初三数学(人教版)旋转全章复习教学设计

本章我们学习了一种新的图形变换——旋转,下面我们来对这一章节进行简要的梳理.首先我们遵循几何变换的一般研究思路,从定义、性质、应用几个方面对旋转进行了细致、深入的学习.然后我们又对其中一种特殊的旋转——中心对称进行了研究.最后结合之前学过的图形变换平移和轴对称,利用这三种图形之间的变化关系,以及它们变化前后只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小的共性,进行了

图案设计.

下面我们通过具体问题,来对本章一些具体的知识和方法进行复习和回顾.

复习回顾：图形的旋转例

如图所示, 把一个直角三角尺ACB顺时针旋转到△EDB的位置, 使得点A落在CB 的延长在线的点E处,则旋转中心是___, 旋转角等于___度,∠BDC的度数为___度、

设计意图：通过本题复习旋转的定义及性质.

图形：

定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转. 三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.

性质：1.对应点到旋转中心的距离相等.

2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

3.旋转前、后的图形全等.

例：已知：点A与点B.

（1）画出点A绕点B逆时针旋转30°得到点C,并简述作图步骤；

（2）连接点A,B,C,能得到什么图形？为什么？

（3）如果想得到等边三角形和等腰直角三角形,应该旋转怎样的角度呢？

设计意图：复习旋转作图,通过作图过程挖掘旋转变换中可挖掘的结论

旋转作图的步骤：

①明确旋转中心、旋转方向、旋转角；

A

B

②找出关键点；

③将图形的关键点与旋转中心连结起来,然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转

角,得到此点的对应点；

④按原图形顺序连结这些对应点,得到旋转后的图形.

例：如图,小明发现线段AB 与线段CD 存在一种特

殊关系,即线段AB 绕着某点旋转一个角度可以得到

另一条线段CD ,请在图中确定旋转中心点E 的位置

及旋转角度、

设计意图：应用旋转的性质确定旋转中心.

分析：上一道题是已知旋转中心和初始图形,做出旋

转后的图形,本题则需要根据旋转前后的图形,确定旋转中心及旋转角度.首先,我们

考虑如何确定旋转中心.根据旋转的性质,对应点到旋转中心的距离相等,以及到线

段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分在线,我们可以得到,旋转中心在每

对对应点所连线段的垂直平分在线.因此,我们只需确定两对对应点,取它们垂直平

分线的交点即可确定旋转中心.在本题的叙述中,我们无法确定两条线段的端点是如

何对应的,因此需要分类讨论.

情况1：点A 与点D 对应,点B 与点C 对应.

做线段AD 与BC 的垂直平分线,交于点E 1,则点E 1即为所求.

进而∠A E 1D 、∠BE 1C 为旋转角.根据网格,可计算得出△AED 的三边符合勾股

定理逆定理,因此∠AE 1D =90°,同理也可计算出∠BE 1C =90°.因此线段DC 可以看

成是线段AB 绕点E 逆时针旋转90°得到的.

D C

B A

情况2：点A与点C对应,点B与D对应.

与情况1完全同理,可以确定此时点E2的位置如图所示,根据网格,可根据勾股定理逆定理得到旋转角∠AE2D=∠BE2D=90°.所以线段CD可以看成线段AB绕点E顺时针旋转90°得到的.

复习回顾：中心对称例：如图,△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称,下列结论中不一定成立的是( ).

（A）OC=OC′（B）OA=OA′

（C）BC=B′C′（D）∠ABC=∠A′C′B′

设计意图：复习中心对称的定义及性质.

图形：

定义：把一个图形绕着某一点旋转180゜,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.

性质：（1）对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.

（2）中心对称的两个图形是全等图形.

例：如图,△DEF是△ABC经过某种变换后得到的图

形、△ABC内任意一点M的坐标为(x,y),点M经过这

种变换后得到点N,点N的坐标是( ).

（A） (-y,-x) （B）( x,-y)

（C） (-x,y) （D）(-x,-y)

设计意图：中心对称、关于原点对称的点的坐标.

例：下列图案中,既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

（A）（B）（C）（D）

设计意图：1.辨析轴对称图形与中心对称图形.

轴对称图形判断的关键是寻找对称轴,对称轴两旁部分折叠后可重合;

中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与自身重合、

综合应用例：在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.

求证：BD2=AB2+BC2.

设计意图：

从变换的角度出发,应用旋转相关的知识解决问题

一题多解

分析：

定方向：从图形变换的角度解决问题.

求证的这个等式的结构符合勾股定理形式,故需要将三条线段构造到一个直角三角形中,即改变它们的位置,但不改变大小.因此,我们从图形变换的角度来思考解决这个问题.结合已知给出的图形,下面我们就从旋转的角度出发,考虑如何添加辅助线,才能实现把三条目标线段构造到同一直角三角形中.

【方法一】旋转三角形

由例2我们可以看到,共端点的等线段是旋转变换的一个重要基本元素,存在共端点的等线段,我们就可以以此为基础,旋转以其中一条线段为边的三角形,使它旋转到与另一条等线段重合的位置,这样通过旋转三角形,达到旋转目标线段的目的.

由已知图形我们可以看到,既包含共端点的等线段中的一条,又包含部分求证需要用到的线段这样的三角形共有两个,它们分别是△ABD和△DCB.

D C

A

B A

B

A

B