高中数学 第一章 坐标系 1.2.1 极坐标系的概念课时提

极坐标系的概念
课时提升作业
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.在极坐标系中,下面点与M相同的点为( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.由于相同的点必须满足极径相等,极角的终边相同,且与的终边相同,所以选D.
2.极坐标系中,极坐标对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.因为极坐标对应的点的极径大于0,极角的终边在平面直角坐标系中第三象限,所以点在第三象限.
【补偿训练】在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系.若点P的直角坐标与其极坐标在数值上相同,则点P在
( ) A.x轴上 B.y轴上
C.射线Ox上
D.射线Oy上
【解析】选C.Ox轴上点的直角坐标为(x′,0)(x′≥0)与其极坐标在数值上相同.
3.(2016·合肥高二检测)在极坐标系中,已知点A(4,1),B,则线段AB的长度是( )
A.1
B.
C.7
D.5
【解析】选D.设极点为O.
因为点A(4,1),B.
所以OA⊥OB,
所以AB==5.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.在极坐标系中,若两点A,B的极坐标分别为,,则△AOB(其中O为极点)的面积为_____________.
【解析】由题意,∠AOB=,AO=3,OB=4,
所以△AOB(其中O为极点)的面积为×3×4×sin=3.
答案:3
5.已知在极坐标系中,极点为O,0≤θ<2π,M,在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________.
【解析】在射线OM上符合条件的点为,
在射线OM反向延长线上符合条件的点为.
答案:或
【误区警示】解析中易出现漏掉的错误,应对点M的位置全面考虑.
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.在极坐标系中,分别求下列条件下点M关于极轴的对称点M′的极坐标:
(1)ρ≥0,θ∈[0,2π).
(2)ρ≥0,θ∈R.
【解析】(1)当ρ≥0,θ∈[0,2π)时,点M关于极轴的对称点M′的极坐标为.
(2)当ρ≥0,θ∈R时,点M关于极轴的对称点M′的极坐标为,k∈Z.
7.边长为2的菱形ABCD,一个内角为60°,建立适当的极坐标系,求出菱形四个顶点的极坐标,限定ρ≥0,θ∈[0,2π).
【解析】如图,∠BAD=60°,以A为极点O,AB的方向为极轴的正方向,建立极坐标系,则菱形的四个顶点的极坐标分别为A(0,0),B(2,0),C,D(答案不惟一).
8.如图,以温州所在城市为极点,正东方向为极轴正方向,建立极坐标系,今有某台风中心在东偏南60°,距离极点800千米处,假设当距离台风中心700千米时应当发布台风蓝色警报,已知福州所在城市的极坐标为.
(1)求台风中心的极坐标.
(2)问福州是否已发布台风蓝色警报?
【解析】(1)由题意知,台风中心距离极点800千米,极角取,所以台风中心的一个极坐标为.
(2)福州所在城市的极坐标为,由(1)得,
福州距离台风中心的距离为
d=
=100×=100>700,
所以该城市还未发布台风蓝色警报.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知极坐标系中,点A,B,若O为极点,则△OAB为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰锐角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选D.由题意,得∠A OB=,
|AB|==,
所以|OB|2+|AB|2=|OA|2且|AB|=|OB|=,
故△OAB为等腰直角三角形.
2.(2016·天水高二检测)已知极坐标系中,极点为O,若等边三角形ABC(顶点A,B,C按顺时针方向排列)的顶点A,B的极坐标分别是,,则顶点C的极坐标为( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.如图所示,由于点A,B,故极点O为AB中点,故等边
△ABC的边长|AB|=4,则CO⊥AB,|CO|=2,则C点的极坐标为,即.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.如图,在极坐标系中,写出点P的极坐标________.
【解析】如图所示,连接OP.由OA是圆的直径,则∠OPA=90°,
所以ρ=|OP|=2sin60°=,
所以点P的极坐标为.
答案:
4.(2016·西安高二检测)已知在极坐标系中,△AOB为等边三角形,A,若ρ≥0,θ∈[0,2π),则点B的极坐标为__________.
【解析】设B(ρ,θ),由∠AOB=,得θ-=±+2kπ,k∈Z,即θ=±+2kπ,k∈Z,由=2,得ρ=2,又因为θ∈[0,2π),所以θ=或.所以点B的极坐标为或.
答案:或
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.某大学校园的部分平面示意图如图.
用点O,A,B,C,D,E,F,G分别表示校门,器材室,操场,公寓,教学楼,图书馆,车库,花园,其中|AB|=|BC|,|OC|=600m.建立适当的极坐标系,写出除点B外各点的极坐标,限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0).
【解析】以O为极点,OA所在射线为极轴建立极坐标系,因为|OC|=600,∠AOC=,故C.
又|OA|=600×cos=300,
|OD|=600×sin=300,
|OE|=300,|OF|=300,|OG|=150.
故A(300,0),D,E,F(300,π),
G.
6.如果对点的极坐标定义如下:
当已知M(ρ,θ)(ρ>0,θ∈R)时,点M关于极点O的对称点M′(-ρ,θ).
例如,M关于极点O的对称点M′,就是说与表示同一点.
已知A点的极坐标是,分别在下列给定条件下,写出A点的极坐标:
(1)ρ>0,-π<θ≤π.
(2)ρ<0,0≤θ<2π.
(3)ρ<0,-2π<θ≤0.
【解题指南】认真阅读题中的新定义,正确理解其含义并能应用;数形结合,先求出点A关于极点O的对称点A′的极坐标,再根据图形及题中的限制条件写出点A的极坐标.
【解析】如图所示,
|OA|=|OA′|=6,
∠xOA′=,∠xOA=,
即点A与A′关于极点O对称.
由极坐标的定义知
(1)当ρ>0,-π<θ≤π时,A.
(2)当ρ<0,0≤θ<2π时,A.
(3)当ρ<0,-2π<θ≤0时,A.。