大学高数历年期末试题
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⼤学⾼数历年期末试题
2010-2011年
⼀. 填空题 (共4⼩题,每⼩题4分,共计16分) 1.
22(1,0)ln(),y z xe x y dz =++=
设则
2.设
xy y x y x f sin ),(+-=,则dx x x f dy y ??1
1 0 ),(=
3.设函数21cos ,0()1,0x
x f x x
x x πππ+?<
=-??+-≤≤?以为周期,()s x 为的()f x 的傅⾥叶级数的和函数,则(3)s π-= .
4.设曲线为圆周2
22R
y x =+,则曲线积分ds
x y x C
+)—(322
=
⼆.选择题(共4⼩题,每⼩题4分,共计16分)
1. 设直线为320
21030,x y z x y z ++=??
--+=?平⾯为4220x y z -+-=,则() .
(A) 平⾏于平⾯ (B) 在平⾯上
(C) 垂直于平⾯ (D) 与相交,但不垂直
2.设有空间区域2222
:x y z R Ω++≤
,则Ω
等于().
(A) 432R π (B) 4R π (C) 434R π (D) 4
2R π
3.下列级数中,收敛的级数是().
(A) ∑∞
=+-1)1()1(n n n
n n (B) ∑∞
=+-+11)1(n n
n n
(C)
n
n e
n -∞
=∑1
3 (D)
∑∞
=+
1
)
11ln(n n
n
n
4. 设
∑∞
=1
n n
a
是正项级数,则下列结论中错误的是()(A )若
∑∞
=1n n
a
收敛,则
∑∞
=1
2
n n
a
也收敛(B )若
收敛,则
1
1
+∞
=∑n n n
a
a 也收敛
(C )若∑∞
=1
n n
a 收敛,则部分和有界(D )若∑∞
=1
n n
a
收敛,则1lim 1
<=+∞
→ρn
n n a a
三.计算题(共8⼩题,每⼩题8分,共计64分)1.设函数具有⼆阶连续偏导数,),(2
y x y x f u +=,求y x u
2.
2.求函数y x xy z +-=23在曲线
12
+=x y 上点(1,2)处,沿着曲线在该点偏向轴正向的切线⽅向的⽅向导数. 解:
3.计算
,
)
(2dxdy
y
x
}4
)
,
({2
2≤
+
=y
x
y
x
D
.
4.
设⽴体由锥⾯z=
及半球⾯
1
z=+
.已知上任⼀点
()
,,
x y z
处
的密度与该点到x y o平⾯的距离成正⽐(⽐例系数为0 K>),试求⽴体的质量.
6. 计算第⼆类曲⾯积分??
∑
+
+dxdy
zx
xydxdz
xyzdydz2
,其中为球⾯
2
x
外侧.
7.求幂级数
n
n
x
n
∑∞
=+
11
1
的和函数。
四.证明题(本题4分)证明下列不等式成⽴:π
≥
D
x
y
dxdy
e
e
,其中
}1
|)
,
{(
D2
2≤
+
=y
x
y
x.五.证明题(本题8分)设有⼀⼩⼭,取它的底⾯所在平⾯为xoy坐标⾯,其底部所占的区域为}, 75
:)
,
{(2
2≤
-
+
=xy
y
x
y
x
D⼩⼭的⾼度函数为.
75
)
,
(2
2xy
y
x
y
x
h+
-
-
=
(
y
x
M为区域上⼀点,问)
,
(y
x
h在该点沿平⾯上什么⽅向的⽅向导数最⼤?若记此⽅向导数的最⼤值为
)
,
(
y
x
g,试写出)
,
(
y
x
g的表达式。
(2)现欲利⽤此⼩⼭举⾏攀岩活动,为此需要在⼭脚寻找⼀上⼭坡度最⼤的点作为攀登的起点也就是说,要在的边界线75 2
2=
-
+xy
y
x上找使(1)中的)
,
(y
x
g达到最⼤值的点,试确定攀登起点的位置。
2009-2010年
⼀、填空题(每⼩题5分,满分30分)
→
c
b
a,
,两两互相垂直,且5,12,13
a b c
→→→
===
和
,则=
+
+
→
→
→
c
b
a
.
2.设函数
2
2
sin
y
z xy
x
=
,求
z z
x y
x y
+=
.
3. 设函数
(,)
f x y为连续函数, 改变下列⼆次积分的积分顺序:
2
1
(,)
y
dy f x y dx=
.
4. 计算
(1,2)
(0,0)
()(2)y y I e x dx xe y dy =++-=
.
5. 幂级数n
n n
x n 213∑∞
=的收敛域为: .
6. 设函数
)()(2
πππ<<-+=x x x x f 的傅⾥叶级数为:∑∞
=++1
0)sin cos (2n n n nx b nx a a ,
则其系数 3b =
.
⼆、选择题(每⼩题5分,满分20分)
1.直线11
23
1-=-=-z y x 与平⾯34-2x y z +=的位置关系是( ) (A) 直线在平⾯内; (B) 垂直;
(C) 平⾏; (D) 相交但不垂直.
2.设函数2
2
(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y ()
(A) 在原点有极⼩值; (B) 在原点有极⼤值;
(C) 在(2,2)-点有极⼤值; (D) ⽆极值.
3. 设是⼀条⽆重点、分段光滑,且把原点围在内部的平⾯闭曲线,的⽅向为逆时针⽅向,则
=
+-L
y x ydx
xdy 2
2()
(A) 0; (B) ; (C) ; (D) 2π-.
4.
设为常数,则级数
21sin n na n ∞
=? ?∑() (A) 绝对收敛; (B) 发散;
(C) 条件收敛; (D) 敛散性与值有关. 三、计算题 (本⼤题满分42分)
1. 设
=≠+=.)0,0(),(,0),0,0(),(,),(4
22
y x y x y x xy y x f 讨论(,)f x y 在原点
)0,0(处是否连续,并求出两个偏导数)0,0(x f '和)0,0(y f '. (7分)
2. 计算
,
222Ω
++=dxdydz z y x I 其中是由上半球⾯2
22y x z --=和锥⾯
22y x z +=
所围成的⽴体 . (7分)
3. 求锥⾯
22y x z +=被柱⾯222x y x +=所割下部分的曲⾯⾯积.
(7分)
4. 计算曲⾯积分 ??
∑++=ydzdx
x xdydz z zdxdy y I 222 ,其中
是由
,22y x z +=0,0,0,12
2====+z y x y x 围在第⼀卦限的⽴体的外侧表⾯ . (7分)
5.讨论级数31
2
ln n n
n ∞
=∑
的敛散性. (6分) 6. 把级数12121
1(1)(21)!2n n n n x n -∞
--=--∑的和函数展成(1)x -的幂级数.(8分)四、(本题满分8分)设曲线L 是逆时针⽅向圆周
1)()(22=-+-a y a x ,()x ?是连续的正函数,证明:
.2)()(π??≥-?L dx x y y xdy
五、设曲线L 是逆时针⽅向圆周1)
()(2
2
=-+-a y a x ,()x ?是连
续的正函数,证明:.2)()(π??≥-?L dx x y y xdy
(8分)
2008-2009年
⼀.选择题(本题共6⼩题,每⼩题4分,满分24分.每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项
符合题⽬要求,把所选项前的字母填在题后的括号内). 1. 设三向量,,满⾜关系式c a b a ?=?,则(). (A )必有=; (B )必有=-;
(C )当≠时,必有=; (D )必有λλ()(-=为常数).
2. 直线
37423z
y x =-+=-+与平⾯3224=--z y x 的关系是(). (A )平⾏,但直线不在平⾯上; (B )直线在平⾯上;(C )垂直相交; (D )相交但不垂直.
3. ⼆元函数
=≠+=)0,0(),(,0)
0,0(),(,5),(2
2y x y x y
x xy
y x f 在点(0,0)处()
(A) 不连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在
(C) 连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在
4. 已知2)()(y x ydy
dx ay x +++为某⼆元函数的全微分,则=a ().
(A ); (B ); (C ); (D ). 5. 设)(u f 是连续函数,平⾯区域)11(,10:2
≤≤--≤≤x x y D ,则
=+??D
dxdy y x f )(22().
(A )??-+210
2210
)(x dy
y x f dx ; (B )??-+2
10
2210
)(y dx
y x f dy ;
(C )
1
2
0)(rdr r f d πθ; (D )
1
2
0)(dr r f d πθ.
6. 设为常数,则级数)cos 1()1(1n a n n
--∑∞
=().
(A )发散 ; (B )绝对收敛; (C )条件收敛; (D )收敛性与的值有关.
⼆.填空题(本题共6⼩题,每⼩题4分,满分24分).
1. 设函数
181261),,(2
22z y x z y x u +
++=,向量}1,1,1{=n ,点)3,2,1(0P ,
=
0P _____________.
2. 若函数y xy ax x y x f 22),(2
2+++=在点)1,1(-处取得极值,则常数=a ____________.
3. 为圆12
2
=+y x 的⼀周,则=-?L ds y x )(2
2_____________.
4. 设2lim 1
=+∞→n
n n a a ,级数∑∞=-112n n n x a 的收敛半径为 _____________.
5. 设
-=2
2
1
)(x y dy
e x
f ,则=?1
0)(dx x xf _____________.
6. 设)(x f 是以为周期的周期函数,它在区间]1,1(-上的定义为
≤<≤<-=10,0
1,2)(3
x x x x f ,则)(x f 的以为周期的傅⾥叶级数在1=x 处收敛于_____________.
三.解答下列各题(本题共7⼩题,满分44分). 1.(本⼩题6分)设)(u f 是可微函数,) (
x y f z =,求y z y x
z x ??+??2. 解题过程是:
2. (本⼩题6分)计算⼆重积分??+++D dxdy y x xy
2211,其中}0,1|),{(2
2≥≤+=x y x y x D .
解题过程是:
3. (本⼩题6分)设曲⾯),(y x z z =是由⽅程13=+xz y x 所确定,求该曲⾯在点)
1,2,1(0-M 处的切平⾯⽅程及全微分)2,1(|dz . 解题过程是:
4. (本⼩题6分)计算三重积分
Ω
+dxdydz
y x 22,其中是由柱⾯2
1x y -=及0=y ,
0=z ,4=++z y x 所围成的空间区域.
解题过程是:
5. (本⼩题6分)求??∑
++zdxdy dydz z x )2(,其中为曲⾯)10(22
≤≤+=z y x
z ,⽅向
取下侧.
解题过程是:
6. (本⼩题7分)求幂级数∑
∞
=+121n n
x n n 的收敛域及和函数.
解题过程是:
7. (本⼩题7分)计算??∑
+=dS
y x I )(22,为⽴体
22≤≤+z y x 的边界。
解题过程是:
四.证明题(8分).
设函数)(u f 在),(+∞-∞内具有⼀阶连续导数,是上半平⾯)0(>y 内的有向分段光滑曲线,其起点为),(b a ,终点为),(d c ,记? -++=L dy xy f y y x
dx xy f y y I ]1)([)](1[1222,
(1)证明曲线积分与路径⽆关; (2)当cd ab =时,求的值.
2007-2008年
1.平⾯0:1=-∏z y 与平⾯0:2=+∏y x 的夹⾓为 .
2. 函数2
2y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的⽅向的⽅向导数为. 3.设(,)f x y 是有界闭区域2
22:a y x D ≤+上的连续函数,则当0→a 时,
=
→D
a dxdy y x f a ),(1lim
20π .
4. 区域由圆锥⾯2
2
2
x y z +=及平⾯1=z 围成,则将三重积分f dV
Ω
在柱⾯
坐标系下化为三次积分为 .
5. 设为由曲线3
2,,t z t y t x ===上相应于从到的有向曲线弧,R Q P ,,是定义在上的连续
三元函数,则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有:
P d x
Q d y
R
Γ
++=?
______________________________________.
将
函
数
)
0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数为
__________________________________ .
⼆、单项选择题:7~12⼩题,每⼩题3分,共18分。
下列每题给出的四个选项中,只有⼀
项符合题⽬要求,请将所选项前的字母填在题后的括号内.
7.若),(y x f z =有连续的⼆阶偏导数,且K y x f xy =''),((常数),则(,)y f x y '=()
(A) 22
K ; (B) ; (C)
)(x Ky ?+; (D) )(y Kx ?+.
8.设
)(x f 是连续的奇函数,)(x g 是连续的偶函数,区域
{
}x
y x x y x D ≤≤-≤≤=,10),(,则下列结论正确的是()
(A)
)()(=??D dxdy x g y f ; (B)
)()(=??D dxdy y g x f ;
(C)
)]()([=+??D
dxdy y g x f ; (D)
)]()([=+??D
dxdy x g y f .
9.已知空间三⾓形三顶点)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(C B A -,则ABC ?的⾯积为()
(A) 29; (B) 37; (C) 92
; (D) 73.
10. 曲⾯积分??∑
dxdy z 2在数值上等于( )
(A) 流速场i z v 2
=穿过曲⾯Σ指定侧的流量;(B) 密度为2z =ρ的曲⾯⽚Σ的质量; (C) 向量场k z F 2=穿过曲⾯Σ指定侧的通量;(D) 向量场k z F 2
=沿Σ边界所做的功.
11.处
则此级数在处是收敛的在若级数1,4)2(1=-=+∑∞
=x x x c n n n ( )
(A)发散; (B)条件收敛; (C)绝对收敛; (D)收敛性不能确定.
12.级数∑∞
=--121
)1(n p
n n 的敛散性为 ( )
(A) 当p >
12时,绝对收敛;(B )当
p >
1
2时,条件收敛; (C) 当21
0≤
012<≤
p 时,发散. 三、解答题:13~20⼩题,共58分.请将解答过程写在题⽬下⽅空⽩处.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
13.(本题满分6分)设()
x y z x y z e -++++=确定(,)z z x y =,求全微分.
14. (本题满分8分)求曲线
22230
23540
x y z x x y z ++-=?
-+-=在点(1,1,1)处的切线与法平⾯⽅程.
15.(本题满分8分)求幂级数n
n x n ∑∞
=+0)12(的和函数.
16.(本题满分6分)计算??∑
++=dS
z y x I )(,其中为曲⾯5=+z y 被柱⾯25
2
2=+y x 所截下的有限部分.
17.(本题满分8分)计算积分
222(24)(2)L
I x xy dx x y dy
=++-?,其中为曲线
22355()()222x y -+-=
上从点(1,1)到(2,4)沿逆时针⽅向的⼀段有向弧.
18.(本题满分8分)计算
∑
+++=xydxdy
dzdx z x y yzdydz I )(22,其中是由曲⾯
224y x z -=+与平⾯0=y 围成的有界闭区域的表⾯外侧.
19.(本题满分8分)在第Ⅰ卦限内作椭球⾯122
222
2=++c z b y a x 的切平⾯,使切平⾯与三个
坐标⾯所围成的四⾯体体积最⼩,求切点坐标.
20. (本题满分6分)设)(),(x g x f 均在[]b a ,上连续,试证明柯西-施⽡茨不等式:
]
)(][)([])()([222≤b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f .
2006-2007年(⽆答案,仅⽤于题型参考)
⼀、选择题(本题共6⼩题,每⼩题4分,满分24分.每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项符合
题⽬要求,把所选项前的字母填在题后的括号内).
1.设三向量c b a ,,满⾜关系式c a b a ?=?,则().
(A )必有c b ,0 ==或者a ; (B )必有0
===c b a ;
(C )当0
≠a 时,必有c b =; (D )必有)(c b a -⊥.
2. 已知2,2==b a ,且2=?b a ,则=
b a ().
(A )2 ; (B )22; (C )22
; (D )1 .
3. 设曲⾯)0,0(:22
2
2>≥=++a z S a z y x ,是在第⼀卦限中的部分,则有().
(A )=S S S
x S x 1d 4d ; (B )=S S
S
x S y 1
d 4d ;
(C )=S S
S x S z 1
d 4d ; (D )=S S S
xyz S xyz 1d 4d .
4. 曲⾯6322
22=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平⾯⽅程是:().
(A )632=+-z y x ; (B )632=-+z y x ; (C )632=++z y x ; (D )632=--z y x .
5. 判别级数∑
∞
=1!
3n n
n n n 的敛散性,正确结果是:(). (A )条件收敛; (B )发散;
(C )绝对收敛; (D )可能收敛,也可能发散.
6. 平⾯0633=--y x 的位置是().
(A )平⾏于XOY 平⾯; (B )平⾏于Z 轴,但不通过Z 轴; (C )垂直于Z 轴 ; (D )通过Z 轴 . ⼆、填空题(本题共4⼩题,每⼩题5分,满分20分). 1. 已知e
x y
z =,则____________________d =z
.
2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(=P 处沿向量的⽅向导数是____________,函数
在点处的⽅向导数取最⼤值的⽅向是_____________,该点处⽅向导数的最⼤值是____________.
3. 已知曲线1:2
2=+y
x L ,则?+=L
s y x ______
__________d )
(2
.
4. 设函数展开傅⽴叶级数为:∑∞
=≤≤-=
02)
(,cos n n x nx a x
ππ,则__
_________2=a .
三、解答下列各题(本题共7⼩题,每⼩题7分,满分49分).
1. 求幂级数∑∞
=+0
1n n n x 收敛域及其和函数.
解题过程是:
2. 计算⼆重积分??≤++42
22
2d d y x y
x y
x e
.
解题过程是:
3. 已知函数),(y x f z =的全微分y y x x z d 2d 2d -=,并且2)1,1(=f . 求) ,(y x f z =在椭圆域}
14
|),{(2
2≤+
=y
x y x D 上的最⼤值和最⼩值.
解题过程是:
4. 设是由y
x z 2
2
+=,4=z 所围成的有界闭区域,计算三重积分++Ω
z
y x z y x d d d )(22
.
解题过程是:
5. 设L AB 为从点)0,1(-A 沿曲线x y 2
1-=到点)0,1(B ⼀段曲线,计算?++L AB
y
x y
y x x 22
d d .
解题过程是:
6. 设是上半球⾯
y x z 2
21--=的下侧,计算曲⾯积分??++-+∑
y
x z y xy x z z y x z y z x d d )2(d d )(d d 23
22.
解题过程是:
7. 将函数61
)(2--=
x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .
解题过程是:
四、证明题(7分) .
证明不等式:
≤+≤D
x y 2
d )sin (cos 122σ,其中是正⽅形区域:10,10≤≤≤≤y x .。