陕西省西安市庆安高级中学2017届高三上学期第一次月考数学(理)试题

庆安高级中学2017届高三第一学期第一次月考
数学试题(理科)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知集合则
( )
A. B. C.
D.
或
2. 已知f (α)＝sin π－α ·cos 2π－α cos －π－α ·tan π－α ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
25π3的值为 ( ) A.1
2
B ．－12
C.3
2
D ．－
32
3. 已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠是定义在R 上的单调递减函数，则函数
()log (1)a g x x =+的
图象大致是（ ）
4. 有关命题的说法错误的是( )
A. 命题“若x 2
-3x+2=0则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x 2
-3x+2≠0” B.“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件 C. 对于命题p:
,使得x 2
+x+1<0,则
,均有x 2
+x+1≥0
D. 若p∧q 为假命题,则p 、q 均为假命题
5. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-2
),1(log 2
,2)(2
31x x x e x f x ，则不等式2)(>x f 的解集为（ ） A ． ),3()2,1(+∞⋃ B ．),10(+∞ C ．),10()2,1(+∞⋃ D ．)2,1(
6. 下列四个函数中,以为最小周期,
且在区间
上单调递减函数的是( )
A. B. C.
D.
7. 已知
是定义在
上的偶函数,且
,若
在
上单调递减,则
在上是( )
A.增函数
B.减函数
C.先增后减的函数
D.先减后增的函数
8．设x x y ln 82-=，则此函数在区间)41,0(和)1,2
1(内分别为（ ） A ．单调递增，单调递减 B.单调递增，单调递增 C. 单调递减，单调递增 D.单调递减，单调递减
9．函数d cx bx x x f +++=2
3)(图象如图，则函数3
322
c
bx x y ++
=的单调递增区间为（ ）
A ．]2,(--∞
B ．),2
1
[+∞
C ．]3,2[-
D ． ),3[+∞
10. 若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()2,f x =
则函数()3log y f x x =-的零点个数是（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
11．定义{}()2,1min ,min ,,a a b a b f x x b a b
x ≤⎧⎧⎫
==⎨⎨⎬>⎩⎭⎩，设，则由函数()f x 的图象与x 轴、直
线
2x =所围成的封闭图形的面积为
A.
7
12
B.
512
C.
1
ln 23
+ D.
1
ln 26
+ 12. 函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意的R x ∈，有2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知若sin(π2＋θ)＝3
5
，则cos 2θ＝________.
14. 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6－α的值为 ；
15.设f (x )＝2
lg ,0,3d ,0,a
x x x t x x >⎧⎪
⎨+≤⎪⎩⎰若f (f (1))＝1，则a ＝______.； 16. 设曲线ax
e y =在点)1,0(处的切线与直线012=++y x 垂直，则=a ；
三、解答题：（本大题共6个小题，共70分） 17. （本小题满分12分）已知集合}02|{},,11
6
|{2<--=∈≥+=m x x x B R x x x A 。

（1）当m =3时，求)(B C A R ；
（2）若}41|{<<-=x x B A ，求实数m 的值.
18. （本小题满分12分）设函数在及时取得极值.
(Ⅰ)求a 、b 的值; (Ⅱ)当时,求函数在区间上的最大值.
19. （本小题满分12分）
已知函数2
π()sin sin 2
f x x x x ωωω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（0ω>）
的最小正周期为π．
（1）求ω的值； （2）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
20. （本小题满分12分）已知命题p : 1x 和2x 是方程022
=--mx x 的两个实根，
不等式212
35x x a a -≥-- 对任意实数[]1,1-∈m 恒成立;
命题q :不等式0122
>-+x ax 有解.若命题p 是真命题且命题q 是假命题，
求实数a 的取值范围.
21. （本小题满分12分）已知函数)0()(≠++
=x b x
a
x x f ，其中R b a ∈, （1）若曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数)(x f 的解析式； （2）讨论函数)(x f y =的单调性；
（3）若对于任意的]2,21
[∈a ，不等式10)(≤x f 在]1,4
1[上恒成立，求b 的取值.
22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨
=⎩ （θ为参数）. (I)设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ； (II)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的
2
1
倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线
2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.
庆安高级中学2017届高三第一学期第一次月考 数学试题(理科)参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 257-
14. 3
3
- 15. 1 16. 2 三、解答题：（本大题共6个小题，共74分） 17.解：由
,01
5
,116≤+-≥+x x x 得 51≤<-∴x }51|{≤<-=∴x x A ，………………………………………………3分
（1）当m=3时，}31|{<<-=x x B ，则}31|{≥-≤=x x x B C R 或 ………6分
}53|{)(≤≤=⋂∴x x B C A R ………………………………………………8分
（2）},41|{},51|{<<-=≤<-=x x B A x x A
8,04242==-⨯-∴m m 解得有，
此时}42|{<<-=x x B ，符合题意，故实数m 的值为8.………………12分
18. 解: ①
,
因为函数
在
及
取得极值,则有
,
.即
解得,
. ……………………………………… ………6分
②由(Ⅰ)可知,
,
.
当时,; 当时,; 当时,. 所以,当时,取得极大值,又
,
.
则当时,
的最大值为
. …… ………………12分
19.解：
（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=
+
112cos 2222
x x ωω=
-+ π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以
2π
π2ω
=， 解得1ω=．………………………… ………………………… ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666
x --≤≤， 所以1πsin 2126x ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛
⎫-+ ⎪
⎝⎭
≤≤， 即()f x 的取值范围为302⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，．…… ………………… ………………12分
20.解：∵1x ，2x 是方程022
=--mx x 的两个实根，
∴1212,
2,
x x m x x +=⎧⎨
=-⎩
∴84)(22122121+=-+=
-m x x x x x x ，
∴当[]1,1m ∈-时，12
max
3x x -=，
由不等式212
35x x a a -≥--对任意实数{}1,1-∈m 恒成立，
可得3352≥--a a ，∴6≥a 或1-≤a ，
∴命题p 为真命题时6≥a 或1-≤a ；………………………………4分 命题q ：不等式0122>-+x ax 有解， ①当0>a 时，显然有解；
②当0=a 时，012>-x 有解；
③当0<a 时，∵ 0122>-+x ax 有解，∴440a ∆=+>，∴01<<-a ， 从而命题q ：不等式0122>-+x ax 有解时1->a . ………………10分 又命题q 是假命题，∴1-≤a .，
故命题p 是真命题且命题q 是假命题时，a 的取值范围为1-≤a . ………12分
21解：(1)
21)('x a
x f -
=,由导数的几何意义得'f (2)=3，于是a=-8，
由切点P(2,f(2))在直线y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9 所以函数f(x)的解析式为
98)(+-
=x x x f ………………4分
(2)
21)('x a
x f -
=，当a ≤0时，显然)('x f >0(x ≠0),这时f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)内是增
函数；当a>0时，令)('x f =0，解得x=a ±， 当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：
所以)(x f 在(-∞,-a )，(a ,+∞)内是增函数，在(-a ,0)，(0, a )内是减函数………8分
(3)由(2)知，)(x f 在[41,1]上的最大值为)41(f 与f(1)中的较大者，对于任意的a ∈
[21,2]，不等式f(x)≤10在[41,1]上恒成立，当且仅当⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤10
)1(10)41
(f f ,即⎪⎩⎪⎨⎧
-≤-≤a b a b 94439，对任意
的a ∈[21,2]成立。

从而得b ≤47,所以满足条件的b 的取值范围是(-∞, 47] ………………
12分
22、解：（I ） 的普通方程为1),1(3C x y -=
的普通方程为.122=+y x 联立方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,
1),
1(32
2y x x y 解得 与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B ,则1||=AB . ……5分 （II ）2C 的参数方程为θθθ(.sin 2
3
,cos 21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==y x 为参数). 故点P 的坐标是)sin 2
3
,
cos 21(θθ,从而点P 到直线 的距离是]2)4
sin(2[432|
3sin 23cos 23|+-=--=
πθθθd ,
由此当1)4
sin(-=-π
θ时,d 取得最小值,且最小值为
)12(4
6
-.…………10分。