应力状态及强度理论-精选文档

x
A
A
x
x
zx
yx
B
z
C
xz
x
C
xy
六、主单元体、主平面、主应力：
y
y
主单元体：
x
六个面上剪应力均为零的单元体。 主平面： x
z
z
剪应力为零的截面。
主应力：
2 1
主平面上的正应力。
主应力排序规则：按代数值大小排序：
3
σ σ σ 1 2 3
三向应力状态：
1、轴向应力
用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程
D p D 4
2 m
m
p D x
σm
pD 4δ
m
图b
y d z
2、周向应力：
D p(l d ) 2 用纵截面将容器截开，受力如图c所示
O

t
t
p D 图c
D l 2 p ( l d ) sin p D t 0 2
α ' α
0 0
2
y O x
x
xy
σ σ σ σ σ m ax x y x y 2 2 ( ) τ xy σ 2 2 m in
0
0 ' 0
正应力的极值即为主应力
正应力的极值和角度α对应关系： ※正应力的极大值发生在剪应力相对的 象限内且偏向于x 及y较大的一侧。 y
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研
究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。 y
y单元体的性质——a、每个面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
z
z
xz xy 四、普遍状态下的应力表示
x
x
五、原始单元体的截取：
可以从任意方位在构件上切出单元体，没有任何限制。但为了 方便计算其他方位的应力，通常将单元体的某些平行平面放在 应力已知的方位上，如横截面、径向、周向等。 [例] P y B P M x 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 P
锅炉或其它圆筒形容器中，圆筒壁内单元体的应力状态可
作为二向应力状态的实例。
若这类圆筒的壁厚δ 远小于直径D， 例如δ＜D/20，则称为 薄壁圆筒。 [例] 图a所示为承受内压的薄壁容器，导出容器横截面和纵截 面上的正应力表达式。 y
1
p
D
m
p
p x
x A
p O B
l
图a
解：容器的轴向和周向应力表达式
y
x
yx
图2

n

y x
y O x
σ σ σ x y σ x y σ cos2 α τ sin2 α α xy 2 2
xy
图1
σ σ x y τ sin2 α τ cos2 α α xy 2
τxy τyx
τxy
x
y

y
x
xy
图2

n
O

§8.3 二向应力状态分析
y
y
等 价
y x
y x O x
xy
z
x
xy
y x
y O x
一、任意斜截面上的应力 符号规定： 与截面外法线同向为正；
xy
图1
绕研究对象顺时针转动为正；
由外法线逆时针转动为正。
τxy
x
y O

y
x
yx
图2
Hale Waihona Puke Baidu

n

y x
第8章 应力状态分析和强度理论
§8.1 应力状态概述 单向拉伸时斜截面上的应力
§8.2 二向和三向应力状态的实例
§8.3 二向应力状态分析
§8.4 二向应力状态的应力圆
§8.5 三向应力状态简介 §8.6 广义胡克定律 §8.7 复杂应力状态下的应变能密度 §8.8 强度理论概述 §8.9 四种常用强度理论
主 单 元 体
y
2
x
②剪应力的极值
σx σ y dτα 令: 0 tg2α1 O 2τxy dα 1 x y α arctg α ' α 1 1 1 2 2 2 xy
xy 1
x
两个极值分别为：
1 0
y
设：斜截面面积为S， 由分离体平衡得
xy
x
图1
F 0
n
2 σ S σ Scos α τ Scos α sin α α x xy 2 σ Ssin α τyx Ssin α cos 0 y
O
τxy
x
y O

F 0
2 τ S τ S cos α σ S cos α sin α xy x 2 σ S sin α cos τ S sin α 0 y yx
§8.１应力状态概述 单向拉伸时斜截面上的应力
一、单向拉伸时斜截面上的应力
横截面上的正应力
FN P A A
P P p cos a A A a cos
n
斜截面上的应力
k
P

k
pa
P
k
k
P
k
a
pa
P
k
a
斜截面上的正应力和切应力为
p cos cos a a
pD σt 2δ

t m
周向应力是轴向应力的2倍。在单元体 上的第三个方向，虽然还有作用于内壁的 压强p和作用于外壁的大气压强，但都远小 于轴向应力和周向应力，可以认为等于零 ，于是可看作为二向应力状态。
滚珠轴承的滚动体和内外 圈接触点，火车车轮与钢轨的 接触点，三个主应力均不为零， 属于三向应力状态。
2
p sin 2 a asin
2
可以得出, n α =0时，σmax= σ， τ =0 α k α =45°时， τ = σ /2 ， σα = σ P P/2 max k α =90°时，σα = τ α =0
k

P
k
pa
k
a
pa
P
k
a
二、一点的应力状态：
过一点有无数的方位，这一点的各个方位上应力情况的集合， 称为该点的应力状态。
二、应力的极值 ①正应力的极值
d σ 令 : α σ σ si α n2 2 τ cos2 α 0 x y 0 xy 0 d α α α 0 2τxy y tg2 α0 σx σy
2 1 xy α arctg 0 2 x y
两个极值分别为：
三个主应力都不为零的应力状态。（即三对平行平面上的应
力均不为零） 二向应力状态： 一个主应力为零的应力状态。（即仅一对平行平面上的应力为零） 单向应力状态 ：
一个主应力不为零的应力状态。（即仅一对平行平面上的应力
不为零） y
x
xy

x
z
zx
B
xz
x
x
A
x
§8.2 二向和三向应力状态的实例