2.8.若实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥22x -y ≤4x -y ≥0,则2x +3y 的最小值是________.[答案] 4[解析] 画出可行域如图所示(图中阴影部分):当直线l 0平移到过A (2,0)点时,2x +3y 取最小值. (2x +3y )min =2×2+0=4. 三、解答题9.某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1 h 和2 h ,漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3 h 和1 h ;又知木工、漆工每天工作分别不得超过8 h 和9 h ,而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元,试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张,才能获得利润最大?[解析] 设每天生产A 型桌子x 张,B 型桌子y 张,则 ⎩⎪⎨⎪⎧x +2y ≤83x +y ≤9x ≥0,y ≥0(x ∈N ,y ∈N ),目标函数z =2x +3y .作出可行域如图所示.作直线l 0:2x +3y =0,平移直线l 0,当l 0经过可行域内的点M 时,目标函数z =2x +3y 取最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =83x +y =9,得M (2,3).答:每天应生产A 型桌子2张,B 型桌子3张才能获得最大利润.一、选择题1.若变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x +y ≤40x +2y ≤50x ≥0y ≥0,则z =3x +2y 的最大值是( )A .90B .80C .70D .40[答案] C[解析] 由⎩⎨⎧2x +y ≤40x +2y ≤50x ≥0y ≥0得可行域如图所示.将l 0:3x +2y =0在可行域内平行移动,移动到经过B 点时,z =3x +2y 取最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =502x +y =40,得B 点坐标为(10,20), ∴z max =3×10+2×20=70,故选C . 2.已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -5≤0x ≥1y ≥0x +2y -3≥0,则yx的最值是( )A .最大值是2,最小值是1B .最大值是1,最小值是0C .最大值是2,最小值是0D .有最大值无最小值[答案] C[解析] 作出不等式组⎩⎨⎧x +2y -5≤0x ≥1y ≥0x +2y -3≥0表示的平面区域如图.yx表示可行域内点与原点连线的斜率.显然在A (1,2)处取得最大值2.在x 轴上的线段BC 上时取得最小值0,∴选C .二、填空题3.若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥0x -y +3≥00≤x ≤3,则z =2x -y 的最大值为________.[答案] 9[解析] 约束条件⎩⎨⎧x +y ≥0x -y +3≥00≤x ≤3的可行域为如图所示.作l 0:y =2x 在平面域内平移到A (3,-3)处时,z 取最大值9. 4.已知点P (x ,y )的坐标,满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤4y ≥xx ≥1,点O 为坐标原点,那么|PO |的最小值等于__________,最大值等于__________.[答案]2 10[解析] 点P (x ,y )满足的可行域为△ABC 区域.A (1,1),C (1,3).由图可得,|PO |min =|AO |=2;|PO |max =|CO |=10.三、解答题5.某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x -11y ≥-222x +3y ≥92x ≤11,求目标函数z =10x +10y 的最大值.[解析] 画出不等式组⎩⎨⎧5x -11y ≥-222x +3y ≥92x ≤11表示的平面区域如图.由⎩⎪⎨⎪⎧x =1125x -11y =-22,解得A (112,92).而由题意知x 和y 必须是正整数.直线y =-x +z10由经过A 点向下平移经过的第一个整点为(5,4).∴z =10x +10y 的最大值为90.6. 关于x 的方程x 2+ax +2b =0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内,求b -2a -1的取值范围.[解析] b -2a -1可以转化为点(a ,b )与M (1,2)连线的斜率.由题知x 2+ax +2b =0两根在(0,1)与(1,2)内,可令f (x )=x 2+ax +2b .必满足f (0)>0、f (1)<0,f (2)>0,即⎩⎨⎧b >01+a +2b <02+a +b >0,由线性规划可知:点M (1,2)与阴影部分连线的斜率k 的取值范围为k AM <k <k BM , ∵A (-3,1)、B (-1,0), ∴14<b -2a -1<1.。

高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式同步练习 新人教B版必修5

高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式同步练习 新人教B版必修5

3.2 均值不等式1.若a>b>0,则下列不等式成立的是( ) A .a>b>a +b 2>ab B .a>a +b2>ab>bC .a>a +b 2>b>abD .a>ab>a +b2>b2.函数y =x(1-3x)(0<x<13)的最大值是( )A.4243 B.112 C.164 D.1723.已知x 、y∈R+,且x +4y =1,则x·y 的最大值为__________. 4.求证:24m +6m ≥24(m>0).答案:1.B2.B ∵0<x<13,∴0<1-3x<1.∴y =x(1-3x)=13×3x(1-3x)≤13·(3x +1-3x 2)2=112,当且仅当3x =1-3x ,即x =16时取等号.3.116 因为x ,y ∈R +,且x +4y =1, 所以xy =14x ·4y ≤14(x +4y 2)2=116,当且仅当x =4y =12时取等号.所以x ·y 的最大值为116.4.证明:∵m>0,由基本不等式, 得24m +6m≥224m ·6m=2144=24,当且仅当24m =6m ,即m =12时取等号.课堂巩固1.已知实数a ,b 满足a +b =2,则3a +3b 的最小值是( ) A .18 B .6 C .2 3 D .2432.某工厂产品第一年产量为A ,第二年的增长率为a ,第三年的增长率为b ,这两年的平均增长率为x ,则( )A .x =a +b 2B .x≤a +b 2C .x>a +b 2D .x≥a +b 23.已知x 、y 都是正数,(1)如果xy =15,则x +y 的最小值是________. (2)如果x +y =15,则xy 的最大值是________.4.正数a ,b 满足ab =a +b +3,则ab 的取值范围是__________. 5.已知x>2,求y =x +1x -2的最小值.6.已知a>0,b>0, 求证:(a +1a )(b +1b)≥4.答案:1.B ∵a +b =2,∴3a +3b ≥23a ·3b =23a +b =6,当且仅当a =b =1时取等号. 2.B 设平均增长率为x ,则第三年产量为A(1+x)2=A(1+a)(1+b),即(1+x)2=(1+a)(1+b).又(1+a)(1+b)≤(1+a +1+b2)2,∴1+x ≤2+a +b 2,即x ≤a +b2.3.(1)215 (2)2254 (1)x +y ≥2xy =215;(2)xy ≤(x +y 2)2=2254.4.[9,+∞) ∵a ,b 是正数,∴ab =a +b +3≥2ab +3,解得ab ≥3,即ab ≥9.5.解:∵x>2,∴x -2>0. y =x +1x -2=x -2+1x -2+2≥2(x -2)·1x -2+2=4.6.证明:因为a>0,b>0,由基本不等式,可知 a +1a ≥2,当且仅当a =1a ,即a =1时取等号;b +1b ≥2,当且仅当b =1b,即b =1时取等号. 因为上述两个不等式的两边均为正数,由不等式的性质,得(a +1a )(b +1b )≥4.1.已知x 、y>0且x +y =1,则p =x +1x +y +1y 的最小值为( )A .3B .4C .5D .6 1.答案:C 原式=x +x +y x +y +x +y y =3+y x +xy≥3+2=5.2.(天津高考,理6)设a>0,b>0.若3是3a 与3b 的等比中项,则1a +1b 的最小值为( )A .8B .4C .1 D.142.答案:B 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b =3⇒3a +b =3⇒a +b =1,∵a>0,b>0,∴ab ≤a +b 2=12⇒ab ≤14.∴1a +1b =a +b ab =1ab ≥114=4.3.点P(x ,y)是直线x +3y -2=0上的动点,则代数式3x +27y 有( )A .最大值8B .最小值8C .最小值6D .最大值6 3.答案:C ∵点P(x ,y)在直线x +3y -2=0上, ∴x +3y =2.∴3x +27y =3x +33y ≥23x ·33y =23x +3y =232=6. ∴代数式3x +27y 有最小值6.4.若直线ax +by +1=0(a ,b>0)过圆x2+y2+8x +2y +1=0的圆心,则1a +4b 的最小值为( )A .8B .12C .16D .20 4.答案:C ∵圆心坐标为(-4,-1), ∴-4a -b +1=0,即4a +b =1. ∴1a +4b =4a +b a +4(4a +b)b =8+b a +16a b ≥8+2b a ×16ab=16. (当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a =16a b,4a +b =1,即⎩⎪⎨⎪⎧a =18,b =12时“=”成立)5.设点(m ,n)在直线x +y =1位于第一象限内的图象上运动,则log2m +log2n 的最大值是________.5.答案:-2 由题意可知m>0,n>0,m +n =1, ∴log2m +log2n =log2mn ≤log2(m +n2)2=log214=-2,当且仅当m =n =12时取“=”.6.设x>0,则y =3-3x -1x 的最大值是________.6.答案:3-2 3 ∵x>0,∴3x +1x≥23x ·1x =23(当且仅当x =33时,等号成立).∴-(3x +1x )≤-2 3.∴3-3x -1x ≤3-23,即函数y =3-3x -1x的最大值是3-2 3.7.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站__________千米处. 7.答案:5 由已知得y1=20x,y2=0.8x(x 为仓库与车站的距离),费用之和y =y1+y2=0.8x +20x≥20.8x ·20x=8,当且仅当0.8x =20x ,即x =5时“=”成立.8.求f(x)=2+log2x +5log2x 的最值(0<x<1).8.答案:解:∵0<x<1,∴log2x<0. ∴(-log2x)+(-5log2x)≥2·(-log2x)·(-5log2x)=2 5.∴f(x)=2-[(-log2x)+(-5log2x )]≤2-25,当且仅当-log2x =-5log2x ,即log2x =-5时,等号成立.∴f(x)max =2-25,不存在最小值.9.求函数f(x)=-2x2+x -3x (x>0)的最大值,及此时x 的值.9.答案:解:f(x)=1-(2x +3x ).因为x>0,所以2x +3x ≥26,即-(2x +3x )≤-2 6.因此f(x)≤1-26,当且仅当2x =3x ,即x2=32时,式中等号成立.由于x>0,因此x =62时,式中等号成立.因此f(x)max =1-26,此时x =62.10.某商品进货价为每件50元,据市场调查,当销售价格每件x 元(50≤x≤80)时,每天销售的件数为p =105(x -40)2,若想每天获得的利润最多,则销售价为多少元?10.答案:解法一:利润=销售件数×(销售价格-进货价格).如何把目标函数整理成能使用基本不等式的形式是正确解题的关键. 由题意,知利润 S =(x -50)·105(x -40)2=(x -50)·105(x -50)2+20(x -50)+100=105(x -50)+100(x -50)+20.∵x -50≥0,∴(x -50)+100(x -50)≥20.∴S ≤10520+20=2 500,当且仅当(x -50)=100(x -50),即x =60或x =40(不合题意,舍去)时取等号.解法二:在基本不等式a +b 2≥ab 中,若a 、b 的形式比较复杂,也可采用换元法求最值.由题意知利润S =(x -50)·105(x -40)2.令x -50=t ,x =t +50(t ≥0), 则S =105t (t +10)2=105tt2+20t +100=105t +100t+20≤10520+20=2 500,当且仅当t =100t ,即t =10时取等号,此时x =60.答:当销售价格定为60元时,每天获得的利润最多.。

高二数学必修5(人教B版)第三章同步检测3-4

高二数学必修5(人教B版)第三章同步检测3-4

3.4 不等式的实际应用基础巩固一、选择题1.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,其销售量就减少20个,为获得最大利润,售价应定在( )A .每个95元B .每个100元C .每个105元D .每个110元[答案] A[解析] 设每个涨价x 元,则利润y =(x +10)(400-20x )=-20x 2+200x +4000,∴当x =20040=5时,y 取得最大值.故每个售价为95元时利润最大.2.在面积为S (S 为定值)的扇形中,当扇形中心角为θ,半径为r 时,扇形周长最小,这时θ、r 的值分别是( )A .θ=1,r =SB .θ=2,r =4S C .θ=2,r =3S D .θ=2,r =S[答案] D[解析] S =12θr 2⇒θ=2Sr2,又扇形周长P =2r +θr =2⎝ ⎛⎭⎪⎫r +S r ≥4S , 当P 最小时,r =Sr ⇒r =S ,此时θ=2.3.设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖),按交通规定车厢宽为2m,则车厢的最大容积是()A.(38-373)m3B.16m3C.42m3D.14m3[答案] B[解析]设长方体长为a m,高为h m,则有2a+2(2h)+2(ah)=32,即a+2h+ah=16,∴16≥22ah+ah,即(ah)2+22·ah-16≤0,解得0<ah≤22,∴ah≤8,∴V=2ah≤16.4.做一个面积为1m2,形状为直角三角形的铁架框,在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是() A.4.6m B.4.8mC.5m D.5.2m[答案] C[解析]设直角三角形两直角边长分别为x,y,则12xy=1,即xy=2.周长l=x+y+x2+y2≥2xy+2xy=(1+2)×2≈4.83,当且仅当x=y时取等号.考虑到实际问题,故选C.二、填空题5.光线透过一块玻璃,其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下,至少需这样的玻璃板________块.(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771)[答案]11[解析]设至少需要经过这样的n块玻璃板,则,(1-110)n<13,即n·lg910<lg13∴n>lg 1 3lg 910=-lg32lg3-1=-0.47712×0.4771-1≈10.45.又∵n∈N+,∴n=11.6.建造一个容积为8m3,深为2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低造价为__________元.[答案]1760[解析]设水池的底面长、宽分别为x m,y m,则2xy=8,xy=4.水池造价为z元.则z=120xy+2(2x+2y)×80=480+320(x+y)≥480+320×4=1760.三、解答题7.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧用砖墙,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元.计算:(1)仓库底面积S的最大允许值是多少?(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?[解析](1)设正面铁栅长x m,侧面长为y m,总造价为z元,则z=40x+2×45y+20xy=40x+90y+20xy,仓库面积S=yx.由条件知z≤3 200,即4x+9y+2xy≤320.∵x>0,y>0,∴4x+9y≥24x·9y=12xy.∴6S +S ≤160,即(S )2+6S -160≤0. ∴0<S ≤10,∴0<S ≤100. 故S 的最大允许值为100m 2.(2)当S =100m 2时,4x =9y ,且xy =100. 解之得x =15(m),y =203(m).答:仓库面积S 的最大允许值是100m 2,此时正面铁栅长15m. 8.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元,市场对此商品的需求量为5百台,销售的收入函数为R (x )=5x -12x 2(万元),(0≤x ≤5),其中x 是产品生产并售出的数量.(单位:百台)(1)把利润表示为年产量的函数.(2)年产量为多少时,企业所得利润最大? (3)年产量多少时,企业才不亏本.(不赔钱)? [解析] (1)设利润为y .则y =⎩⎪⎨⎪⎧R (x )-0.5-0.25x (0≤x ≤5)R (5)-0.5-0.25x (x >5),∴y =⎩⎨⎧-12x 2+4.75 x -0.5(0≤x ≤5)12-0.25x (x >5).(2)y =-12(x -4.75)2+10.78125∴x =4.75时即年产量为475台时企业所得利润最大.(3)要使企业不亏本,须y >0即⎩⎨⎧0≤x <5-12x 2+4.75 x -0.5>0或⎩⎪⎨⎪⎧12-0.25x >0x ≥5. 2.65<x <5或5≤x <48,即2.65<x <48. ∴年产量在265台至4800台时,企业才会不亏本.能力提升一、选择题1.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下:的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )A .计算机行业好于化工行业B .建筑行业好于物流行业C .机械行业最紧张D .营销行业比贸易行业紧张 [答案] B[解析] 就业情况=应聘人数招聘人数,计算机就业形式=215830124620>1,化工业就业形式=应聘人数70436<6528070436<1,则A 不合适.同理,建筑行业就业形式=应聘人数76516<6528076516<1,物流业就业形式=74570招聘人数>7457070436>1.2.某公司从2006年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施:基础工资的25%,到2008年底这位职工的工龄至少是() A.2年B.3年C.4年D.5年[答案] C[解析]设这位职工工龄至少为x年,400x+1600>10000·(1+10%)2×25%,即400x+1600>3025,即x>3.5625,所以至少为4年.二、填空题3.现有含盐7%的食盐水200克,生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水,设需要加入含盐4%的食盐水为x克,则x的取值范围是__________.[答案]100<x<400[解析]由题意可列式5%<7%×200+4%×x 200+x <6%,即5<1400+4x 200+x <6解得100<x <400.4.周长为2的直角三角形的面积的最大值为________. [答案] 3-2 2[解析] 设直角三角形的两直角边分别为a 、b ,斜边为c ,则直角三角形的面积S =12ab .由已知,得a +b +c =2,∴a +b +a 2+b 2=2, ∴2=a +b +a 2+b 2≥2ab +2ab =(2+2)ab , ∴ab ≤22+2=2-2,∴ab ≤(2-2)2=6-42, ∴S =12ab ≤3-22,当且仅当a =b =2-2时,S 取最大值3-2 2.三、解答题5.假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担,其中征税标准是每100元征税8元(叫做税率是8个百分点,即8%),计划收购m 万担,为了减轻农民负担,决定税率降低x 个百分点,预计收购量可增加2x 个百分点,要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%,试确定x 的取值范围.[解析] 税率降低后是(8-x )%,收购量为m (1+2x %)万担,税收为120m(1+2x %)(8-x )%万元,原来的税收为120m·8%万元.根据题意可得120m(1+2x %)(8-x )%≥120m·8%·78% 即x 2+42x -88≤0解之得-44≤x ≤2,又x >0,∴0<x ≤2 ∴x 的取值范围是(0,2].6.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x 、y (单位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8cm 2.问x 、y 分别为多少时用料最省?(精确到0.001m)[解析] 由题意得xy +14x 2=8,∴y =8-x 24x =8x -x4(0<x <42).于是,框架用料长度为l =2x +2y +2(22x ) =(32+2)x +16x ≥46+4 2. 当(32+2)x =16x ,即x =8-42时等号成立. 此时,x ≈2.343,y =22≈2.828.故当x 为2.343m ,y 为2.828m 时,用料最省.7.某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用为12万元,以后每年增加4万元,每年捕鱼收益50万元.(1)问第几年开始获利?(2)若干年后,有两种处理方案:①年平均获利最大时,以26万元出售该渔船;②总纯收入获利最大时,以8万元出售该渔船.问哪种方案最合算?[解析] 由题设知每年的费用是以12为首项,4为公差的等差数列.设纯收入与年数的关系为f(n),则f(n)=50n-[12+16+…+(8+4n)]-98=40n-2n2-98.(1)由f(n)>0得,n2-20n+49<0,∴10-51<n<10+51,又∵n∈N,∴n=3,4, (17)即从第3年开始获利;(2)①年平均收入=f(n)n=40-2(n+49n)≤40-2×14=12,当且仅当n=7时,渔船总收益为12×7+26=110(万元).②f(n)=-2(n-10)2+102.因此当n=10时,f(n)max=102,总收益为102+8=110万元,但7<10,所以第一种方案更合算.。

高中数学 第三章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法同步训练 新人教B版必修5-新人教B版高二必

高中数学 第三章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法同步训练 新人教B版必修5-新人教B版高二必

3.3一元二次不等式及其解法5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知2a+1<0,关于x 的不等式x 2-4ax-5a 2>0的解集是( ) A.{x|x >5a 或x <-a} B.{x|x <5a 或x >-a} C.{x|-a <x <5a} D.{x|5a <x <-a} 解析:x 2-4ax-5a 2>0⇒(x-5a )(x+a )>0.∵a<21-,∴5a<-a.∴x>-a 或x <5a.故选B.答案:B2.不等式x 2-x-2<0的解集是___________.解析:原不等式可以变化为(x+1)(x-2)<0,可知方程x 2-x-2=0的解为-1和2,所以,解集为:{x|-1<x <2}. 答案:{x|-1<x <2}3.不等式423--x x≤1的解集是___________.解析:423--x x ≤1,即423--x x -1≤0,4237--x x≤0.因为两实数的积与商是同号的,所以上述不等式同解于如下的不等式组:⎩⎨⎧≤--≠-.0)2)(37(,042x x x即⎪⎩⎪⎨⎧≥--≠.0)2)(37(,2x x x 所以,原不等式的解集为{x|x <2或x≥37}. 答案:{x|x <2或x≥37} 4.)1(-x x <0的解集为____________.解析:根据条件有⎩⎨⎧<->.01,0x x 即0<x <1,解集为:{x|0<x <1}.答案:{x|0<x <1}10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.已知不等式ax 2+bx+c >0的解集为{x|31-<x <2},则不等式cx 2+bx+a <0的解集为( ) A.{x|-3<x <21} B.{x|x <-3或x >21}C.{x|-2<x <31}D.{x|x <-2或x >31}解法一:ax 2+bx+c >0的解集为{x|31-<x <2}⇔3x 2-5x-2<0⇔-3x 2+5x+2>0.设a=-3k ,b=5k ,c=2k (k >0),则cx 2+bx+a <0⇔2kx 2+5kx-3k <0⇔2x 2+5x-3<0⇔-3<x <21,故选A.解法二:由题意知a <0,且a b -=(31-)+2,a c =(31-)×2,即a b =35-,a c =32-,而cx 2+bx+a <0⇔a c x 2+a b x+1>0⇔32-x 235-x+1>0⇔2x 2+5x-3<0⇔-3<x <21,所以应该选A.答案:A2.下列不等式中,解集是R 的是( )A.x 2+2x+1>0 B.2x >0C.(31)x +1>0 D.xx 121<- 解析:因为x 2+2x+1=(x+1)2≥0,所以A 不正确,又2x =|x|≥0,所以B 也不正确,而(31)x>0,所以(31)x+1>1>0(x∈R ). 答案:C3.不等式21-+x x >0的解集是______________. 解析:21-+x x >0⇔(x+1)(x-2)>0⇔x <-1或x >2.答案:{x|x <-1或x >2} 4.解下列不等式(1)x 2-x-2>0(2)-2x 2+x+3>0解:(1)∵Δ>0,对应方程x 2-x-2=0的根分别为-1,2.∴不等式x 2-x-2>0的解集:{x|x <-1 或x >2};(2)原不等式可以变为2x 2-x-3<0. ∴对应方程2x 2-x-3=0的根分别为-1,23. ∴原不等式的解集为{x|-1<x <23}. 5.解关于x 的不等式(m+3)x 2+2mx+m-2>0(m∈R ).解:(1)当m+3=0,即m=-3时,原不等式可化为-6x-3-2>0,即x <65-; (2)当m+3>0,即m >-3时,Δ=4m 2-4(m+3)(m-2)=4(6-m). 当Δ≥0,即-3<m≤6时,原不等式的解为:x <36+---m m m 或x >36+-+-m mm ;当Δ<0,即m >6时,原不等式的解集为R ; (3)当m+3<0,即m <-3时,Δ=4(6-m)>0所以,解为:36+-+-m m m <x <36+---m mm .综上所述,当m <-3时,不等式的解集为:{x|36+-+-m m m <x <36+---m mm };m=-3时,不等式的解集为{x|x <65-};当-3<m≤6时,不等式的解集为{x|x <36+---m m m }或x >36+-+-m mm .6.已知a >1,P :a (x-2)+1>0,Q :(x-1)2>a (x-2)+1.试寻求使得P 、Q 都成立的x 的集合.解:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>--->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++-->⇒⎩⎨⎧+->->+-0)2)((1202)2(121)2()1(01)2(22x a x a x a x a x a x x a x x a 若1<a <2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->,2,12a x x ax 或而a-(2-a 1)=a+a 1-2>0,所以a >2-a 1.故x∈{x|x>2或2-a1<x <a}. 若a=2,则有x∈{x|x>21且x≠2}. 若a >2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12x a x ax 或 故x∈{x|x>a 或2-a1<x <2}. 30分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 1.函数f (x )=⎩⎨⎧≤->,1,1,1,x x x 则不等式xf (x )-x≤2的解集为( )A.[-2,2]B.[-2,-1]∪[1,2]C.[1,2]D.[-1,2] 解法一:(排除法)∵x=0时,xf (x )-x=0≤2成立,而B 、C 中均不含有0,故排除B 、C.只需验证x=-2即可,当x=-2时,xf (x )-x=(-2)·(-1)+2=4>2,∴排除A 而选D.解法二:(直接法)①当x >1时,xf (x )-x≤2可化为x 2-x≤2,即x 2-x-2≤0,解得-1≤x≤2.又x >1,∴1<x≤2.②当x≤1时,xf (x )-x≤2可化为-2x≤2,∴x≥-1.此时有-1≤x≤1,故适合原不等式的解集为①②两部分的并集,为[-1,2]. 答案:D2.不等式11-x >x+1的解集为( ) A.{x|x <-3} B.{x|x >1} C.{x|x <2-|∪{x|1<x <2}D.{x|34<x <2} 解析:原不等式可以化为11-x -(x+1)>0,即122--x x >0,即(x+2)(x 2-)(x-1)<0,由高次不等式的标根法可得C 正确.答案:C3.已知集合M={x|x 2-3x-28≤0},N={x|x 2-x-6>0},则M∩N 为( ) A.{x|-4≤x<-2或3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2或3≤x<7} C.{x|x≤-2或x >3} D.{x|x <-2或x≥3}解析:M={x|-4≤x≤7},N={x|x<-2或x >3},再把M 、N 两个集合对应的范围在数轴上表示出来即可看出答案. 答案:A4.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上,对称轴为x=1,图象与x 轴的两个交点中,一个交点的横坐标x 1∈(2,3),则有( )A.a-b-c >0B.a+b+c <0C.a+c <bD.3b <2c解析:由题意知另一交点必在(-1,0)之间,且f (-1)>0,即a-b+c >0(*).又知ab2-=1,得a=2b -,代入(*)式得21-b-b+c >0,即3b <2c.故选D. 答案:D5.若x 1、x 2是方程x 2-2kx+1-k 2=0的两个实根,则x 12+x 22的最小值是( ) A.-2 B.0 C.1 D.2解析:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-==+≥---=∆)3(1)2(2)1()1(4)2(2212122kx x kx x k k ∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4k 2-2(1-k 2)=6k 2-2.由①式得k 2≥21, ∴6k 2-2≥6×21-2=1.∴x 12+x 22的最小值为1. 答案:C2x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6-4-6-6-46则不等式ax 2+bx+c >0的解集是___________________.解析:根据所给数表中函数的单调性可以看出a >0,且方程ax 2+bx+c=0的两个解分别为-2和3.答案:(-∞,-2)∪(3,+∞)7.某大楼共有20层,有19人在第一层上了电梯,他们分别要去第二至第二十层,每层1人,而电梯只允许停1次,只可使1人满意,其余18人都要步行上楼或下楼,假定乘客每向下走1层的不满意度为1,每向上走1层的不满意度为2,所有人的不满意度的和为S ,为使S 最小,电梯应当停在第_______________层. 解析:设电梯停在第x 层(2≤x≤20),则 S=[1+2+…+(x-3)+(x-2)]×1+[1+2+…+(19-x )+(20-x )]×2 =2)20(12)2(2)2(1x x x -+⨯++-+×(20-x ) =)2485421()685(2342128523222-+-=+-x x x .∵x 取正整数,∴取x=14即可. 答案:148.据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动,距风暴中心450 km 以内的地区都受到影响(见右图).从现在小时__________后,该码头将受到热带风暴的影响,影响时间大约为__________.解析:设风暴中心坐标为(a ,b ),则a=3002,所以22)2300(b +<450,即-150<b <150.而20300),122(215201502300-=-=15.所以经过215(22-1)小时码头将受到风暴的影响,影响时间为15小时. 答案:215(22-1) 15小时9.已知函数f(x)=bax x +2(a ,b 为常数)且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设k >1,解关于x 的不等式: f(x)<xkx k --+2)1(.解:(1)将x 1=3,x 2=4分别代入方程b ax x +2-x+12=0得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+.8416,939ba ba解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 所以f(x)=x x -22(x≠2).(2)不等式即为x k x k x x --+<-2)1(22,可化为xk x k x -++-2)1(2<0, 即(x-2)(x-1)(x-k)>0.①当1<k <2,解集为x∈(1,k)∪(2+∞).②当k=2时,不等式为(x-2)2(x-1)>0解集为x∈(1,2)∪(2,+∞). ③当k >2时,解集为x∈(1,2)∪(k,+∞). 10.若不等式23+>ax x 的解集为(4,b ),求实数a 、b 的值. 解法一:(换元法)设u=x (u≥0),则原不等式可化为u >232+au , 即au 2-u+23<0. ∵原不等式的解集为(4,b ),∴方程au 2-u+23=0的两根分别为2、b . 由韦达定理知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.232,12a b ab解得⎪⎩⎪⎨⎧==.36,81b a解法二:(图象法)设y 1=x ,y 2=23+ax (x≥0),其图象如上图所示,不等式x >ax+23的解是当y 1=x 的图象在y 2=ax+23(x≥0)的图象上方时相应的x 的取值范围.由于不等式的解集为(4,b ),故方程x =ax+23有一个解x=4,将x=4代入得2344+=a ,∴a=81,再求方程x =2381+x 的另一个解得x=36,即b=36.。

高中数学第3章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质新人教B版必修5

高中数学第3章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质新人教B版必修5
A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200
2.设 M=x2,N=-x-1,则 M 与 N 的大小关系是( )
A.M>N
B.M=N
C.M<N
D.与 x 有关
A [M-N=x2-(-x-1)=x2+x+1=x+122+34>0,故 M>N.]
a>b,b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a>b⇒_a_+__c_>_b_+__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a+b>c⇒_a_>__c_-__b__ a>b,c>d⇒_a_+__c_>__b_+__d_
性质 4(可乘性) a>b,c>0⇒_a_c_>__b_c_;a>b,c<0⇒_a_c_<__b_c_
2.由-6<a<8,-4<b<2,两边分别相减得-2<a-b<6,你认为 正确吗?
[提示] 不正确.因为同向不等式具有可加性与可乘性.但不能 相减或相除,解题时要充分利用条件,运用不等式的性质进行等价变 形,而不可随意“创造”性质.
3.你知道下面的推理、变形错在哪吗? ∵2<a-b<4, ∴-4<b-a<-2. 又∵-2<a+b<2, ∴0<a<3,-3<b<0, ∴-3<a+b<3. 这怎么与-2<a+b<2 矛盾了呢?
1.利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问 题一定要在理解的基础上, 记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立 的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.

高中数学人教B版必修5习题 第3章 不等式 3.1 第1课时(含答案)

高中数学人教B版必修5习题 第3章 不等式 3.1 第1课时(含答案)

第三章 3.1 第1课时一、选择题1.实数m 不超过2,是指( ) A .m >2 B .m ≥ 2 C .m <2 D .m ≤ 2[答案] D[解析] “不超过”就是“小于等于”,故选D . 2.设M =x 2,N =-x -1,则M 与N 的大小关系是( ) A .M >N B .M =N C .M <N D .与x 有关 [答案] A[解析] M -N =x 2+x +1=(x +12)2+34>0,∴M >N .3.已知a =2-5,b =5-2,c =5-25,那么下列各式正确的是( ) A .a <b <c B .a <c <b C .b <a <c D .c <a <b [答案] A[解析] ∵a <0,b >0,∴a <b .又∵c -b =7-35>0,∴c >b ,∴a <b <c .4. 如图,y =f (x )反映了某公司的销售收入y 万元与销量x 之间的函数关系,y =g (x )反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系.当销量x 满足什么条件时,该公司赢利( )A .x >aB .x <aC .x ≥aD .0≤x ≤a[答案] A5.已知a <b <c ,且a +b +c =0,则( ) A .b 2-4ac >0B .b 2-4ac =0C .b 2-4ac <0D .b 2-4ac 的正负不确定[答案] A[解析] ∵a <b <c 且a +b +c =0,∴a <0,c >0 ∴ac <0,∴b 2-4ac >0.6.已知P =1a 2+a +1,Q =a 2-a +1,则P 、Q 的大小关系为( )A .P >QB .P <QC .P ≤QD .无法确定[答案] C[解析] P -Q =1a 2+a +1-a 2+a -1=1-a 4-a 3-a 2+a 3+a 2+a -a 2-a -1a 2+a +1=-a 4-a 2a 2+a +1=-a 2(a 2+1)a 2+a +1, ∵a 2+a +1=(a +12)2+34>0,-a 2(a 2+1)≤0,∴-a 2(a 2+1)a 2+a +1≤0,∴P ≤Q . 二、填空题7.设m =2a 2+2a +1,n =(a +1)2,则m 、n 的大小关系是________. [答案] m ≥n[解析] m -n =2a 2+2a +1-(a +1)2=a 2≥0.8.若(a +1)2>(a +1)3(a ≠-1),则实数a 的取值范围是________. [答案] a <0且a ≠-1[解析] ∵(a +1)2-(a +1)3=(a +1)2(-a ) =-a (a +1)2>0, ∴a <0且a ≠-1 三、解答题9.某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂,已知甲型卡车每辆每天往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆,乙型卡车y 辆,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ x +y ≤910×6x +6×8y ≥3600≤x ≤40≤y ≤7x ∈N y ∈N,即⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤95x +4y ≥300≤x ≤40≤y ≤7x ∈N y ∈N.10.已知a >b >0,试比较a 2-b 2a 2+b2与a -ba +b 的大小.[解析] (作商法)∵a 2-b 2a 2+b 2>0,a -ba +b >0,a 2-b 2a 2+b 2a -b a +b=(a +b )2a 2+b 2=1+2aba 2+b 2>1, ∴a 2-b 2a 2+b 2>a -b a +b.一、选择题1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式有多少种?( )A .5种B .6种C .7种D .8种[答案] C[解析] 设购买软件、磁盘x 片、y 盒.依题意得⎩⎨⎧60x +70y ≤500x ≥3y ≥2x 、y ∈N*,即⎩⎨⎧6x +7y ≤50x ≥3y ≥2x 、y ∈N*.(1)当x =3时,7y ≤32,y ≤327,∵y ∈N +,∴y =2,y =3,y =4, 此时有3种选购方式. (2)当x =4时,7y ≤26,y ≤267, ∵y ∈N +,∴y =2,y =3, 此时有2种选购方式.(3)当x =5时,y ≤207,∵y ∈N +,∴y =2此时有1种选购方式.(4)当x =6时,y =2,此时有1种选购方式. ∴共有7种选购方式.2.如图,在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地,仓库的长a 大于宽b 的4倍,则表示上面叙述的不等关系正确的是( )A .a >4bB .(a +4)(b +4)=200C .⎩⎪⎨⎪⎧a >4b (a +4)(b +4)=200D .⎩⎪⎨⎪⎧a >4b4ab =200[答案] C[解析] ∵仓库的长a 大于宽b 的4倍, ∴a >4b ,又∵矩形仓库的面积为200 m 2, ∴(a +4)(b +4)=200,故选C . 二、填空题3.若a >b ,则a 3与b 3的大小关系是________. [答案] a 3>b 3[解析] a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)24∵a >b ,∴a -b >0,(a +b 2)2+34b 2>0,∴a 3-b 3>0,∴a 3>b 3.4.若x =(a +3)(a -5),y =(a +2)(a -4),则x 与y 的大小关系是________. [答案] x <y[解析] x -y =(a +3)(a -5)-(a +2)(a -4)=(a 2-2a -15)-(a 2-2a -8)=-7<0,∴x <y .三、解答题5.已知a 、b 为正实数,试比较a b +ba与a +b 的大小. [解析] 解法一:(a b +b a )-(a +b )=(a b -b )+(ba -a )=a -b b +b -a a=(a -b )(a -b )ab=(a +b )(a -b )2ab.∵a 、b 为正实数,∴a +b >0,ab >0,(a -b )2≥0. ∴(a +b )(a -b )2ab ≥0,当且仅当a =b 时,等号成立.∴a b +ba≥a +b ,当且仅当a =b 时取等号. 解法二:(a b +b a )2=a 2b +b 2a +2ab ,(a +b )2=a +b +2ab ,∴(a b +b a )2-(a +b )2=a 2b +b 2a +2ab -(a +b +2ab )=a 3+b 3-ab (a +b )ab=(a +b )(a 2-ab +b 2)-ab (a +b )ab=(a +b )(a -b )2ab.∵a 、b 为正实数,∴(a +b )(a -b )2ab≥0,b a 又∵a b +ba>0,a +b >0, ∴a b +ba≥a +b ,当且仅当a =b 时取等号. 6.某粮食收购站分两个等级收购小麦.一级小麦价格为a (元/kg),二级小麦价格为b (元/kg)(b <a ),现有一级小麦m (kg),二级小麦n (kg),若以两种价格的平均数收购,是否合理?为什么?[解析] 若以a (元/kg)的价格收购小麦m (kg),以b (元/kg)的价格收购小麦n (kg),所需钱数设为x (元),那么x =am +bn .若以两种价格的平均数收购,所需钱数记为y (元),那么y =a +b 2(m +n ).则x -y =(am +bn )-a +b2(m +n )=12(a -b )(m -n ), 所以当m >n 时,x >y ,合理; 当m <n 时,x <y ,不合理; 当m =n 时,花钱一样多.7. (2016·广东模拟)设f (x )=1+log x 3,g (x )=2log x 2,其中x >0且x ≠1,试比较f (x )与g (x )的大小.[解析] f (x )-g (x )=(1+log x 3)-2log x 2 =log x (3x )-log x 4=log x 3x 4.(1)当x >43时,log x 3x4>0,故f (x )>g (x );(2)当x =43时,log x 3x4=0,故f (x )=g (x );(3)当1<x <43时,log x 3x4<0,所以f (x )<g (x );(4)当0<x <1时,log x 3x4>0,所以f(x)>g(x).综上知:当x>4或0<x<1时,f(x)>g(x);3时,f(x)<g(x);当1<x<43时,f(x)=g(x).当x=43。

高中数学人教版必修5课时练习:第三章 不等式3-2 一元二次不等式及其解法

高中数学人教版必修5课时练习:第三章 不等式3-2 一元二次不等式及其解法

∴M∩N={x|0≤x≤2},故选 D.
3.若{x|2<x<3}为 x2+ax+b<0 的解集,则 bx2+ax+1>0 的解集为( )
A.{x|x<2 或 x>3}
B.{x|2<x<3}
C.{x|31<x<12}
D.{x|x<31或 x>21}
[答案] D
[解析] 由 x2+ax+b<0 的解集为{x|2<x<3},知方程 x2+ax+b=0 的根分别为 x1=2,x2 =3.
则不等式 ax2+bx+c>0 的解集是________.
[答案] {x|x<-2 或 x>3}
[解析] 由表知 x=-2 时 y=0,x=3 时,y=0. ∴二次函数 y=ax2+bx+c 可化为 y=a(x+2)(x-3),又当 x=1 时,y=-6,∴a=1. ∴不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|x<-2 或 x>3}. 三、解答题
<x<1},选 D.
2.设集合 M={x|0≤x≤2},N={x|x2-2x-3<0},则 M∩N 等于( )
A.{x|0≤x<1}
B.{x|0≤x≤2}
C.{x|0≤x≤1}
D.{x|0≤x≤2}
[答案] D
[解析] ∵N={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},M={x|0≤x≤2},
C.{x|x<1t 或 x>t}
D.{x|t<x<1t }
[答案] D
[解析] 化为(x-t)(x-1t )<0,
∵0<t<1,∴1t >1>t,∴t<x<1t .
6.已知不等式 x2+ax+4<0 的解集为空集,则 a 的取值范围是( )

人教B版高中数学必修5同步章节训练题及答案全册汇编

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人教B版高中数学必修5同步章节训练题及答案全册汇编高中数学人教B版必修5同步练习目录1.1.1《正弦定理》测试题 1.1.2《余弦定理》测试题 1.2《正余弦定理的应用》测试2.1《数列》同步练习 2.2.1《等差数列》例题解析2.2.2《等差数列前n项和》例题解析 2.3.1《等比数列》例题解析 2.3.1《等比数列》测试3.1.1《不等关系与不等式》测试题 3.1.2《不等式的性质》测试题 3.2《均值不等式》测试题 3.2《均值不等式》测试题3.3《一元二次不等式的解法》测试题 3.3《一元二次不等式的解法》测试题 3.4《不等式的实际应用》测试题3.4《不等式的实际应用》测试题(人教B版必修5) 3.5.1《二元一次不等式(组)所表示的平面区域》测试题3.5.2《简单线性规划》测试题高中数学人教B版必修5同步练习1.1.1正弦定理测试题【能力达标】一、选择题1. 不解三角形,下列判断正确的是()ooA. a=7,b=14,A=30,有两解.B. a=30,b=25,A=150,有一解.ooC. a=6,b=9,A=45,有两解.D. a=9,b=10,A=60,无解. 2.在?ABC中acosA=bcosB,则?ABC是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形3.在?ABC中,已知a=52,c=10,∠A=30,则∠B等于()oA.105B. 60C. 15D.105或154.在?ABC中,a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)的值是()oo o oo1 B.0 C.1 D.? 25. 在?ABC中下列等式总成立的是()A.A. a cosC=c cosAB. bsinC=c sinAC. absinC=bc sinBD. asinC=c sinA 6. 在ΔABC中,∠A=45,∠B=60,a=2,则b=( ) A.6 B.26 C.36 D.46 7.在ΔABC中,∠A=45, a=2,b=2,则∠B=()00A.300 B.300或1500 C.600 D.600或1200 二、填空题8.在ΔABC中,a=8,B=1050,C=150,则此三角形的最大边的长为。

高中数学人教B版必修5习题 第3章 不等式 3.1 第2课时(含答案)

高中数学人教B版必修5习题 第3章 不等式 3.1 第2课时(含答案)

第三章 3.1 第2课时一、选择题1.已知a 、b 、c 、d 均为实数,有下列命题 ①若ab <0,bc -ad >0,则c a -db >0;②若ab >0,c a -db >0,则bc -ad >0;③若bc -ad >0,c a -db >0,则ab >0.其中正确命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3[答案] C[解析] ①∵ab <0,∴1ab<0,又∵bc -ad >0∴1ab ·(bc -ad )<0即c a -db <0,∴①错;②∵ab >0,c a -db >0,∴ab (c a -db )>0,即:bc -ad >0, ∴②正确;③∵c a -db >0∴bc -ad ab >0,又∵bc -ad >0∴ab >0∴③正确.2.若a <b <0,则下列不等式不能成立的是( ) A .1a >1bB .2a >2bC .|a |>|b |D .(12)a >(12)b[答案] B[解析] ∵a <b ,∴2a <2b ,故选B .3.设a +b <0,且a >0,则( ) A .a 2<-ab <b 2 B .b 2<-ab <a 2 C .a 2<b 2<-ab D .ab <b 2<a 2[答案] A[解析] ∵a +b <0,且a >0,∴0<a <-b , ∴a 2<-ab <b 2.4.已知a 2+a <0,那么a ,a 2,-a ,-a 2的大小关系是( ) A .a 2>a >-a 2>-a B .-a >a 2>-a 2>a C .-a >a 2>a >-a 2 D .a 2>-a >a >-a 2 [答案] B[解析] ∵a 2+a <0,∴0<a 2<-a ,∴0>-a 2>a , ∴a <-a 2<a 2<-a ,故选B .[点评] 可取特值检验,∵a 2+a <0,即a (a +1)<0,令a =-12,则a 2=14,-a 2=-14,-a =12,∴12>14>-14>-12,即-a >a 2>-a 2>a ,排除A 、C 、D ,选B . 5.已知|a |<1,则1a +1与1-a 的大小关系为( )A .1a +1<1-aB .1a +1>1-aC .1a +1≥1-aD .1a +1≤1-a [答案] C[解析] 解法一:检验法:令a =0,则1a +1=1-a ,排除A 、B ;令a =12,则1a +1>1-a ,排除D ,故选C .解法二:∵|a |<1,∴1+a >0, ∴11+a -(1-a )=a 21+a ≥0, ∴1a +1≥1-a . 6.若a >b >0,则下列不等式中总成立的是( )A .b a >b +1a +1B .a +1a >b +1bC .a +1b >b +1aD .2a +b a +2b >ab[答案] C[解析] 解法一:由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a +1b >b +1a,故选C .解法二:(特值法)令a =2,b =1,排除A 、D ,再令a =12,b =13,排除B .二、填空题7.已知三个不等式:①ab >0;②c a >db ;③bc >ad .以其中两个作条件,余下一个为结论,写出两个能成立的不等式命题________.[答案]⎭⎪⎬⎪⎫①②⇒③, ⎭⎪⎬⎪⎫①③⇒②,⎭⎪⎬⎪⎫②③⇒①中任选两个即可. [解析]c a >d b ⇒bc -ad ab>0.若③成立,则①成立∴②③⇒①;若③成立即bc >ad ,若①成立,则bc ab >ad ab ,∴c a >db∴①③⇒②;若①与②成立显然有③成立.8.实数a 、b 、c 、d 满足下列两个条件:①d >c ;②a +d <b +c .则a 、b 的大小关系为________. [答案] a <b[解析] ∵d >c ,∴d -c >0, 又∵a +d <b +c , ∴b -a >d -c >0, ∴b >a . 三、解答题9.(1)已知c >a >b >0.求证:a c -a >b c -b.(2)已知a 、b 、m 均为正数,且a <b ,求证:a +m b +m >ab .[解析] (1)∵c >a >b >0∴c -a >0,c -b >0,⎭⎪⎬⎪⎫由a >b >0⇒1a <1bc >0⇒c a <c b⎭⎬⎫⇒c -a a <c -bbc -a >0c -b >0⇒a c -a >bc -b .(2)证法一:a +m b +m -a b =m (b -a )b (b +m ),∵0<a <b ,m >0,∴m (b -a )b (b +m )>0,∴a +m b +m >ab .证法二:a +m b +m =a +b +m -b b +m =1+a -b b +m =1-b -ab +m >1-b -a b =ab.证法三:∵a 、b 、m 均为正数,∴要证a +m b +m >a b ,只需证(a +m )b >a (b +m ), 只需证ab +bm >ab +am , 只要证bm >am ,要证bm >am ,只需证b >a ,又已知b >a , ∴原不等式成立.10.已知2<m <4,3<n <5,求下列各式的取值范围. (1)m +2n ; (2)m -n ; (3)mn ; (4)m n. [解析] (1)∵3<n <5,∴6<2n <10. 又∵2<m <4,∴8<m +2n <14. (2)∵3<n <5,∴-5<-n <-3. 又∵2<m <4,∴-3<m -n <1. (3)∵2<m <4,3<n <5,∴6<mn <20.(4)∵3<n <5,∴15<1n <13.由2<m <4,可得25<m n <43.一、选择题1.已知a 、b 为非零实数,且a <b ,则下列命题成立的是( ) A .a 2<b 2 B .ab 2<a 2b C .1ab 2<1a 2bD .b a <ab[答案] C[解析] 对于A 可举反例,如-2<1,可得(-2)2>12故A 错,对于B 要使ab 2<a 2b 成立,即ab (b -a )<0成立,而此时ab 的符号不确定,故B 错.对于D 要使b a <ab 成立,即b 2-a 2ab <0成立,ab 的符号也不确定.故D 错.2.若-π2<α<β<π2,则α-β的取值范围是( )A .(-π,π)B .(0,π)C .(-π,0)D .{0}[答案] C[解析] ∵-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2,又-π2<α<π2,∴-π<α-β<π,又α<β,∴α-β<0,∴-π<α-β<0.3.已知函数f (x )=x 3,x 1、x 2、x 3∈R ,x 1+x 2<0,x 2+x 3<0,x 3+x 1<0,那么f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)的值( )A .一定大于0B .一定小于0C .等于0D .正负都有可能[答案] B[解析] ∵f (x )=x 3是单调递增函数,x 1<-x 2,x 2<-x 3,x 3<-x 1,∴f (x 1)<f (-x 2),f (x 2)<f (-x 3),f (x 3)<f (-x 1),又∵f (x )为奇函数,∴f (x 1)<-f (x 2),f (x 2)<-f (x 3),f (x 3)<-f (x 1), ∴f (x 1)+f (x 2)<0,f (x 2)+f (x 3)<0,f (x 3)+f (x 1)<0 ∴f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)<0.4.若1a <1b <0,给出下列不等式:①a +b <ab ;②|a |>|b |;③a <b ;④b a +ab >2.其中正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个[答案] B[解析] ∵1a <1b <0,∴a <0,b <0,a >b ,故③错;∴ab >0,∴a +b <0<ab ,故①成立; 又0>a >b ,∴|a |<|b |.∴②错;∵b a +a b =b 2+a 2ab =(a -b )2+2ab ab =(a -b )2ab+2 且a -b <0,ab >0,∴b a +ab >2,∴④成立.∴①④正确.选B . 二、填空题5.若a >0,b >0则a +b ________a +b (填上适当的等号或不等号). [答案] >[解析] ∵a >0,b >0,∴(a +b )2=a +b +2ab , (a +b )2=a +b ,∴(a +b )2>(a +b )2,即a +b >a +b .6.设a >b >0,m >0,n >0,则p =b a ,q =ab ,r =b +m a +m ,s =a +n b +n 的大小顺序是________________.[答案] p <r <s <q[解析] 取a =4,b =2,m =3,n =1,则p =12,q =2,r =57,s =53则p <r <s <q (特值探路).具体比较如下:p -r =b a -b +m a +m =(b -a )m a (a +m )<0,∴p <r .∵a >b >0,m >0,n >0, ∴a +m >b +m >0.a +n >b +n >0, ∴b +m a +m <1,a +n b +n>1,∴r <s . 或r -s =b +m a +m -a +n b +n =(b -a )(b +a +m +n )(a +m )(b +n )<0.∴r <s .s -q =a +n b +n -a b =(b -a )·nb (b +n )<0,∴s <q .∴p <r <s <q . 三、解答题7.如果30<x <42,16<y <24.分别求x +y 、x -2y 及xy 的取值范围.[解析] 46<x +y <66;-48<-2y <-32; ∴-18<x -2y <10;∵30<x <42,124<1y <116,∴3024<x y <4216,即54<x y <218. 8.已知a >0,b >0,a ≠b ,n ∈N 且n ≥2,比较a n +b n 与a n -1b +ab n-1的大小.[解析] (a n +b n )-(a n -1b +ab n -1)=a n -1(a -b )+b n -1(b -a )=(a -b )(a n -1-b n -1), (1)当a >b >0时,a n -1>b n -1,∴(a -b )(a n -1-b n -1)>0, (2)当0<a <b 时,a n -1<b n -1,∴(a -b )(a n -1-b n -1)>0,∴对任意a >0,b >0,a ≠b ,总有(a -b )(a n -1-b n -1)>0.∴a n +b n >a n -1b +ab n -1. 9. 某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两车队的收费标准、车型都是一样的,试根据此单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.[解析] 设该单位职工有n 人(n ∈N *),全票价为x 元,坐甲车需花y 1元,坐乙车需花y 2元,则y 1=x +34x ·(n -1)=14x +34xn ,y 2=45xn ,y 1-y 2=14x +34xn -45xn=14x -120xn =14x (1-n5). 当n =5时,y 1=y 2;当n >5时,y 1<y 2; 当n <5时,y 1>y 2.因此,当此单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.。

人教B版人教B版高中数学必修五第3章不等式+本章练测()

人教B版人教B版高中数学必修五第3章不等式+本章练测()

-cos -1=-
2 sin(
+ π)-1. 4
∴ - ( x+y) = max 2 -1.
∵ x+y+c≥ 0 恒成立,故 c≥ - ( x+y ) = max 2 -1 ,故选 C.
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
-----------------------------------------------------
第 3 章不等式(数学人教 B版必修 5)
参考答案
一、选择题 1. D解析: ∵是增函数,而 0< b< a< 1,∴ . 2.D 解析: ∵ t-s=a+2b-a-b 2-1=- ( b-1 ) 2≤ 0,∴ t ≤ s. 3.C 解析: 不等式组表示的平面区域如图所示,
x 3y 4,

得交点 A 的坐标为( 1,1),
3x y 4
4
又 B,C 两点的坐标分别为( 0, 4), (0 , ) ,
3
14
4
故 S△ = ABC (4- ) × 1= .
23
3
4.B 解析: 特殊值法 . 令 a=7, b=3, c=1,满足 a> b> c>0,
∴ log2 (1
1)

log2 (3
获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损
. 某投资
人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两
个项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%,可能
的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划投资
金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不

高中数学 第三章 不等式 3.2.1 一元二次不等式的解法课时作业(含解析)新人教A版必修5-新人教

高中数学 第三章 不等式 3.2.1 一元二次不等式的解法课时作业(含解析)新人教A版必修5-新人教

课时作业20 一元二次不等式的解法时间:45分钟——基础巩固类——一、选择题1.下列不等式中是一元二次不等式的是(C)A.a2x2+2≥0 B.1x2+x<3 C.-x2+x-m≤0 D.x3-2x+1>0 解析:选项A中,a2=0时不符合;选项B是分式不等式;选项D中,最高次数为三次;只有选项C符合.故选C.2.不等式6-x-2x2<0的解集是(D)解析:不等式变形为2x2+x-6>0,又方程2x2+x-6=0的两根为x1=32,x2=-2,所以不等式的解集为.故选D.3.设关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1<x<1},则a的值是(D) A.-2 B.-1C.0 D.1解析:根据题意可得,-1,1是方程(ax-1)(x+1)=0的两根,代入解得a=1.4.在R 上定义运算⊙:a ⊙b =ab +2a +b ,则满足:x ⊙(x -2)<0的实数x 的取值X 围为( B )A .(0,2)B .(-2,1)C .(-∞,-2)∪(1,+∞)D .(-1,2)解析:x ⊙(x -2)=x (x -2)+2x +x -2<0⇒x 2+x -2<0⇒-2<x <1. 5.不等式x 2-|x |-2<0的解集是( A ) A .{x |-2<x <2} B .{x |x <-2或x >2} C .{x |-1<x <1} D .{x |x <-1或x >1}解析:令t =|x |,则原不等式可化为t 2-t -2<0,即(t -2)(t +1)<0.∵t =|x |≥0.∴t -2<0.∴t <2. ∴|x |<2,得-2<x <2.6.已知方程2x 2-(m +1)x +m =0有两个不等正实根,则实数m 的取值X 围是( C ) A .{m |0<m ≤3-22或m ≥3+22} B .{m |m <3-22或m >3+22} C .{m |0<m <3-22或m >3+22} D .{m |m ≤3-22或m ≥3+22}解析:∵方程2x 2-(m +1)x +m =0有两个不等正实根,∴Δ=(-m -1)2-8m >0,即m 2-6m +1>0,解得m <3-22或m >3+2 2.再根据两根之和为m +12>0,且两根之积为m 2>0,解得m >0.综上可得,0<m <3-22或m >3+2 2.二、填空题7.函数f (x )=log 2(-x 2+x +12)的定义域为(-3,4).解析:由-x 2+x +12>0,得x 2-x -12<0,解得-3<x <4,所以定义域为(-3,4).8.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2+x -2≥0,4x 2-15x +9>0的解集是{x |x >3或x ≤-1}.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2+x -2≥0,4x 2-15x +9>0,得⎩⎨⎧x ≥23或x ≤-1,x >3或x <34,即x >3或x ≤-1,故不等式组的解集为{x |x >3或x ≤-1}.9.若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -1>a 2,x -4<2a 解集不是空集,则实数a 的取值X 围是-1<a <3.解析:依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x >1+a 2,x <4+2a ,要使不等式组的解集不是空集,应有a 2+1<4+2a ,即a 2-2a -3<0,解得-1<a <3.三、解答题10.求下列不等式的解集. (1)-2x 2+x +12<0;(2)3x 2+5≤3x ; (3)9x 2-6x +1>0.解:(1)原不等式可以化为2x 2-x -12>0.∵方程2x 2-x -12=0的解是:x 1=1-54,x 2=1+54,∴原不等式的解集是{x |x <1-54或x >1+54}.(2)原不等式变形为3x 2-3x +5≤0. ∵Δ<0,∴方程3x 2-3x +5=0无解. ∴不等式3x 2-3x +5≤0的解集是∅.∴原不等式的解集是∅.(3)∵Δ=0,∴方程9x 2-6x +1=0有两个相等实根x 1=x 2=13,∴不等式9x 2-6x +1>0的解集为{x |x ≠13}.11.已知f (x )=x 2-⎝⎛⎭⎫a +1a x +1,(1)当a =12时,解不等式f (x )≤0;(2)若a >0,解关于x 的不等式f (x )≤0.解:(1)当a =12时,不等式为f (x )=x 2-52x +1≤0,∴⎝⎛⎭⎫x -12(x -2)≤0, ∴不等式的解集为(2)∵f (x )=⎝⎛⎭⎫x -1a (x -a )≤0, 当0<a <1时,有1a>a ,∴不等式的解集为当a >1时,有1a<a ,∴不等式的解集为当a =1时,不等式的解集为{x |x =1}.——能力提升类——12.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3,x ≤0,-x 2-2x +3,x >0,则不等式f (a 2-4)>f (3a )的解集为( B )A .(2,6)B .(-1,4)C .(1,4)D .(-3,5)解析:作出函数f (x )的图象,如右图所示,则函数f (x )在R 上是单调递减的.由f (a 2-4)>f (3a ),可得a 2-4<3a ,整理得a 2-3a -4<0,即(a +1)(a -4)<0,解得-1<a <4.所以不等式的解集为(-1,4).13.关于x 的不等式x 2-2ax -8a 2<0(a >0)的解集为(x 1,x 2),且x 2-x 1=15,则a =( A ) A .52B .72C .154D .152解析:由条件知x 1,x 2为方程x 2-2ax -8a 2=0的两根,则x 1+x 2=2a ,x 1x 2=-8a 2. 由(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(2a )2-4×(-8a 2)=36a 2=152,解得a =52.14.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +6,x ≥0,x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是(-3,1)∪(3,+∞).解析:f (1)=12-4×1+6=3,不等式即为f (x )>3.①当x ≥0时,不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +6>3,x ≥0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1,x ≥0,即x >3或0≤x <1;②当x <0时,不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧x +6>3,x <0,解得-3<x <0.综上,原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞). 15.已知函数y =ax 2+2ax +1的定义域为R . (1)求a 的取值X 围. (2)若函数的最小值为22,解关于x 的不等式x 2-x -a 2-a <0. 解:(1)因为函数y =ax 2+2ax +1的定义域为R ,所以ax 2+2ax +1≥0恒成立. 当a =0时,1≥0,不等式恒成立;当a ≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=4a 2-4a ≤0,解得0<a ≤1. 综上,0≤a ≤1. (2)因为函数的最小值为22, 所以y =ax 2+2ax +1的最小值为12,因此4a -4a 24a =12(a ≠0),解得a =12.于是不等式可化为x 2-x -34<0,即4x 2-4x -3<0,解得-12<x <32.故不等式x 2-x -a 2-a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪-12<x <32.。

人教版数学高二B版必修5学案 第三章不等式 3.2 第2课时

人教版数学高二B版必修5学案 第三章不等式 3.2 第2课时

第2课时 均值不等式的应用学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.知识点一 均值不等式及变形 思考 使用均值不等式证明:21a +1b≤ab (a >0,b >0),并说明什么时候等号成立. 答案 ∵a >0,b >0,∴1a +1b ≥21ab >0, ∴11a +1b ≤ab 2, 即21a +1b≤ab (a >0,b >0),当且仅当1a =1b ,即a =b 时,等号成立. 梳理 以下是均值不等式的常见变形,试用不等号连接,并说明等号成立的条件. 当a >0,b >0时,有21a +1b≤ab ≤a +b2≤a 2+b 22; 当且仅当a =b 时,以上三个等号同时成立. 知识点二 用均值不等式求最值思考 因为x 2+1≥2x ,当且仅当x =1时取等号.所以当x =1时,(x 2+1)min =2. 以上说法对吗?为什么? 答案 错.显然(x 2+1)min =1.x 2+1≥2x ,当且仅当x =1时取等号.仅说明抛物线y =x 2+1恒在直线y =2x 上方,仅在x =1时有公共点.使用均值不等式求最值,不等式两端必须有一端是定值.如果都不是定值,可能出错. 梳理 均值不等式求最值的条件: (1)x ,y 必须是正数;(2)求积xy 的最大值时,应看和x +y 是否为定值;求和x +y 的最小值时,应看积xy 是否为定值,即“和定积大,积定和小”. (3)等号成立的条件是否满足.1.函数y =x +1x的最小值是2.( × )2.函数y =sin x +1sin x ,x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2的最小值为2.( × ) 3.若x y +yx≥2,则必有x >0,y >0.( × )类型一 均值不等式与最值例1 (1)若x >0,求函数y =x +4x 的最小值,并求此时x 的值;(2)设0<x <32,求函数y =4x (3-2x )的最大值;(3)已知x >2,求x +4x -2的最小值;(4)已知x >0,y >0,且1x +9y =1,求x +y 的最小值.解 (1)当x >0时,x +4x≥2x ·4x=4, 当且仅当x =4x ,即x 2=4,x =2时取等号.∴函数y =x +4x (x >0)在x =2时取得最小值4.(2)∵0<x <32,∴3-2x >0,∴y =4x (3-2x )=2[2x (3-2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x +(3-2x )22=92. 当且仅当2x =3-2x ,即x =34时,等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0,32.∴函数y =4x (3-2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. (3)∵x >2,∴x -2>0, ∴x +4x -2=x -2+4x -2+2≥2(x -2)·4x -2+2=6,当且仅当x -2=4x -2,即x =4时,等号成立.∴x +4x -2的最小值为6.(4)方法一 ∵x >0,y >0,1x +9y=1,∴x +y =⎝⎛⎭⎫1x +9y (x +y )=y x +9xy +10≥6+10=16, 当且仅当y x =9x y ,又1x +9y =1,即x =4,y =12时,不等式取等号. 故当x =4,y =12时,(x +y )min =16.方法二 由1x +9y =1,得(x -1)(y -9)=9(定值).由1x +9y =1可知x >1,y >9, ∴x +y =(x -1)+(y -9)+10≥2(x -1)(y -9)+10=16,当且仅当x -1=y -9=3,即x =4,y =12时不等式取等号, 故当x =4,y =12时,(x +y )min =16.反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点:一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是考虑等号成立的条件是否具备. 跟踪训练1 (1)已知x >0,求f (x )=12x +3x 的最小值;(2)已知x <3,求f (x )=4x -3+x 的最大值; (3)设x >0,y >0,且2x +8y =xy ,求x +y 的最小值. 解 (1)∵x >0,∴f (x )=12x+3x ≥212x·3x =12,当且仅当3x =12x ,即x =2时取等号,∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3,∴x -3<0,∴f (x )=4x -3+x =4x -3+x -3+3=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤43-x +3-x +3≤-243-x·(3-x )+3=-1, 当且仅当43-x =3-x ,即x =1时取等号.∴f (x )的最大值为-1.(3)方法一 由2x +8y -xy =0,得y (x -8)=2x . ∵x >0,y >0,∴x -8>0,y =2x x -8, ∴x +y =x +2x x -8=x +(2x -16)+16x -8=(x -8)+16x -8+10≥2(x -8)×16x -8+10=18.当且仅当x -8=16x -8,即x =12时,等号成立.∴x +y 的最小值是18.方法二 由2x +8y -xy =0及x >0,y >0,得8x +2y =1.∴x +y =(x +y )⎝⎛⎭⎫8x +2y =8y x +2xy +10≥28y x ·2xy+10=18. 当且仅当8y x =2xy ,即x =2y =12时等号成立.∴x +y 的最小值是18.类型二 均值不等式在实际问题中的应用 命题角度1 几何问题的最值例2 (1)用篱笆围一个面积为100m 2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?(2)一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?解 (1)设矩形菜园的长为x m ,宽为y m , 则xy =100,篱笆的长为2(x +y ) m.由x +y 2≥xy ,可得x +y ≥2100,2(x +y )≥40.当且仅当x =y =10时等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为10m 时, 所用篱笆最短,最短篱笆为40m.(2)设矩形菜园的长为x m ,宽为y m ,则2(x +y )=36,x +y =18,矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x +y 2=182=9,可得xy ≤81,当且仅当x =y =9时,等号成立.所以这个矩形的长、宽都为9m 时,菜园的面积最大,最大面积为81m 2.反思与感悟 利用均值不等式解决实际问题时,一般是先建立关于目标量的函数关系,再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m 3,深为3m ,如果池底每1m 2的造价为150元,池壁每1m 2的造价为120元,问怎样设计水池才能使总造价最低?最低总造价是多少?解 设水池底面一边的长度为x m , 则另一边的长度为48003xm.又设水池总造价为y 元,根据题意,得y =150×48003+120×⎝⎛⎭⎫2×3x +2×3×48003x =240000+720×⎝⎛⎭⎫x +1600x ≥240000+720×2x ·1600x=297600(元),当且仅当x =1600x,即x =40时,y 取得最小值297600.所以水池底面为正方形且边长为40m 时总造价最低,最低总造价为297600元. 命题角度2 生活中的最优化问题例3 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? 解 设该厂每隔x 天购买一次面粉,其购买量为6x 吨.由题意可知,面粉的保管及其他费用为 3×[6x +6(x -1)+6(x -2)+…+6×1]=9x (x +1). 设平均每天所支付的总费用为y 元,则y =1x [9x (x +1)+900]+6×1800=9x +900x +10809≥29x ·900x+10809=10989(元),当且仅当9x =900x,即x =10时,等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少. 引申探究若受车辆限制,该厂至少15天才能去购买一次面粉,则该厂应多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的费用最少? 解 设x 1,x 2∈[15,+∞),且x 1<x 2.则⎝⎛⎭⎫9x 1+900x 1+10809-⎝⎛⎭⎫9x 2+900x 2+10809=9(x 1-x 2)+900⎝⎛⎭⎫1x 1-1x 2 =(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎫9-900x 1x 2=(x 1-x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫9x 1x 2-900x 1x 2. ∵15≤x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>225, ∴(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2-900x 1x 2<0,即y =9x +900x+10809在[15,+∞)上为增函数.∴当x =15,即15天购买一次面粉,平均每天支付的费用最少.反思与感悟 应用题,先弄清题意(审题),建立数学模型(列式),再用所掌握的数学知识解决问题(求解),最后要回应题意下结论(作答).使用均值不等式求最值,要注意验证等号是否成立,若等号不成立,可考虑利用函数单调性求解.跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202千米,那么这批货物全部运到B 市,最快需要小时. 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ,则 t =400+16⎝⎛⎭⎫v202v =400v +16v400≥2400v ×16v400=8(小时),当且仅当400v =16v400,即v =100时,等号成立,所以这批货物全部运到B 市,最快需要8小时.1.设x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值为( ) A.80B.77C.81D.82 答案 C解析 ∵x >0,y >0,∴x +y2≥xy ,即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x +y 22=81, 当且仅当x =y =9时,(xy )max =81.2.已知a =(x -1,2),b =(4,y )(x ,y 为正数),若a ⊥b ,则xy 的最大值是( ) A.12B.-12C.1D.-1 答案 A解析 ∵a ⊥b ,∴a ·b =0, ∴4(x -1)+2y =0,∴2x +y =2, ∴xy =12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +y 22=12×⎝⎛⎭⎫222=12, 当且仅当2x =y =1时,等号成立.3.设x ,y 为正数,则(x +y )⎝⎛⎭⎫1x +9y 的最小值为( ) A.16B.9C.12D.15 答案 A解析 因为x ,y 为正数,所以(x +y )⎝⎛⎭⎫1x +9y =1+9+y x +9xy≥16,当且仅当y =3x 时,等号成立.4.已知x ≥52,则f (x )=x 2-4x +52x -4的最小值为.答案 1解析 f (x )=x 2-4x +52x -4=(x -2)2+12(x -2)=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x -2)+1x -2≥1.当且仅当x -2=1x -2,即x =3时等号成立.1.用均值不等式求最值(1)利用均值不等式,通过恒等变形,以及配凑,造就“和”或“积”为定值,从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件:①“一正”——各项为正数;②“二定”——“和”或“积”为定值;③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中,有时看起来可以运用均值不等式求最值,但由于其中的等号取不到,所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的,这时通常可以借助函数y =x +px (p >0)的单调性求得函数的最值. 2.求解应用题的方法与步骤:(1)审题;(2)建模(列式);(3)解模;(4)作答.一、选择题1.已知x >1,y >1且lg x +lg y =4,则lg x lg y 的最大值是( ) A.4B.2C.1D.14答案 A解析 ∵x >1,y >1,∴lg x >0,lg y >0,lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x +lg y 22=4,当且仅当lg x =lg y =2,即x =y =100时取等号.2.已知点P (x ,y )在经过A (3,0),B (1,1)两点的直线上,则2x +4y 的最小值为( ) A.22B.42C.16D.不存在 答案 B解析 ∵点P (x ,y )在直线AB 上, ∴x +2y =3.∴2x +4y ≥22x ·4y =22x +2y =4 2.当且仅当2x =4y ,即x =32,y =34时,等号成立.3.函数y =log 2⎝⎛⎭⎫x +1x -1+5(x >1)的最小值为( )A.-3B.3C.4D.-4 答案 B解析 ∵x >1,∴x -1>0, ∴x +1x -1+5=(x -1)+1x -1+6≥2(x -1)·1x -1+6=8,当且仅当x -1=1x -1,即x =2时,等号成立.∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x -1+5≥3,∴y min =3.4.已知a >0,b >0,a +b =2,则y =1a +4b 的最小值是( )A.72B.4C.92D.5 答案 C解析 ∵a +b =2, ∴a +b 2=1. ∴1a +4b =⎝⎛⎭⎫1a +4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2=52+⎝⎛⎭⎫2a b +b 2a ≥52+22a b ·b 2a =92⎝⎛⎭⎫当且仅当2a b =b 2a ,即b =2a =43时,等号成立,故y =1a +4b 的最小值为92.5.设正实数x ,y ,z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0,则当xy z 取得最大值时,2x +1y -2z 的最大值为( )A.0B.1C.94D.3答案 B 解析 由x 2-3xy +4y 2-z =0且z ≠0得x 2z +4y 2z =3xyz+1,∵x 2z +4y 2z ≥2x 2·4y 2z 2=4·xyz, ∴3·xy z +1≥4·xyz.∴xy z ≤1,当且仅当x 2z =4y 2z 即x =2y 时取等号. ∴⎝⎛⎭⎫xy z max =1,此时x =2y ,z =xy =2y 2.∴2x +1y -2z =22y +1y -22y 2=2y -1y 2=-⎝⎛⎭⎫1y -12+1≤1. 当1y =1即y =1时取等号. ∴⎝⎛⎭⎫2x +1y -2z max =1.6.已知x >1,y >1,且14ln x ,14,ln y 成等比数列,则xy 的最小值为( )A.eB.2C.eD.e 2 答案 C解析 由题意得⎝⎛⎭⎫142=14ln x ·ln y , ∴ln x ·ln y =14,∵x >1,y >1,∴ln x ·ln y >0,又ln(xy )=ln x +ln y ≥2ln x ·ln y =1,当且仅当ln x =ln y =12时,等号成立,∴xy ≥e.即xy 的最小值为e.7.已知直线ax +by +c -1=0(b ,c >0)经过圆C :x 2+y 2-2y -5=0的圆心,则4b +1c 的最小值是( )A.9B.8C.4D.2答案 A解析 圆C :x 2+y 2-2y -5=0化成标准方程,得x 2+(y -1)2=6,所以圆心为C (0,1).因为直线ax +by +c -1=0经过圆心C ,所以a ×0+b ×1+c -1=0,即b +c =1.因此4b +1c=(b +c )⎝⎛⎭⎫4b +1c =4c b +b c +5. 因为b ,c >0,所以4c b +b c ≥24c b ·b c =4, 当且仅当4c b =b c时等号成立. 由此可得b =2c 且b +c =1,即b =23,c =13时,4b +1c取得最小值9. 二、填空题8.若xy 是正数,则⎝⎛⎭⎫x +12y 2+⎝⎛⎭⎫y +12x 2的最小值是 答案 4解析 ⎝⎛⎭⎫x +12y 2+⎝⎛⎭⎫y +12x 2 =x 2+x y +14y 2+y 2+y x +14x2 =⎝⎛⎭⎫x 2+14x 2+⎝⎛⎭⎫y 2+14y 2+⎝⎛⎭⎫x y +y x ≥1+1+2=4,当且仅当x =y =22或x =y =-22时取等号. 9.若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是m 2.答案 25解析 设矩形的一边为x m ,则另一边为12×(20-2x )=(10-x )m ,∴y =x (10-x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +(10-x )22=25, 当且仅当x =10-x ,即x =5时,y max =25.10.设0<x <2,则函数y =3x (8-3x )的最大值为.答案 4解析 ∵0<x <2,∴0<3x <6,8-3x >2>0,∴y =3x (8-3x )≤3x +(8-3x )2=82=4, 当且仅当3x =8-3x ,即x =43时,取等号. ∴当x =43时,y =3x (8-3x )有最大值4.11.设x >-1,则函数y =(x +5)(x +2)x +1的最小值是. 答案 9解析 ∵x >-1,∴x +1>0,设x +1=t >0,则x =t -1,于是有y =(t +4)(t +1)t =t 2+5t +4t =t +4t+5≥2t ·4t+5=9, 当且仅当t =4t,即t =2时取等号,此时x =1. ∴当x =1时,函数y =(x +5)(x +2)x +1取得最小值9. 12.已知x >0,y >0,且3x +4y =12,则lg x +lg y 的最大值为.答案 lg3解析 由x >0,y >0,且3x +4y =12,得xy =112·(3x )·(4y )≤112⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +4y 22=3. 所以lg x +lg y =lg(xy )≤lg3,当且仅当3x =4y =6,即x =2,y =32时,等号成立. 故当x =2,y =32时,lg x +lg y 的最大值是lg3.三、解答题 13.某建筑公司用8000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层4000平方米的楼房.经初步估计得知,如果将楼房建为x (x ≥12)层,则每平方米的平均建筑费用为Q (x )=3000+50x (单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用最小值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积) 解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元,依题意得f (x )=Q (x )+8000×100004000x =50x +20000x+3000(x ≥12,x ∈N +), f (x )=50x +20000x +3000≥250x ·20000x+3000=5000(元). 当且仅当50x =20000x,即x =20时,上式取等号, 所以当x =20时,f (x )取得最小值5000(元).所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用最小值为5000元.四、探究与拓展14.已知a >0,b >0,2a +1b =16,若不等式2a +b ≥9m 恒成立,则m 的最大值为. 答案 6解析 由已知,可得6⎝⎛⎭⎫2a +1b =1,所以2a +b =6⎝⎛⎭⎫2a +1b ·(2a +b )=6⎝⎛⎭⎫5+2a b +2b a ≥6×(5+4)=54, 当且仅当2a b =2b a,即a =b 时等号成立, 所以9m ≤54,即m ≤6.15.如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成,现有可围36m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为时,可使每间虎笼面积最大.答案 4.5m ,3m解析 设每间虎笼长为x m ,宽为y m.依题意,得4x +6y =36,即2x +3y =18.设每间虎笼面积为S ,则S =xy .方法一 由于2x +3y ≥26xy ,∴26xy ≤18,得xy ≤272, 即S ≤272,当且仅当2x =3y 时,等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +3y =18,2x =3y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =4.5,y =3. 故每间虎笼长为4.5m ,宽为3m 时,可使面积最大.方法二 由2x +3y =18,得x =9-32y . ∵x >0,∴0<y <6,S =xy =⎝⎛⎭⎫9-32y y =32(6-y )·y . ∵0<y <6,∴6-y >0,∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6-y )+y 22=272. 当且仅当6-y =y ,即y =3时,等号成立,此时x =4.5.故每间虎笼长为4.5m ,宽为3m 时,可使面积最大.。

高中数学人教B版必修5习题第3章不等式3.3第1课时(含答案)

高中数学人教B版必修5习题第3章不等式3.3第1课时(含答案)

第三章 3.3 第 1课时一、选择题1.若会合A= { x|x2-x<0} , B= { x|0<x<3} ,则 A∩ B 等于 ()A . { x|0<x<1}B . { x|0<x<3}C. { x|1<x<3} D .?[答案 ]A[分析 ]∵A= { x|x2- x<0} = { x|0<x<1} ,B= { x|0<x<3} ,∴A∩ B= { x|0<x<1} .2.不等式 (1- x)(3+ x)>0 的解集是 ()A . (- 3,1)B . (-∞,- 3)∪ (1,+∞ ) C. (- 1,3) D . (-∞,- 1)∪ (3,+∞ ) [答案 ]A[分析 ]由 (1- x)(3+ x)>0 ,得(x- 1)(x+ 3)<0 ,∴-3< x<1,应选 A.3.不等式 x2+ 2x- 3≥ 0 的解集为 ()A . { x|x≤- 1 或 x≥3}B . { x|- 1≤ x≤3}C. { x|x≤- 3 或 x≥1} D . { x|- 3≤ x≤ 1}[答案 ]C[分析 ]由 x2+ 2x- 3≥ 0,得 (x+ 3)(x- 1)≥ 0,∴x≤- 3 或 x≥ 1,应选 C.4.不等式 x2- 4x- 5>0 的解集是 ()A . { x|x≥ 5 或 x≤- 1}B . { x|x>5 或 x<-1}C. { x|-1< x<5} D . { x|- 1≤ x≤ 5}[答案 ]B[分析 ]由 x2- 4x- 5>0,得 x>5 或 x<- 1,应选 B.5.不等式- x2≥x- 2 的解集为 ()A . { x|x≤- 2 或 x≥1}B . { x|- 2<x<1}C. { x|-2≤ x≤ 1} D .?[答案 ]C[分析 ]原不等式可化为x2+ x- 2≤ 0,即 (x+2)(x- 1)≤0,∴-2≤ x≤ 1.应选 C.6.(2016 大·连高二检测11},则 a、 c 的值为 () )不等式 ax2+ 5x+ c>0 的解集为 { x| <x<23A . a= 6, c= 1B . a=- 6, c=- 1C. a= 1, c= 1 D .a=- 1, c=- 6[答案 ]B1111511c[分析 ]由已知得 a<0 且3、2为方程 ax2+ 5x+ c= 0 的两根,故3+2=-a,3×2=a.解得 a=- 6, c=- 1,应选 B.二、填空题7.不等式 x2+ x-2<0 的解集为 ________.[答案 ]{ x|- 2<x<1}[分析 ]由 x2+ x- 2<0 ,得 (x+ 2)(x- 1)<0 ,∴-2<x<1,故原不等式的解集为 { x|- 2<x<1} .8.不等式 0≤ x2- 2x- 3<5 的解集为 ________.[答案 ]{ x|- 2< x≤- 1 或 3≤ x< 5}[分析 ]由 x2- 2x- 3≥ 0 得: x≤ -1 或 x≥ 3;由 x2- 2x- 3< 5 得- 2< x<4,∴-2< x≤ - 1 或 3≤ x< 5.∴原不等式的解集为{ x|- 2< x≤ - 1 或 3≤ x<5} .三、解答题9.若不等式ax2+ bx+ c>0 的解集为 { x|- 3<x<4} ,求不等式bx2+ 2ax- c- 3b<0 的解集.[分析 ]∵ax2+bx+c>0的解集为{ x|-3<x<4},∴a<0 且- 3 和 4 是方程 ax2+ bx+ c= 0 的两根,b-3+ 4=-a∴,c-3×4=ab=- a解得.c=- 12a- 2 -∴不等式 bx2+ 2ax-c- 3b<0可化为- ax2+ 2ax+ 15a<0,即 x2- 2x- 15<0,∴-3<x<5,∴所求不等式的解集为{ x|- 3<x<5} .10.解以下对于x 的不等式:(1)(5- x)(x+ 1)≥ 0;(2)- 4x2+ 18x-81≥ 0;4(3)-12x2+ 3x-5>0 ;(4)- 2x2+ 3x-2<0.[分析 ] (1) 原不等式化为(x-5)( x+ 1)≤ 0,∴-1≤ x≤ 5.∴故所求不等式的解集为{ x|-1≤ x≤ 5} .(2)原不等式化为4x2- 18x+814≤ 0,即(2x-9)2≤0,29∴x=4.9故所求不等式的解集为{ x|x=4} .(3)原不等式化为x2- 6x+10<0,即( x- 3)2+ 1<0,∴x∈ ?.故所求不等式的解集为?.(4)原不等式化为2x2- 3x+ 2>0 ,27即2(x-4) +8>0,∴x∈R .3故所求不等式的解集为R .一、选择题1.假如 ax2+ bx+ c>0 的解集为 { x|x<- 2或 x>4} ,那么对于函数f(x)= ax2+ bx+c 有 () A . f(5)< f(2)< f(- 1) B . f(2)< f(5)< f(- 1)C. f(2)< f(- 1)< f(5) D . f(- 1)< f(2)< f(5)[答案 ]C[分析 ]∵ax2+bx+ c>0 的解集为 { x<- 2或 x>4} .则 a>0且- 2 和 4 是方程 ax2+ bx+ c=0 的两根,b c∴-a= 2,a=- 8.∴函数 f(x)= ax2+ bx+c 的图象张口向上,对称轴为bx=-2a=1,∴f(5)> f(- 1)> f(2) ,应选 C.2.不等式 2x2+mx+ n>0 的解集是 { x|x>3 或 x<- 2} ,则 m、 n 的值分别是 () A . 2,12B.2,- 2C. 2,- 12 D .- 2,- 12[答案 ]D由题意知- 2、 3 是方程 2x2+mx+ n= 0 的两个根,因此-m[分析 ]2+ 3=-2,-2×3=n2,∴m=- 2,n=- 12.3.函数 y=log 12) 2x - 1 的定义域是 (A . [- 2,- 1)∪ (1, 2]B.[- 2,- 1)∪ (1, 2)C. [- 2,- 1)∪(1,2] D . (-2,- 1)∪ (1,2)[答案 ]A122[分析 ]∵log 2( x - 1)≥ 0,∴0< x-1≤ 1,∴1< x2≤ 2,∴1< x≤ 2或- 2≤ x<- 1.4.已知会合 A= { x|3x- 2- x2< 0} , B= { x|x- a< 0} 且 B A,则 a 的取值范围是 () A . a≤ 1 B . 1< a≤ 2C. a> 2 D .a≤ 2[答案 ]A[分析 ]A= { x|x< 1或 x> 2} , B= { x|x< a} ,∵B A,∴a≤ 1.二、填空题5.若对于 x 的不等式x2- ax- a≤- 3 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是 ________.[答案 ]a≤- 6 或 a≥ 2[分析 ]∵x2-ax-a≤ -3的解集不是空集,∴y= x2- ax- a+ 3 的图象与x 轴有交点,则=( -a) 2-4× 1× (- a+ 3)≥ 0,解得 a≤ - 6 或 a≥ 2.6.对于实数 x,当且仅当n≤ x<n+ 1(n∈ N +)时,规定 [x]= n,则不等式4[x] 2- 36[ x] + 45<0的解集为 ________.[答案 ]{ x|2≤ x<8}[分析 ]由4[x]2-36[ x]+45<0,3得2<[ x]<7.5 ,即 1.5<[ x]<7.5 ,故 2≤ [x]≤ 7,∴2≤ x<8.三、解答题7.已知不等式x2- 2x- 3<0 的解集为A,不等式x2+ x-6<0 的解集为B.(1)求 A∩ B;(2)若不等式x2+ ax+ b<0 的解集为 A∩B,求不等式ax2+ x+ b<0 的解集.[分析 ](1) 由 x2-2x- 3<0 ,得- 1<x<3 ,∴A= (- 1,3).由 x2+ x- 6<0 ,得- 3< x<2,∴B= (- 3,2),∴A∩ B= (- 1,2).1- a+b= 0(2)由题意,得,4+ 2a+ b= 0a=- 1解得.b=- 2∴-x2+ x-2<0 ,∴x2- x+2>0 ,∴不等式 x 2- x + 2>0 的解集为 R .8.已知不等式 ax 2+ bx +c>0 的解集为 { x|α<x<β} ,此中 β>α>0,求不等式 cx 2+ bx + a<0的解集.[分析 ]∵ax 2+bx + c>0 的解集为 { x|α<x<β},∴α、 β是方程 ax 2+ bx +c = 0 的两根,且a<0.cb∴αβ=a , α+β=- a ,∴c = a αβ, b =- a(α+ β).2 2∵cx + bx + a<0,∴a αβx-a(α+ β)x + a<0.2整理,得αβx- (α+ β)x + 1>0.1 1∵β>α>0,∴αβ>0, > ,∴x 2- (1+ 1)x + 1>0.α β αβ1 11的两根为11∵方程 x 2-( +)x += 0、.α βαβα β11111 , ∴x 2- ( + )x +>0 的解集为 { x|x> ,或 x< } α βαβ α β11 即不等式 cx 2+ bx + a<0 的解集为 { x|x> ,或 x< } .αβ。

高中数学 第三章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高

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3.3 一元二次不等式及其解法课时过关·能力提升1下列不等式中,解集是R的是()A.x2+2x+1>0B.√x2>0C.(13)x+1>0D.1x -2<1xx2+2x+1=(x+1)2≥0,所以选项A不正确;因为√x2=|x|≥0,所以选项B不正确;选项D中x≠0;因为(13)x>0,所以(13)x+1>1>0,x∈R,故选C.2已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是()A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|x<5a或x>-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}2-4ax-5a2>0⇒(x-5a)(x+a)>0.∵a<-12,∴5a<-a.∴x>-a或x<5a.故选B.3已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2},则不等式cx2+bx+a<0的解集为()A.{x|-3<x<12} B.{x|x<-3或x>12}C.{x|-2<x<13} D.{x|x<-2或x>13}:ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2}⇔3x2-5x-2<0⇔-3x2+5x+2>0.设a=-3k,b=5k,c=2k(k>0),则cx2+bx+a<0⇔2kx2+5kx-3k<0⇔2x2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A.方法二:由题意知a<0,且-x x =(-13)+2,x x =(-13)×2,即x x =-53,x x =-23,而cx 2+bx+a<0⇔x x x 2+x x x+1>0⇔-23x 2-53x+1>0⇔2x 2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A .4设f (x )={2e x -1,x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,则不等式f (x )>2的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(√10,+∞)C.(1,2)∪(√10,+∞)D.(1,2)x<2时,令2e x-1>2,解得1<x<2.当x ≥2时,令log 3(x 2-1)>2,解得x ∈(√10,+∞).故x ∈(1,2)∪(√10,+∞).★5关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一根比1小,且另一根比1大的充要条件是()A.-1<a<1 B .a<-1或a>1 C.-2<a<1D.a<-2或a>1f (x )=x 2+(a 2-1)x+a-2,则它是开口向上的二次函数,方程的根即是函数与x 轴的交点的横坐标,因此只需f (1)<0,即1+a 2-1+a-2<0,故-2<a<1.6已知函数f (x )=√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R ,则实数k 的取值X 围为.2-6kx+(k+8)≥0恒成立,当k=0时,满足. 当k ≠0时,{x >0,x =(-6x )2-4x (x +8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.7已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0,要使同时满足①和②的所有x 都满足③,则实数m 的取值X 围是.:由{x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0,解得2<x<3.③对于2<x<3恒成立,即m<-2x 2+9x 对x ∈(2,3)恒成立,所以m 只需满足小于函数-2x 2+9x 在区间(2,3)上的最小值,即当x=3时,最小值为9,但取不到最小值.所以m ≤9.方法二:{x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0⇒{1<x <32<x <4⇒2<x<3.设f (x )=2x 2-9x+m.当x ∈(2,3)时,f (x )<0恒成立. 由二次函数的图象与性质,得{x (2)≤0,x (3)≤0,即{8-18+x ≤0,18-27+x ≤0,解得m ≤9.-∞,9]8已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为.f (x )为奇函数,且当x>0时,f (x )=x 2-4x ,所以f (x )={x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0,所以原不等式等价于{x >0,x 2-4x >x 或{x <0,-x 2-4x >x .由此可解得x>5或-5<x<0. 用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).-5,0)∪(5,+∞) ★9定义在(-3,3)内的奇函数f (x ),已知f (x )在其定义域内单调递减,且f (2-a )+f (1-a-a 2)>0,则实数a 的取值X 围是.f (x )为奇函数,∴f (2-a )>-f (1-a-a 2)=f (a 2+a-1). 又f (x )在(-3,3)上单调递减,∴{-3<2-x <3,-3<1-x -x 2<3,2-x <x 2+x -1,即{-1<x <5,-1-√172<x <-1+√172,x >1或x <-3.解得1<a<√17-12, 故实数a 的取值X 围为1<a<√17-12.1,√17-12) 10解关于x 的不等式ax 2-(a+1)x+1<0.当a=0时,原不等式化为-x+1<0,所以不等式的解集是{x|x>1}.(2)当a ≠0时,原不等式可化为a (x-1)(x -1x )<0. 若a<0,则(x-1)(x -1x )>0. 因为1x <1,所以原不等式的解集为{x |x <1x 或x >1};若a>0,原不等式化为(x-1)(x -1x )<0.①当1x <1,即a>1时,不等式的解集为{x |1x<x <1}.②当1x =1,即a=1时,不等式即为(x-1)2<0,显然不等式的解集为⌀. ③当1x>1,即0<a<1时,不等式的解集为{x |1<x <1x}.综上,原不等式的解集如下:当a<0时,解集为{x |x <1x 或x >1}; 当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x|1<x<1x};当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为{x|1x<x<1}.11设0<α<β,已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),求不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集.,得a<0,α+β=-xx >0,αβ=xx>0.∴a<0,c<0,b>0,从而a+c-b<0.设(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为α',β',则有α'+β'=2x-xx+x-x =2x+x(x+x)x+xxx+x(x+x)=(x+1)+(x+1) (x+1)(x+1)=1x+1+1x+1,α'β'=xx+x-x =xx+xxx+x(x+x)=1x+1·1x+1.∴(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为1x+1,1 x+1.∵0<α<β,∴1x+1>1x+1>0.∴不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集为(1x+1,1x+1).★12若关于x的不等式4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,某某数m的取值X围.:因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式4x+xx2-2x+3<2同解于4x+m<2x2-4x+6,即2x2-8x+6-m>0.要使原不等式对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0对任意实数x恒成立.所以需要Δ<0,即64-8(6-m)<0.整理并解得m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).方法二:由方法一,知要使4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0恒成立即可.变形为m<2x2-8x+6.设h(x)=2x2-8x+6,要使m<2x2-8x+6恒成立,只要m<h(x)min.而h(x)=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2, 所以h(x)min=-2.所以m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).。

高中数学人教B版必修5习题 第3章 不等式 3.5 第1课时(含答案)

高中数学人教B版必修5习题 第3章 不等式 3.5 第1课时(含答案)

第三章 3.5 第1课时一、选择题1.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >2x -y +3<0表示的平面区域是()[答案] D2.不等式x 2-y 2≥0表示的平面区域是()[答案] B3.完成一项装修工程,木工和瓦工的比例为23,请木工需付工资每人50 元,请瓦工需付工资每人40元,现有工资预算2 000元,设木工x 人,瓦工y 人,请工人数的约束条件是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y ≤5x 、y ∈N *B .⎩⎪⎨⎪⎧50x +40y ≤2000x y =23C .⎩⎪⎨⎪⎧5x +4y ≤200x y =23x 、y ∈N*D .⎩⎪⎨⎪⎧5x +6y <100x y =23[答案] C[解析] 因为请木工每人工资50元,瓦工每人工资40元,工资预算为2 000元,∴50x +40y ≤2 000即5x +4y ≤200.x 、y 表示人数∴x 、y ∈N *,∴答案为C .4.(2016·山东潍坊高二测试)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x -y +1)(x +y +1)≥0-1≤x ≤4表示的平面区域是( ) A .两个三角形 B .一个三角形 C .梯形 D .等腰梯形[答案] B[解析] 如图,∵(x -y +1)(x +y +1)≥0表示如图A 所示的对角形区域.且两直线交于点A (-1,0).故添加条件-1≤x ≤4后表示的区域如图B .5.已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x -2y -a =0的两侧,则a 的取值范围为( ) A .(-24,7) B .(-7,24)C .(-∞,-7)∪(24,+∞)D .(-∞,-24)∪(7,+∞) [答案] B[解析] ∵Ax +By +C >0与Ax +By +C <0分别表示直线Ax +By +C =0两侧的点的集合.∴(-9+2-a )·(12+12-a )<0∴-7<a <24.6.图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1≥0x -2y +2≥0B .⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1≤0x -2y +2≤0C .⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1≥0x -2y +2≤0D .⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1≤0x -2y +2≥0[答案] A[解析] 取原点O (0,0)检验满足x +y -1≤0,故异侧点应为x +y -1≥0,排除B 、D . O 点满足x -2y +2≥0,排除C . ∴选A . 二、填空题7.不等式|2x -y +m |<3表示的平面区域内包含点(0,0)和点(-1,1),则m 的取值范围是________.[答案] 0<m <3[解析] 将点(0,0)和(-1,1)代入不等式中解出0<m <3.8.用三条直线x +2y =2,2x +y =2,x -y =3围成一个三角形,则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x +2y <22x +y >2x -y <3三、解答题9.画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -6≥0x -y ≥0y ≤3x <5表示的平面区域.[解析] 不等式x +y -6≥0表示在直线x +y -6=0上及右上方的点的集合,x -y ≥0表示在直线x -y =0上及右下方的点的集合,y ≤3表示在直线y =3上及其下方的点的集合,x<5表示直线x =5左方的点的集合,所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -6≥0x -y ≥0y ≤3x <5表示的平面区域为如图阴影部分.一、选择题1.在平面直角坐标系中,若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1≥0x -1≤0ax -y +1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a 的值为( )A .-5B .1C .2D .3[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y =ax +1x =1,得A (1,a +1),由⎩⎪⎨⎪⎧ x =1x +y -1=0,得B (1,0), 由⎩⎪⎨⎪⎧y =ax +1x +y -1=0,得C (0,1). ∵S △ABC =2,且a >-1, ∴S △ABC =12|a +1|=2,∴a =3.2.若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0y -x ≤2表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为( )A .34B .1C .74D .2[答案] C[解析] 如图所示,区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形,当a 从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域.S 四边形ODEC =S △OBC -S △BDE =2-14=74.二、填空题3.点P (1,a )到直线x -2y +2=0的距离为355,且点P 在3x +y -3>0表示的区域内,则a =________.[答案] 3[解析] 由题意,得|1-2a +2|5=355,∴a =0或3,又点P 在3x +y -3>0表示区域内, ∴3+a -3>0,∴a >0,∴a =3.4.(2014·安徽文,13)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2≥0x +2y -4≤0x +3y -2≥0表示的平面区域的面积为________.[答案] 4[解析] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,由⎩⎪⎨⎪⎧x +3y -2=0x +2y -4=0,得A (8,-2).由x +y -2=0得B (0,2).又|CD |=2, 故S 阴影=12×2×2+12×2×2=4.三、解答题5.画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +1>0x +2y +1≥01<|x -2|≤3表示的平面区域.[解析] 不等式x -2y +1>0表示直线x -2y +1=0右下方的点的集合; 不等式x +2y +1≥0表示直线x +2y +1=0上及其右上方的点的集合;不等式1<|x -2|≤3可化为-1≤x <1或3<x ≤5,它表示夹在两平行线x =-1和x =1之间或夹在两平行线x =3和x =5之间的带状区域,但不包括直线x =1和x =3上的点.所以,原不等式表示的区域如下图所示.6.求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <32y ≥x3x +2y ≥63y <x +9表示的平面区域的面积.[解析] 不等式x <3表示直线x =3左侧点的集合.不等式2y ≥x ,即x -2y ≤0表示直线x -2y =0上及左上方点的集合.不等式3x +2y ≥6,即3x +2y -6≥0表示直线3x +2y -6=0上及右上方点的集合. 不等式3y <x +9即x -3y +9>0表示直线x -3y +9=0右下方点的集合. 综上可得,不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.因为平面区域为四边形形状,设顶点分别为A 、B 、C 、D ,如图. 可知A (0,3)、B (32,34)、C (3,32)、D (3,4)S 四边形ABCD =S 梯形AOED -S △COE -S △AOB =12(OA +DE )·OE -12OE ·CE -12OA ·x B =12×(3+4)×3-12×3×32-12×3×32=6.。

高中数学人教B版必修5习题 第3章 不等式 3.2 第1课时(含答案)

高中数学人教B版必修5习题 第3章 不等式 3.2 第1课时(含答案)

第三章 3.2 第1课时一、选择题1.若a 、b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A .a 2+b 2>2ab B .a +b ≥2ab C .1a +1b >2abD .b a +a b≥2[答案] D[解析] ∵a 2+b 2-2ab =(a -b )2≥0,∴A 错误. 对于B 、C ,当a <0,b <0时,明显错误. 对于D ,∵ab >0,∴b a +ab≥2b a ·a b=2. 2.设0<a <b ,则下列不等式中正确的是( ) A .a <b <ab <a +b2B .a <ab <a +b2<bC .a <ab <b <a +b2D .ab <a <a +b2<b[答案] B[解析] ∵0<a <b ,∴a <a +b2<b ,A 、C 错误;ab -a =a (b -a )>0,即ab >a ,故选B . 3.设x 、y ∈R ,且x +y =5,则3x +3y 的最小值为( ) A .10 B .6 3C .46D .18 3[答案] D[解析] x +y =5,3x +3y ≥23x ·3y =23x +y =235=18 3.4.已知正项等差数列{a n }中,a 5+a 16=10则a 5a 16的最大值为( ) A .100 B .75 C .50 D .25[答案] D[解析] ∵a 5>0,a 16>0,a 5+a 16=10,∴a 5·a 16≤(a 5+a 162)2=(102)2=25,当且仅当a 5=a 16=5时,等号成立.5.设a >0,b >0,若3是3a 与3b 的等比中项,则1a +1b 的最小值为( )A .8B .4C .1D .14[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b =3,∴a +b =1, ∴1a +1b =a +b a +a +b b =2+b a +a b ≥4. 当a =b =12时“=”成立.故选B .6.若0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,则a +b,2ab ,2ab ,a 2+b 2中最大的一个是( ) A .a 2+b 2 B .2ab C .2ab D .a +b [答案] D[解析] 解法一:∵0<a <1,0<b <1, ∴a 2+b 2>2ab ,a +b >2ab ,a >a 2,b >b 2, ∴a +b >a 2+b 2,故选D .解法二:取a =12,b =13,则a 2+b 2=1336,2ab =63,2ab =13,a +b =56,显然56最大.二、填空题7.设实数a 使a 2+a -2>0成立,t >0,比较12log a t 与log a t +12的大小,结果为________________.[答案] 12log a t ≤log a t +12[解析] ∵a 2+a -2>0,∴a <-2或a >1, 又a >0且a ≠1,∴a >1,∵t >0,∴t +12≥t ,∴log a t +12≥log a t =12log a t ,∴12log a t ≤log a t +12. 8.函数y =x ·(3-2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________. [答案] 98[解析] ∵0≤x ≤1,∴3-2x >0,∴y =122x ·(3-2x )≤12[2x +(3-2x )2]2=98,当且仅当2x =3-2x 即x =34时,取“=”号.三、解答题9.已知a 、b 是正数,试比较21a +1b 与ab 的大小.[解析] ∵a >0,b >0, ∴1a +1b≥21ab>0. ∴21a +1b ≤221ab =ab . 即21a +1b ≤ab . 10.已知直线l 过点P (2,1),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点,O 为坐标原点,求三角形OAB 面积的最小值.[解析] 设A (a,0)、B (0,b ),则直线AB 的方程为x a +yb =1,又直线过点P (2,1),∴2a +1b =1 ∴1=2a +1b ≥22ab, ∴ab ≥8.当且仅当2a =1b即a =4,b =2时等号成立.∴S △OAB 的最小值为12×8=4.一、选择题1.已知x >0,y >0,lg2x +lg8y =lg2,则 1x +13y 的最小值是( )A .2B .2 2C .4D .2 3[答案] C[解析] 由lg2x +lg8y =lg2,得lg2x +3y =lg2, ∴x +3y =1,1x +13y =(1x +13y )(x +3y )=2+x 3y +3yx ≥4,当且仅当x 3y =3y x ,即x =12,y =16时,等号成立.2.a =(x -1,2),b =(4,y )(x 、y 为正数),若a ⊥b ,则xy 的最大值是( ) A .12B .-12C .1D .-1 [答案] A[解析] 由已知得4(x -1)+2y =0,即2x +y =2. ∴xy =x (2-2x )=2x (2-2x )2≤12×(2x +2-2x 2)2=12.3.设函数f (x )=2x +1x -1(x <0),则f (x )( )A .有最大值B .有最小值C .是增函数D .是减函数 [答案] A[解析] ∵x <0,∴f (x )=2x +1x -1≤-2(-2x )(-1x)-1=-22-1,等号在-2x =1-x ,即x =-22时成立.∴f (x )有最大值.4.已知x >0,y >0,x 、a 、b 、y 成等差数列,x 、c 、d 、y 成等比数列,则(a +b )2cd 的最小值是( )A .0B .1C .2D .4[答案] D[解析] 由等差、等比数列的性质得 (a +b )2cd =(x +y )2xy =x y +yx +2≥2y x ·xy+2=4.当且仅当x =y 时取等号,∴所求最小值为4. 二、填空题5.已知a >b >1,P =lg a ·lg b ,Q =12(lg a +lg b ),R =lg(a +b 2),则P 、Q 、R 的大小关系是________.[答案] P <Q <R[解析] 因为a >b >1,所以lg a >lg b >0, 所以12(lg a +lg b )>lg a ·lg b ,即Q >P ,又因为a +b 2>ab ,所以lg a +b 2>lg ab =12(lg a +lg b ),所以R >Q .故P <Q <R .6.函数y =a 1-x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny -1=0(mn >0)上,则1m +1n的最小值为________. [答案] 4[解析] 函数y =a 1-x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A (1,1). ∴m +n -1=0,即m +n =1.又mn >0,∴1m +1n =(1m +1n )·(m +n )=2+(n m +m n )≥2+2=4,当且仅当m =n =12时,等号成立.三、解答题7.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的质量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量,这种说法对吗?证明你的结论.[解析] 不对.设左、右臂长分别为l 1、l 2,物体放在左、右托盘称得重量分别为a 、b ,真实重量为G ,则由杠杆平衡原理有:l 1·G =l 2·a , ① l 2·G =l 1·b ,②①×②得G 2=ab ,∴G =ab ,由于l 1≠l 2,故a ≠b , 由均值不等式a +b 2>ab 知说法不对,真实重量是两次称量结果的几何平均数. 8.求函数y =1-2x -3x 的值域.[解析] y =1-2x -3x =1-(2x +3x ).①当x >0时,2x +3x≥22x ·3x=2 6. 当且仅当2x =3x ,即x =62时取等号.∴y =1-(2x +3x)≤1-2 6.②当x <0时,y =1+(-2x )+(-3x ).∵-2x +(-3x)≥2(-2x )·(-3x)=2 6.当且仅当-2x =-3x 时,即x =-62时取等号.∴此时y =1-2x -3x≥1+2 6综上知y ∈(-∞,1-26]∪[1+26,+∞).∴函数y =1-2x -3x的值域为(-∞,1-26)∪[1+26,+∞).。

高中数学人教B版必修5习题第3章不等式3.2第3课时

高中数学人教B版必修5习题第3章不等式3.2第3课时

第三章 3.2 第3课时一、选择题1.若x >0,y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是( ) A .1x +y ≤14B .1x +1y ≥1C .xy ≥2D .1xy≥1[答案] B[解析] 取x =1,y =2满足x +y ≤4排除A 、C 、D 选B .具体比较如下:∵0<x +y ≤4∴1x +y ≥14故A 不对;∵4≥x +y ≥2xy ,∴xy ≤2,∴C 不对;又0<xy ≤4,∴1xy ≥14∴D 不对;1x +1y =x +y xy ≥2xy xy =2xy ,∵1xy ≥12,∴1x +1y ≥1.2.已知m 、n ∈R ,m 2+n 2=100,则mn 的最大值是( ) A .100 B .50 C .20 D .10 [答案] B [解析] 由m 2+n 2≥2mn得,mn ≤m 2+n 22=50,等号在m =n =52时成立,故选B .3.若a >0,b >0且a +b =4,则下列不等式恒成立的是( ) A .1ab >12B .1a +1b ≤1C .ab ≥2D .1a 2+b 2≤18[答案] D[解析] ∵a >0,b >0,a +b =4, ∴ab ≤a +b2=2,∴ab ≤4,∴1ab ≥14,∴1a +1b =a +b ab =4ab≥1,故A 、B 、C 均错,选D . [点评] 对于D 有,a 2+b 2=(a +b )2-2ab =16-2ab ≥16-2×4=8,∴1a 2+b 2≤18.4.实数x 、y 满足x +2y =4,则3x +9y 的最小值为( ) A .18B .12C .23D .43[答案] A[解析] ∵x +2y =4,∴3x +9y =3x +32y ≥23x ·32y =23x+2y=234=18,等号在3x =32y 即x =2y 时成立.∵x +2y =4,∴x =2,y =1时取到最小值18.5.(2019·云南师大附中高三月考)已知a +b =t (a >0,b >0),t 为常数,且ab 的最大值为2,则t 等于( )A .2B .4C .22D .25[答案] C[解析] 当a >0,b >0时,ab ≤(a +b )24=t 24,当且仅当a =b =t 2时取等号.因为ab 的最大值为2,所以t 24=2,t 2=8,所以t =8=2 2.故选C .6.若2x +2y =1,则x +y 的取值范围是( ) A .[0,2] B .[-2,0] C .[-2,+∞) D .(-∞,-2][答案] D[解析] ∵2x +2y ≥22x +y ,∴22x +y ≤1, ∴2x +y ≤14=2-2,∴x +y ≤-2,故选D .二、填空题7.已知x 、y ∈R +,且满足x 3+y 4=1,则xy 的最大值为________.[答案] 3[解析] ∵x >0,y >0且1=x 3+y4≥2xy 12, ∴xy ≤3,当且仅当x 3=y 4,即x =32,y =2时取等号.8.已知a 、b 为实常数,函数y =(x -a )2+(x -b )2的最小值为__________ [答案] 12(a -b )2[解析] 从函数解析式的特点看,本题可化为关于x 的二次函数,再通过配方求其最小值(留给读者完成).但若注意到(x -a )+(b -x )为定值,则用变形不等式a 2+b 22≥(a +b 2)2更简捷.∴y =(x -a )2+(x -b )2≥2[(x -a )+(b -x )2]2=(a -b )22.当且仅当x -a =b -x ,即x =a +b2时,上式等号成立.∴当x =a +b 2,y min =(a -b )22.三、解答题9.已知正常数a 、b 和正实数x 、y ,满足a +b =10,a x +by =1,x +y 的最小值为18,求a 、b 的值.[解析] x +y =(x +y )·1=(x +y )·(a x +by )=a +b +ay x +bxy ≥a +b +2ab =(a +b )2,等号在ay x =bx y 即y x=ba时成立. ∴x +y 的最小值为(a +b )2=18, 又a +b =10,∴ab =16.∴a 、b 是方程x 2-10x +16=0的两根, ∴a =2,b =8或a =8,b =2. 10.设x >0,y >0,且x 2+y 22=1,求x 1+y 2的最大值. [解析] ∵x >0,y >0且x 2+y 22=1, ∴x 1+y 2=x 2(1+y 2) =12·2x 2(1+y 2) =22·2x 2(1+y 2) ≤22·2x 2+(1+y 2)2=324, 当且仅当2x 2=1+y 2,即x =32,y =22时等号成立. ∴x 1+y 2的最大值为324.一、选择题1.已知a >0,b >0,且a +b =1,则⎝⎛⎭⎫1a 2-1⎝⎛⎭⎫1b 2-1的最小值为( )A .6B .7C .8D .9[答案] D[解析] ∵a +b =1,a >0,b >0, ∴ab ≤14,等号在a =b =12时成立.∴⎝⎛⎭⎫1a 2-1⎝⎛⎭⎫1b 2-1=1-a 2a 2·1-b 2b 2 =(1+a )·b a 2·(1+b )a b 2=(1+a )(1+b )ab =2+ab ab =2ab +1≥214+1=9,故选D . 2.若直线2ax -by +2=0(a >0,b >0)被圆x 2+y 2+2x -4y +1=0截得的弦长为4,则1a +1b 的最小值为( )A .14B .12C .2D .4[答案] D[解析] 圆的标准方程为(x +1)2+(y -2)2=4,∴圆的直径为4,而直线被圆截得的弦长为4,则直线应过圆心(-1,2),∴-2a -2b +2=0,即a +b =1,∴1a +1b =⎝⎛⎭⎫1a +1b (a +b )=1+1+b a +ab ≥2+2b a ×a b =4 (等号在a =b =12时成立). 故所求最小值为4,选D .3.当x >1时,不等式x +1x -1≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,2]B .[2,+∞)C .[3,+∞)D .(-∞,3][答案] D [解析] ∵x >1,∴x +1x -1=x -1+1x -1+1≥2(x -1)·1x -1+1=3(当x =2时等号成立).要使x +1x -1≥a 恒成立,则须使a ≤3.4.已知正数x 、y 满足1x +4y=1,则xy 有( )A .最小值116B .最大值16C .最小值16D .最大值116[答案] C[解析] ∵x >0,y >0,∴1x +4y ≥24xy=41xy ,又∵1x +4y=1, ∴41xy≤1, ∴1xy ≤116, ∴xy ≥16,故选C . 二、填空题5.一批救灾物资随17列火车以v km/h 的速度匀速直达400 km 以外的灾区,为了安全起见,两列火车的间距不得小于(v20)2 km ,则这批物资全部运送到灾区最少需__________ h.[答案] 8[解析] 物资全部运到灾区需t =400+16×(v20)2v =400v +v 25≥8 h ,等号成立时,400v =v25,即v =100.故最少要用8 h.6.若正实数x 、y 满足2x +y +6=xy ,则xy 的最小值是________. [答案] 18[解析] ∵x >0,y >0, ∴2x +y ≥22xy ,∴2x +y +6=xy ≥22xy +6, ∴(xy )2-22xy -6≥0, 解得xy ≥32,即xy ≥18. 三、解答题7.已知函数f (x )=lg x (x ∈R +),若x 1、x 2∈R +,判断12[f (x 1)+f (x 2)]与f (x 1+x 22)的大小并加以证明.[解析] 12[f (x 1)+f (x 2)]≤f (x 1+x 22)∵f (x 1)+f (x 2)=lg x 1+lg x 2=lg(x 1·x 2),f (x 1+x 22)=lg x 1+x 22,而x 1、x 2∈R +,x 1x 2≤(x 1+x 22)2,而f (x )=lg x 在区间(0,+∞)上为增函数. ∴lg(x 1x 2)≤lg(x 1+x 22)2,∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1+x 22. 即12(lg x 1+lg x 2)≤lg x 1+x 22. 因此,12[f (x 1)+f (x 2)]≤f (x 1+x 22).8. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元.试求:(1)仓库面积S 的取值范围是多少?(2)为使S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长?[解析] (1)设正面铁栅长x m ,侧面长为y m ,总造价为z 元,则z =40x +2×45y +20xy =40x +90y +20xy ,仓库面积S =xy .由条件知z ≤3 200,即4x +9y +2xy ≤320. ∵x >0,y >0,∴4x +9y ≥24x ·9y =12xy .∴6S +S ≤160,即(S )2+6S -160≤0. ∴0<S ≤10,∴0<S ≤100. 故S 的取值范围是(0,100].(2)当S =100 m 2时,4x =9y ,且xy =100. 解之得x =15(m),y =203(m).答:仓库面积S 的取值范围是(0,100],当S 取到最大允许值100 m 2时,正面铁栅长15 m.。

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第三章 3.1 第2课时一、选择题1.已知a 、b 、c 、d 均为实数,有下列命题 ①若ab <0,bc -ad >0,则c a -db >0;②若ab >0,c a -db >0,则bc -ad >0;③若bc -ad >0,c a -db >0,则ab >0.其中正确命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3[答案] C[解析] ①∵ab <0,∴1ab<0,又∵bc -ad >0∴1ab ·(bc -ad )<0即c a -db <0,∴①错;②∵ab >0,c a -db >0,∴ab (c a -db )>0,即:bc -ad >0, ∴②正确;③∵c a -db >0∴bc -ad ab >0,又∵bc -ad >0∴ab >0∴③正确.2.若a <b <0,则下列不等式不能成立的是( ) A .1a >1bB .2a >2bC .|a |>|b |D .(12)a >(12)b[答案] B[解析] ∵a <b ,∴2a <2b , 故选B .3.设a +b <0,且a >0,则( ) A .a 2<-ab <b 2 B .b 2<-ab <a 2 C .a 2<b 2<-ab D .ab <b 2<a 2 [答案] A[解析] ∵a +b <0,且a >0,∴0<a <-b , ∴a 2<-ab <b 2.4.已知a 2+a <0,那么a ,a 2,-a ,-a 2的大小关系是( ) A .a 2>a >-a 2>-a B .-a >a 2>-a 2>a C .-a >a 2>a >-a 2 D .a 2>-a >a >-a 2 [答案] B[解析] ∵a 2+a <0,∴0<a 2<-a ,∴0>-a 2>a , ∴a <-a 2<a 2<-a ,故选B .[点评] 可取特值检验,∵a 2+a <0,即a (a +1)<0,令a =-12,则a 2=14,-a 2=-14,-a =12,∴12>14>-14>-12,即-a >a 2>-a 2>a ,排除A 、C 、D ,选B . 5.已知|a |<1,则1a +1与1-a 的大小关系为( )A .1a +1<1-aB .1a +1>1-aC .1a +1≥1-aD .1a +1≤1-a [答案] C[解析] 解法一:检验法:令a =0,则1a +1=1-a ,排除A 、B ;令a =12,则1a +1>1-a ,排除D ,故选C .解法二:∵|a |<1,∴1+a >0, ∴11+a -(1-a )=a 21+a ≥0, ∴1a +1≥1-a . 6.若a >b >0,则下列不等式中总成立的是( ) A .b a >b +1a +1B .a +1a >b +1bC .a +1b >b +1aD .2a +b a +2b >ab[答案] C[解析] 解法一:由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a +1b >b +1a,故选C .解法二:(特值法)令a =2,b =1,排除A 、D ,再令a =12,b =13,排除B .二、填空题7.已知三个不等式:①ab >0;②c a >db ;③bc >ad .以其中两个作条件,余下一个为结论,写出两个能成立的不等式命题________.[答案]⎭⎪⎬⎪⎫①②⇒③, ⎭⎪⎬⎪⎫①③⇒②,⎭⎪⎬⎪⎫②③⇒①中任选两个即可.[解析]c a >d b ⇒bc -adab>0.若③成立,则①成立∴②③⇒①;若③成立即bc >ad ,若①成立,则bc ab >ad ab ,∴c a >db∴①③⇒②;若①与②成立显然有③成立.8.实数a 、b 、c 、d 满足下列两个条件:①d >c ;②a +d <b +c .则a 、b 的大小关系为________. [答案] a <b[解析] ∵d >c ,∴d -c >0, 又∵a +d <b +c , ∴b -a >d -c >0, ∴b >a . 三、解答题9.(1)已知c >a >b >0.求证:a c -a >b c -b.(2)已知a 、b 、m 均为正数,且a <b ,求证:a +m b +m >ab .[解析] (1)∵c >a >b >0∴c -a >0,c -b >0,⎭⎪⎬⎪⎫由a >b >0⇒1a <1bc >0⇒c a <c b⎭⎪⎬⎪⎫⇒c -a a <c -b bc -a >0 c -b >0⇒a c -a >bc -b.(2)证法一:a +m b +m -a b =m (b -a )b (b +m ),∵0<a <b ,m >0,∴m (b -a )b (b +m )>0,∴a +m b +m >ab .证法二:a +m b +m =a +b +m -b b +m =1+a -b b +m =1-b -ab +m >1-b -a b =ab.证法三:∵a 、b 、m 均为正数,∴要证a +m b +m >a b ,只需证(a +m )b >a (b +m ), 只需证ab +bm >ab +am , 只要证bm >am ,要证bm >am ,只需证b >a ,又已知b >a , ∴原不等式成立.10.已知2<m <4,3<n <5,求下列各式的取值范围. (1)m +2n ; (2)m -n ; (3)mn ; (4)m n. [解析] (1)∵3<n <5,∴6<2n <10. 又∵2<m <4,∴8<m +2n <14. (2)∵3<n <5,∴-5<-n <-3. 又∵2<m <4,∴-3<m -n <1. (3)∵2<m <4,3<n <5, ∴6<mn <20.(4)∵3<n <5,∴15<1n <13.由2<m <4,可得25<m n <43.一、选择题1.已知a 、b 为非零实数,且a <b ,则下列命题成立的是( ) A .a 2<b 2 B .ab 2<a 2b C .1ab 2<1a 2bD .b a <ab[答案] C[解析] 对于A 可举反例,如-2<1,可得(-2)2>12故A 错,对于B 要使ab 2<a 2b 成立,即ab (b -a )<0成立,而此时ab 的符号不确定,故B 错.对于D 要使b a <ab 成立,即b 2-a 2ab <0成立,ab 的符号也不确定.故D 错.2.若-π2<α<β<π2,则α-β的取值范围是( )A .(-π,π)B .(0,π)C .(-π,0)D .{0} [答案] C[解析] ∵-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2,又-π2<α<π2,∴-π<α-β<π,又α<β,∴α-β<0,∴-π<α-β<0.3.已知函数f (x )=x 3,x 1、x 2、x 3∈R ,x 1+x 2<0,x 2+x 3<0,x 3+x 1<0,那么f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)的值( )A .一定大于0B .一定小于0C .等于0D .正负都有可能 [答案] B[解析] ∵f (x )=x 3是单调递增函数,x 1<-x 2,x 2<-x 3,x 3<-x 1,∴f (x 1)<f (-x 2),f (x 2)<f (-x 3),f (x 3)<f (-x 1),又∵f (x )为奇函数,∴f (x 1)<-f (x 2),f (x 2)<-f (x 3),f (x 3)<-f (x 1), ∴f (x 1)+f (x 2)<0,f (x 2)+f (x 3)<0,f (x 3)+f (x 1)<0 ∴f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)<0.4.若1a <1b <0,给出下列不等式:①a +b <ab ;②|a |>|b |;③a <b ;④b a +ab>2.其中正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个[答案] B[解析] ∵1a <1b <0,∴a <0,b <0,a >b ,故③错;∴ab >0,∴a +b <0<ab ,故①成立; 又0>a >b ,∴|a |<|b |.∴②错;∵b a +a b =b 2+a 2ab =(a -b )2+2ab ab =(a -b )2ab +2 且a -b <0,ab >0,∴b a +ab >2,∴④成立.∴①④正确.选B . 二、填空题5.若a >0,b >0则a +b ________a +b (填上适当的等号或不等号). [答案] >[解析] ∵a >0,b >0,∴(a +b )2=a +b +2ab ,(a +b )2=a +b ,∴(a +b )2>(a +b )2,即a +b >a +b .6.设a >b >0,m >0,n >0,则p =b a ,q =ab ,r =b +m a +m ,s =a +n b +n 的大小顺序是________________.[答案] p <r <s <q[解析] 取a =4,b =2,m =3,n =1,则p =12,q =2,r =57,s =53则p <r <s <q (特值探路).具体比较如下:p -r =b a -b +m a +m =(b -a )ma (a +m )<0,∴p <r .∵a >b >0,m >0,n >0, ∴a +m >b +m >0.a +n >b +n >0, ∴b +m a +m <1,a +nb +n>1,∴r <s . 或r -s =b +m a +m -a +n b +n =(b -a )(b +a +m +n )(a +m )(b +n )<0.∴r <s .s -q =a +n b +n -a b =(b -a )·nb (b +n )<0,∴s <q .∴p <r <s <q .三、解答题7.如果30<x <42,16<y <24.分别求x +y 、x -2y 及xy 的取值范围.[解析] 46<x +y <66;-48<-2y <-32; ∴-18<x -2y <10;∵30<x <42,124<1y <116,∴3024<x y <4216,即54<x y <218. 8.已知a >0,b >0,a ≠b ,n ∈N 且n ≥2,比较a n +b n 与a n -1b +ab n-1的大小.[解析] (a n +b n )-(a n -1b +ab n -1)=a n -1(a -b )+b n -1(b -a )=(a -b )(a n -1-b n -1), (1)当a >b >0时,a n -1>b n -1,∴(a -b )(a n -1-b n -1)>0, (2)当0<a <b 时,a n -1<b n -1,∴(a -b )(a n -1-b n -1)>0,∴对任意a >0,b >0,a ≠b ,总有(a -b )(a n -1-b n -1)>0.∴a n +b n >a n -1b +ab n -1. 9. 某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两车队的收费标准、车型都是一样的,试根据此单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.[解析] 设该单位职工有n 人(n ∈N *),全票价为x 元,坐甲车需花y 1元,坐乙车需花y 2元,则y 1=x +34x ·(n -1)=14x +34xn ,y 2=45xn ,y 1-y 2=14x +34xn -45xn=14x -120xn =14x (1-n5). 当n =5时,y 1=y 2;当n >5时,y 1<y 2; 当n <5时,y 1>y 2.因此,当此单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.。

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