四川省南充市李渡中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

B.11
+a b 3在区域⎩⎨≤≤1
0y 内任意取一点),(y x P ，则2
1>的概率是
A ．0
B ．
2
14
-
π
C ．4π
D ．41π
-
10．设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ． 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△
ABC 的形状为
A.锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D.等腰直角三角形
11.已知椭圆1C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线2C 的方程为22
221x y a b -=，1C 与2
C
2C 的渐近线方程为
A. 20x y ±=0y ±= C. 0x = D.20x y ±=
12. （理科）设函数32231(0),
()(0)
ax x x x f x e x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在[]2,2-上的最大值为2，则实数a 的取
值范围是
A ．(),0-∞
B ．10,
ln 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,ln 22⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦
（文科）已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程是
A. 32+-=x y
B.x y =
C.32y x =-
D. 12-=x y
第II 卷（非选择题，共90分）
13. 抛物线14
y x =
14的值是 .
16．若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y kx k --=有四
个不同的交点,则实数k 的取值范围____________.
三、解答题（70分） 17．（10分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）2
2
sin 13cos 17sin13cos17︒+︒-︒︒； （2）2
2
sin 15cos 15sin15cos15︒+︒-︒︒； （3）2
2
sin 18cos 12sin18cos12︒+︒-︒︒； （4）2
2
sin (18)cos 48sin(18)cos48-︒+︒--︒︒；
（5）2
2
sin (25)cos 55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒． (I) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(II)根据(I)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
18．（10分）（理科）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第k 个家庭的月收入k x （单位：
千元）与月储蓄k y （单位：千元）的数据资料，算得
10
1
80k k
k x
===∑，101
20k k k y ===∑，10
1
184k k k k x y ===∑，
102
1
720k k
k x
===∑．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （Ⅱ）判断变量y 与x 之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y bx a =+中，12
21
k n
k k
k k n
k
k x y
nx y
b x
nx
====-=
-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 为样本平均
值，线性回归方程也可写为 ．
（文科）某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19． (Ⅰ) 求x 的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？（Ⅲ） 已知245,245y z ≥≥,求高三年级中女生比男生多的概率．
19．（12
分）已知向量1
(sin ,1),,)2
x x =-=-a b ，,函数()()2f x =⋅-a +b a . (I)求函数()f x 的最小正周期T .
(II)已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边, 其中A 为锐角
,4a c ==,且()1f A =,求,A b 和ABC ∆的面积S ． 20．（12分）如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥． (Ⅰ) 证明：1AC AB =；
（Ⅱ）（理科）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值．
（文科）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，=1AB BC =，求三棱锥111A B C C -的体积．
21．（12分）设21,F F 分别是椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点． (I)若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ⋅的最大值与最小值；
(II)设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且AOB ∠为锐角(其中为坐标原点)，求直线l 的斜率的取值范围．
22．（12分）已知3x =是函数()()2
ln 110f x a x x x =++-的一个极值点．
(I)求a ；
(II)求函数()f x 的单调区间；
(Ⅲ)若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围．
参考答案
一、选择题 DBDAC BBADC CD ．
二、填空题 13．(0,1) 14．5 15。

2V F E +-=（变形式也对）； 16
．30,33⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
三、解答题 17. 事
18．（理科）（10分）解：(Ⅰ) 由已知条件得10n =，1011810k k k x x ====∑，10
1
1210k k k y y ====∑，
∴12
2
21
1841082
0.3720108
k n
k k
k k n k k x y
nx y
b x nx
====--⨯⨯=
=
=-⨯-∑∑，20.380.4a y bx =-=-⨯=-， ∴所求的回归方程为0.30.4y x =-。

（Ⅱ）∵0.30b =>，∴变量x 与y 之间的关系是正相关关系 （Ⅲ）由知，当7x =时，0.370.4 1.7y =⨯-=，
∴该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄为1.7千元．
（文科）(Ⅰ)
0.192000
x
= ， ∴ 380x =． （Ⅱ）高三年级人数为2000373377380370500y z +=----=，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：
48
500122000
⨯= 名。

（Ⅲ）设高三年级女生比男生多的事件为A ，高三年级女生男生数记为(,)y z ； 由（Ⅱ）知500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有： （245，255），（246，254），（247，253），…，（255，245）共11个 事件A 包含的基本事件有： （251，249），（252，248），（253，247），(254,246)，(255,245) 共5个，
5
()11
P A =
． 19．解：（Ⅰ）解: (I)
()()2=2f x =⋅-⋅-2a +b a a +a b
21
sin 1cos 22
x x x =+++
-
1cos 212222x x -=
+
-1
2cos 222
x x =-sin(2)6x π=-
因为2ω=,所以22
T π
π=
=， (II)()sin(2)16f A A π
=-=
因为5(0,
),2(,)2
6
66
A A π
π
ππ
∈-
∈-
，所以26
2
A π
π
-
=
，3
A π
=
，
则222
2cos a b c bc A =+-，所以2
11216242
b b =+-⨯⨯
，即2
440b b -+=， 则2b =,从而11
sin 24sin 602322
S bc A =
=⨯⨯⨯=20．（12分）解：（Ⅰ）连接1BC ，交1B C 于点O ，连结AO ．
∵侧面11BB C C 为菱形，∴11B C BC ⊥，且O 为1B C 及1BC 的中点．
又∵1AB B C ⊥，∴1B C ABO ⊥平面，∵AO ABO ⊂平面，∴1B C AO ⊥， 又∵1B O CO =，∴1AC AB =．
（Ⅱ）∵1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，∴AO CO =，
又∵AB BC =，∴BOA BOC ∆≅∆，∴OA OB ⊥，∴1,,OA OB OB 两两互相垂直， 以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，||OB 为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．
∵160CBB ∠=，∴1CBB ∆为等边三角形，又AB BC =，则
1(1,0,0),(0,
A B B C ． 11111333(0,,),(1,0,),
(1,
AB A B
AB B C BC =-==-==-
设(,,)n x y z =是平面11AA
B 的法向量，则11
10,0,n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩即0,0,
3y z
x z -=
⎨⎪-=⎪⎩
∴可取(1n =． 设m 是平面111A B C 的法向量，则11110,
0,
m A B m B C ⎧⋅
=⎪⎨⋅=⎪⎩
同理可取(1,m =，则1
cos ,||||7
n m n m
n m ⋅<>=
=， ∴二面角111
A A
B C
--的余弦值为1
7
． （文科）11111124
A B C C A B C C A B BC V V V ---===．
21．解：(I)由椭圆方程易知：2,1,a b c ==，∴())12
,F F ，
设(),P
x y ，则
()(
)
123,3,PF PF x y
x y =----- ()2222
21
3133844
x x y x x =+-=+--=-．
∵[]2,2x ∈-，
∴当0x
=，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2-；当2x =±，即点P 为椭圆长轴端
点时，12PF PF ⋅有最大值1．
∴21PF PF ⋅的最小值为
2-，最大值为1． (II)由题设条件易知，直线l 的斜率k 存在且不为0．∴直线l 的方程为：2y kx =-，………①
把①代入椭圆方程，整理得：
22
14304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝
⎭．………②
设()()1222,,,A x y B x y ，则12,x x 是方程②的两个不相同的根，且
12122243,4
4
k x x x x k k +=-
⋅=
+
+
，
由2
430k
∆=->
得：k <
k >，………③
∵AOB ∠为锐角， ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>，
而
()()121222y y kx kx =++
()2121224k x x k x x =+++ 2
2222
23814111444k k k k k k --+=
++=+++
．
∴
2223
1
01144
k k k -++>++
，即24k <， ∴22k -<<．………④
故由③、④得2k -<
<
2k <<． 22．解：(I)已知函数求导得：()2101a
f x x x
'=
+-+． ∵3x
=是函数()f x 的一个极值点，
(3)404
a
f '=-=，即16a =．
(II)由(I)得：2
()16ln(1)10f x x x x =++-， (1,)x ∈-+∞，且
162(1)(3)
()21011x x f x x x x --'=+-=++．
令'()0f x =，得1x =，3x =． '()f x 和()f x 随x 的变化情况如下：
()f x 的增区间是(1,1)-，(3,)+∞；减区间是(1,3)． (Ⅲ)由(II)知，()(1)16ln29f x f ==-极大，
()(3)32ln 221f x f ==-极小．
又1x +
→-时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞；
可据此画出函数()y f x =的草图（图略），
由图可知，当直线
y b =与函数()y f x =的图像有3个交点时，b 的取值范围为(32ln221,16ln29)--．。