2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.3和差倍角的正弦余弦正切公式及恒等变换学案理新人

第三节 和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式及恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)S (α＋β)：sin (α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β． (2)S (α－β)：sin (α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β． (3)C (α＋β)：cos (α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β． (4)C (α－β)：cos (α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β． (5)T (α＋β)：tan (α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β．
(6)T (α－β)：tan (α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β．
2．倍角公式
(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α． (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α－1 ＝1－2sin 2α．
(3)T 2α：tan2α＝2tan α
1－tan 2α
．
1．和、差、倍角公式的转化
2．公式的重要变形
(1)降幂公式：cos 2α＝
1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α
2
.
(2)半角公式(不要求记忆)：
①sin α
2
＝±
1－cos α
2. ②cos α
2
＝±
1＋cos α
2
. ③tan α
2
＝±
1－cos α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α1＋cos α⎝
⎛⎭⎫根号前面的正负号由角α2所在象限确定. (3)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. (4)公式变形：tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). (5)
辅
助
角
公
式
：
a sin
x ＋
b cos
x ＝
a 2＋
b 2
sin
(x
＋
φ)⎝
⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.
1．(基础知识：逆用公式)化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A ．12B ．3
2
C ．－1
2
D ．－
32
答案：A
2．(基本方法：构造和角公式)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，5
6π，则sin α的值为
( )
A ．8
17
B ．153＋834
C ．15－8334
D ．15＋8334
答案：D
3．(基础知识：半角公式)已知cos θ＝－15，5π
2<θ<3π，那么sin θ2
＝( )
A ．10
5 B ．－105 C ．
15
5
D ．－
155
答案：D
4．(基本能力：正切倍角公式)若α是第二象限角，且sin(π－α)＝3
5，则tan 2α＝________．
答案：－24
7
5．(基本应用：辅助角公式)f (x )＝sin (x ＋3π)－3cos x 的最小值为________． 答案：－10
题型一 两角和、差及倍角公式的直接应用
[典例剖析]
类型 1 给值(角)求值 [例1] (1)化简 2＋cos 2－sin 21的结果是( )
A ．－cos1
B ．cos 1
C ．3cos 1
D ．－3cos 1 解析：原式＝
1＋cos 2＋1－sin 21＝
2cos 21＋cos 21
＝3cos 21＝3cos1. 答案：C
(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝3
3，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A ．3
3 B ．－33 C ．
6
3
D ．－
69
解析：因为0＜α＜π2，所以π4＜α＋π4＜3π
4
.
又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1
3，
所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
α＋π4＝
1－cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
α＋π4
＝
1－19＝223
.
因为－π2＜β＜0，所以π4＜π4－β2＜π2
.
又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝3
3，
所以cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4－β2＝
1－sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－β2
＝
1－13＝63
， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
α＋π4sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－β2＝13×63＋223×33＝6
3. 答案：C
类型 2 给值求角
[例2] (1)(2021·某某六市联考)已知cos α＝17，cos (α－β)＝13
14.若0＜β＜α＜π2，则β＝
________．
解析：由cos α＝1
7，0＜α＜π2，
得sin α＝
1－cos 2α＝
1－⎝⎛⎭⎫172
＝43
7，
又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π
2，
∴sin (α－β)＝
1－cos 2（α－β）＝
1－⎝⎛⎭⎫13142
＝33
14.
由β＝α－(α－β)得cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝17×1314＋437×3314＝1
2， ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，∴β＝π3.
答案：π
3
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝12，tan β＝－1
7，则2α－β的值为________．
解析：∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－1
71＋12×17＝1
3
＞0，
∵α∈(0，π)，∴0＜α＜π
2
.
又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝3
4
＞0，
∴0＜2α＜π
2，
∴tan(2α－β)＝1. ∵tan β＝－1
7＜0，
∴π
2
＜β＜π， ∴－π＜2α－β＜0， ∴2α－β＝－3π
4.
答案：－3π
4
方法总结
1．应用三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角和、差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角来表示非特殊角等．
2．“给值求角”
实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的X 围，最后确定角．遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，选正、余弦皆可；
若角的X 围是(0，π)，选余弦较好；若角的X 围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，π2，选正弦较好．
[题组突破]
1．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，且tan β＝1＋sin αcos α，则( )
A ．α－3β＝－π
2
B ．α－2β＝－π
2
C ．α＋3β＝π
2
D ．α＋2β＝π
2
解析：法一(化切为弦)：因为tan β＝sin β
cos β，
所以sin β
cos β＝1＋sin α
cos α
，
即sin βcos α＝cos β＋cos βsin α， 整理得sin (β－α)＝cos β，
即sin (β－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－β.
因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，
所以β－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，π2.
因为函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2上单调递增，所以β－α＝π2－β，
整理得α－2β＝－π
2
.
法二(化弦为切)：因为1＋sin αcos α
＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪
⎫π4－α22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＝1
tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α2，
所以tan β＝
1
tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α2＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α2.
因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π4＋α2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，π2，
又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2上单调递增，所以β＝π4＋α2，
即α－2β＝－π
2.
答案：B
2．计算sin 110°sin 20°
cos 2155°－sin 2155°的值为( )
A ．－1
2
B ．12
C ．
3
2
D ．－
32
解析：原式＝sin70°sin 20°
cos 225°－sin 225°＝cos20°sin 20°
cos 50°
＝12×sin 40°sin 40°＝1
2. 答案：B
3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2
5
，则sin 2α＝________．
解析：sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α－1＝2×⎝⎛⎭⎫252
－1＝－1725.
答案：－17
25
题型二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形运用
[典例剖析]
[典例](1)3tan 10°－1
sin 10°
＝________．(用数字作答)
解析：原式＝3sin 10°
cos 10°
－1
sin 10°
＝
3sin 10°－cos 10°
sin 10°cos 10°
＝
2sin （10°－30°）
1
2sin 20°
＝
－2sin 20°
1
2sin 20°
＝－4.
答案：－4
(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°·tan 35°＝________．
解析：原式＝tan (25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3.
答案： 3
(3)已知：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1，②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1，③tan 20°tan 30°＋tan 30°·tan 40°＋tan 40°·tan 20°＝1成立．由此得到一个由特殊到一般的推广．此推广是什么？并证明．解析：观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋10°＋75°＝90°，20°＋30°＋40°＝90°，猜想此推广为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ都不为k·180°＋90°(k∈Z)，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.
证明如下：因为α＋β＋γ＝90°，
所以β＝90°－(α＋γ)，
故tan β＝tan [90°－(α＋γ)]＝sin [90°－（α＋γ）]
cos [90°－（α＋γ）]
＝
cos （α＋γ）
sin （α＋γ）
＝
cos αcos γ－sinαsin γ
sin αcos γ＋cos αsin γ
＝1－tan αtan γ
tan α＋tan γ
，
所以tan αtan β＋tan βtan γ＝1－tan αtan γ，即tan αtan β＋tan βtan γ＋tan αtan γ＝1.
方法总结
1．将tan (α＋β)＝
tan α＋tan β1－tan α·tan β
整理变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)－tan α·tan
β·tan (α＋β).
2．(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)和差角公式变形：
sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan (α±β)·(1∓tan α·tan β). (3)倍角公式变形：降幂公式．
[拓展] 1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2
± cos α22
，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2
α2.
提醒 tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
[对点训练]
1．已知m ＝（α＋β＋γ）,tan （α－β＋γ）)，若sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，则m ＝( ) A.1
2 B ．34
C ．3
2
D ．2
解析：设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ， 则2(α＋γ)＝A ＋B ，2β＝A －B ， 因为sin 2(α＋γ)＝3sin 2β， 所以sin (A ＋B )＝3sin (A －B )，
即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )， 即2cos A ·sin B ＝sin A cos B ， 所以tan A ＝2tan B ，
所以m ＝tan A
tan B ＝2.
答案：D 2.
1cos 80°－3
sin 80°
＝________．
解析：1
cos 80°－3
sin 80°＝sin 80°－3cos 80°
sin 80°cos 80°
＝
2sin （80°－60°）12sin 160°＝2sin 20°
12
sin 20°＝4.
答案：4
题型三 三角恒等变换的综合应用
[典例剖析]
[典例] 已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6cos ωx (0＜ω＜2)，且f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫5π12，32.
(1)求ω的值及函数f (x )的最小正周期； (2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，已知g ⎝⎛⎭⎫α2＝53
6，求
cos ⎝
⎛⎭⎫2α－π
3的值．
解析：(1)函数f (x )＝23sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6·cos ωx ＝⎝⎛⎭⎫23sin ωx ·32＋23cos ωx ·1
2·cos ωx ＝
32sin 2ωx ＋3·1＋cos 2ωx 2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋3
2. ∵f (x )的图象过点⎝
⎛⎭
⎪⎫
5π12，32，
∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ω·5π12＋π6＋3
2
＝，
∴2ω·5π12＋π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝6k －15，k ∈Z .
又0＜ω＜2，∴ω＝1，
∴f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3
2，故它的最小正周期为2π2＝π.
(2)将y ＝f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3
2的图象向右平移π6个单位，
得到函数y ＝g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋3
2的图象．
已知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝536＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋3
2，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13
，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2α－π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝79
.
方法总结
三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用
(1)图象变换问题：先根据和角公式、倍角公式把函数解析式变为正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或余弦型函数y ＝A cos (ωx ＋φ)＋b 的形式，再进行图象变换．
(2)函数性质问题：求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋b 的形式；
②利用公式T ＝2π
ω
(ω＞0)求周期；
③根据自变量的X 围确定ωx ＋φ的X 围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋b 的单调区间．
[对点训练]
已知函数f (x )＝2(sin ωx －cos ωx )cos ωx ＋
2
2(ω＞0)的图象的一条对称轴为x ＝3π8
.
(1)求ω的最小值； (2)当ω取最小值时，若f ⎝⎛
⎭⎫α2
＋
π4＝3
5，－π2＜α＜0，求2sin ⎝
⎛⎭⎫2α－π
4的值．
解析：(1)f (x )＝2(sin ωx －cos ωx )cos ωx ＋
22＝2sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋22＝2
2
sin2ωx －
22cos 2ωx ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2ωx －π4. 因为函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝3π8，
所以3π4ω－π4＝π
2＋k π(k ∈Z )，
所以ω＝1＋4
3
k (k ∈Z ).
又ω＞0，所以ω的最小值为1.
(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －π4.
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α2＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4－π4
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35
.
因为－π2＜α＜0，所以－π4＜α＋π4＜π4
，
所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＞0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4
5.
所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2α－π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－3π4
＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－2×35×45－2×⎝⎛⎭⎫452＋1＝－3125.
再研高考
创新思维
1．(2019·高考全国卷 Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A ．1
5
B ．
55
C ．
3
3
D ．255
解析：法一：由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos 2α.
∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，π2，∴2sin α＝cos α.
又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝1
5
.
又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，∴sin α＝55.
法二：设tan α＝t ，t ∈(0，＋∞)，由已知得4t
1＋t 2＝1－t 21＋t 2＋1，解得t ＝1
2.∴t ＝sin αcos α＝12
，∴sin 2
α＝15，∴sin α＝5
5.
答案：B
2．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝tan x
1＋tan 2x 的最小正周期为( )
A ．π
4
B ．π2
C ．π
D ．2π
解析：由万能公式可知f (x )＝1
2sin2x ，故T ＝2π2＝π.
答案：C
3．(2019·高考某某卷)已知tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π
4＝－2
3，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值是________．
解析：法一：由
tan α
tan ⎝ ⎛⎭⎪
⎫α＋π4＝tan α
tan α＋11－tan α＝tan α（1－tan α）tan α＋1
＝－23，解得tan α＝2或－13.
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝2
2(sin 2α＋cos 2α)
＝
2
2
(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－
22
＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α
－22
＝2·
tan α＋1
tan 2α＋1－2
2，
将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝2
10.
法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α＋π4＝－2
3，
∴ sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－2
3cos αsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4.①
又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝2
2，②
由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－2
5，
cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝32
10
.
∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4
＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2
10
.
法三：令tan α＝t (t ≠±1)，则t ＝－23·t ＋11－t ，得t ＝2或t ＝－1
3
，
故sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝2
2(sin 2α＋cos 2α)
＝22⎝ ⎛⎭
⎪⎫2t 1＋t 2＋1－t 21＋t 2＝210
. 答案：
210
素养升华
角的灵活变换
已知sin (α＋2β)＝34，cos β＝1
3，α，β为锐角，则sin(α＋β)的值为( )
A ．37－22
12
B ．3－214
12
C ．37＋2212
D ．3＋21412
解析：因为cos β＝1
3，β为锐角，
所以sin β＝
1－⎝⎛⎭⎫132
＝223，cos 2β＝2cos 2β－1＝－79
＜0， 又β为锐角，所以π
2
＜2β＜π，
因为α为锐角，所以α＋2β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，3π2，
又sin(α＋2β)＝3
4，
所以cos (α＋2β)＝－
1－sin 2（α＋2β）＝－
74
， 所以sin(α＋β)＝sin [(α＋2β)－β] ＝sin (α＋2β)cos β－cos (α＋2β)sin β ＝34×13－⎝⎛⎭⎫－74×223 ＝3＋21412.
答案：D。