数形结合在高中数学各个知识模块中的应用

数形结合在高中数学各个知识模块中的应用
数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。

华罗庚教授曾说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔裂分家万事非。

”数形结合的思想就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。

数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一。

新教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想。

教材中这一方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最正确解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观，还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。

下面举例说明数形结合
思
想在各模块中的应用。

一、利用数形结合解决集合问题
图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题时假设借助韦恩图或用数轴、图象等数形结合的思想方法，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵活、
直
观、简捷、准确地获解。

例1 假设I为全集，M、N I，且M∩N=N，则〔〕。

A.I M I N
B.M I N
C.I M I N
D.M I N
提示：由韦恩图可以很容易知道答案为C。

二、方程与函数中的数形结合
函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。

函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，实质是相同的，在解题时经常要相互转化，在解决函数问题，尤其是较为繁琐的〔如分类讨论、求参数的范围等〕问题时要充分发挥图象的直观作用，如：求解函数的值域时，可给一些代数式赋予一定的几何意义，如直线的斜率，线段的长度〔两点间的距离〕等，把代数中的最值问题转化为几何问题，实现数形转换。

方程f〔x〕=g〔x〕的解的个数可以转换为函数y= f〔x〕和y=g〔x〕的图象的交点个数问题。

不等式f〔x〕＞g〔x〕的解集可以转化为函数y=f〔x〕的图象位于函数y=g〔x〕的图象上方的那部分点的横坐标的集合。

例2 设函数假设f〔x0〕＞1，则x0的取值范围是〔〕。

A.〔-1，1〕
B.〔－1，＋∞〕
C.〔-∞，－2〕∪〔0，+∞〕
D.〔-∞，－1〕∪〔1，+∞〕
分析:此题主要考查函数的基本知识，利用函数的单调性解不等式以及借助数形结合思想解决问题的能力。

图1
解：如图1，在同一坐标系中，作出函数y=f〔x〕的图象和直线y=1，它们相交于〔-1，1〕和〔1，1〕两点。

由f〔x〕＞1，得x＜-1或x＞1 。

答案：D。

例3 方程lg x=sin x解的个数为〔〕。

分析：画出函数y=lg x与y=sin x的图象〔如图2〕。

注意两个图象的相对位置关系。

图2
答案：C。

三、利用数形结合解决数列问题
数列可看成以n为自变量的函数，等差数列可看成自然数n的“一次函数”，前n项和可看成自然数n的缺常数项的“二次函数”，等比数列可看成自然数n的“指数函数”，在解决数列问题时可借助相应的函数图象来解决。

例4 假设数列{a n}为等差数列，a p＝q，a q＝p，求a p+q。

〔如图3〕
图3
分析：不妨设p＜q，由于等差数列中，a n关于n的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点〔p，q〕，〔q，p〕，〔p＋q，m〕共线，设a p+q＝m，由已知，得三点
〔p，a q〕，〔q，a p〕，〔p＋q，a p+q〕共线。

则k AB=k BC，即
得m＝0，即a p+q＝0。

四、不等式与解析几何中的数形结合
在解析几何中，借助直线、圆及圆锥曲线在直角坐标系中图象的特点，可从图形上寻求解题思路，启发思维，难题巧解。

例5 曲线〔0≤x≤2〕与直线y=k〔x-2〕+2有两个交点时，实数k的取值范围是〔〕。

A.〔，1〕
B.〔，+∞〕
C.〔，1］
D.［，+∞〕
分析：曲线〔0≤x≤2〕的图形是以〔1，0〕为圆心，以1为半径的圆在x 轴上方〔包括x轴〕的部分。

直线y=k〔x-2〕+2是过定点P〔2，2〕、斜率为k的直线。

在同一直角坐标系中，分别作出它们的图形，观察图4，符合要求的直线l介于直线l1、l2之间〔包括l2，不包括l1〕，其中l1与半圆相切，l2过原点。

通过计算容易求得l2的斜率为1，l1的斜率为。

所以＜k≤1。

图4
答案：C。

例6 如果实数x、y满足等式〔x－2〕2＋y2＝3，那么的最大值是〔〕。

A. B. C. D.
图5分析：等式〔x-2〕2+y2=3有明显的几何意义，它表示以〔2，0〕为圆心，r=为
半径的圆〔如图5〕。

而则表示圆上的点〔x，y〕与坐标原点〔0，0〕的连线的斜率。

如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以〔2，0〕为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值。

由图5可见，当点A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为
tan 60°=。

答案：D。

五、求极值问题中的数形结合
许多代数极值问题，存在着图形背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，通过图形给问题以几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系，启发思维，难题巧解。

例7 直线y=a与函数f〔x〕=x3-3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围为
〔〕。

图5
A.〔-2，1〕
B.〔-1，2〕
C.〔-2，2〕
D.［-2，2］
分析：函数f〔x〕＝x3-3x的导数为f '〔x〕=3x2-3。

令f '〔x〕≥0，解得x≥1或x≤-1；令f '〔x〕≤0，解得-1≤x≤1；则函数f 〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增，在〔-∞，-1〕上单调递增。

在〔-1，1〕上单调递减。

由此画出f 〔x〕的草图〔图6〕。

图6
由图形看出-2＜a＜2。

答案：C。

六、数形结合在复数中的应用
复数的几何意义包括两方面内容：一是与复平面上的点一一对应，二是与复平面上从原点出发的向量一一对应，这使得复数可以从解析几何的角度来审视，可借助数与形的互化来解题。

例8 已知z∈C，且︱z︱≤，求|z+1|的取值范围。

分析：利用复数在复平面上所对应的图形及其几何意义解决此类问题。

图7
解：︱z︱≤在复平面上对应的图形为以原点为圆心，以为半径的圆周及圆内部，|z+1|表示在复平面上z对应的点与-1对应点间的距离。

由图7，|z+1|最大值为︱AC︱=32，
|z+1|最小值为︱AB︱= 。

故|z+1|∈［，］。

七．数形结合概率中的应用
应用数形结合解题时要注意以下两点：其一，注意数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题应是等价的；其二，注意利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出正确结论。

有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况画出相应的图形后，再进行讨论求解。

总之，学生要真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果只理解了几个典型习题，就认为领会了数形结合这一思想方法，是错误的。

所以要认真上好每一堂课，深入学习新教材的系统知识，掌握各种函数的图象特点，理解各种几何图形的性质。

教师要引导学生根据问题的具体情况，注意改变观察和理解问题的角度，揭示问题的本质联系，用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，从而使问题得到解决。

在平日的教学中，要紧紧抓住数形转化的策略，沟通知识联系，激发学生学习兴趣，提高学生的思维能力。

只有这样，运用数形结合才能不断深化提高。