2019-2020学年高二数学《2.5直线与圆锥曲线》教学过程二

2019-2020学年高二数学《2.5直线与圆锥曲线》教学过程二
【课前热身】
1.过点(0,1)的直线与椭圆14
92
2=+y x 的位置关系为A A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
2.已知双曲线方程x 2
-y 2
=1，过P (2，1)点的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为
C
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
3. 直线过点（2,4）与抛物线y 2
=8x 只有一个公共点，这样的直线共有B A.1条 B.2条 C. 3条 D.4条 【要点整合】[
1．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点（特殊情况除外），相切只有一个交点，相离无交点.判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与曲线方
程联立，消去变量y （或x ）得变量x （或y ）的方程：ax 2+bx+c=0（或ay 2
+by+c=0）
若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：
Δ＞0直线与圆锥曲线相交； Δ=0直线与圆锥曲线相切； Δ<0
直线与圆锥曲线相离.
若a=0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点.若曲线为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若曲线为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行.
2．直线与圆锥曲线相交的弦长公式
设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由⎩⎨
⎧+==n
kx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2
－4ac 。

则弦长公式为：
d=2
212
21)()(y y x x -+-=2
212))(1(x x k -+=2
2)1(a k Δ+=Δ||)
1(2a k +。

【典例精析】
热点一 直线与圆锥曲线的交点问题
例1. 直线1+-=k kx y 与椭圆14
92
2=+y x 有_ C _个公共点 A. 0个 B. 一个 C. 二个 D. 不确定
变式迁移1 不论k 为何值,如果直线 y=kx+b 与椭圆14
92
2=+y x 总有公共点,求b 的取值范围？
]2,2[-
热点二 中点弦问题
例2 在椭圆x 2
＋4y 2
＝16中，求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在直线的方程和弦长．
变式迁移 2 （2010山东）已知抛物线 ，过其焦点且斜率为1的直线
交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，求该抛物线的准线方程。

热点三 直线与圆锥曲线的相交弦问题
例3 已知椭圆方程为18
22
2=+y x ，直线)0(2≠+=m m x y 与椭圆交于A 、B 两点，求AOB ∆（O 为坐标原点）面积的最大值。

22(0)
y px p =>
变式迁移3已知圆O ：x 2+y 2
=1，点O 为坐标原点，一条直线l ：y =k x +b (b >0)与圆O 相切
并与椭圆12
22
=+y x 交于不同的两点A ，B . (Ⅰ)设b =f (k )，求f (k )的表达式； (Ⅱ)若3
2
=
⋅OB OA ，求直线l 的方程； (Ⅲ)若
)4
3
32(≤≤=⋅m m OB OA ，求三角形OAB 面积的取值范围. 【方法提炼】
1.直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组
的解的情况来讨论.
(1)若方程组消元后得到一个一元二次方程，根据Δ来讨论；
(2)若方程组消元后得到一个一元一次方程，则相交于一个公共点，需要注意的是，直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行(或重合)与其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交；
(3)直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形结合，以形助数的方法解决； (4)若讨论一线段与圆锥曲线或一直线与圆锥曲线的一部分（如双曲线的一支）的公共点个数，则应根据根的范围限制；
(5)直线与圆锥曲线相交问题，解题时，注意应用韦达定理及“设而不求”的技巧. 2.利用数形结合和等价转化的思想，可以将某些最大值、最小值问题转化为求圆锥曲线的切线的斜率问题.
3.圆锥曲线中的最值及范围问题求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似，常见的解法有两种：代数法和几何法.
4.遇到中点弦问题常用“根与系数关系”或“点差法”求解.若知道中点，则利用“点差法”的方法可得出过中点弦的直线的斜率.比较两种方法，用“点差法”的方法的计算量较少，此法解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式加以检验.
【课后巩固】
1、（2009全国卷Ⅱ文）已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82
=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。

若FB FA 2=,则k = ( D )
Ａ.
31 Ｂ.32 Ｃ.3
2
Ｄ.322
【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由2FA FB =及第二定义知)2(22+=+B A x x 联立方程用根与系数关系可求
k=
3
. 2、(2010全国新课标)已知双曲线E 的中心为原点，)0,3(F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程为 B
A ．22136x y -=
B . 22
145x y -= C. 22
163x y -= D. 22
154
x y -= 3（2009天津卷理）.设抛物线2
y =2x 的焦点为F ，过点M
0）的直线与抛物线相交于A ，
B 两点，与抛物线的准线相交于
C ，BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的面积之比
BCF
ACF
S S ∆∆=( A )
1
2
又32
22||-=⇒=⇒=+
=B B B y x x BF
由A 、B 、M 三点共线有
B M B M A M A M x x y y x x y y --=--即2
333
0320-
+=--A
A x x ，故2=A x ，
∴
5
4
14131212=++=++=∆∆A B ACF BCF x x S S ，故选择A 。

4、当k= -1，0，1 时，直线y=k(x+1)与抛物线y 2
=4x 恰有一个公共点
5、（2010重庆）已知以F 为焦点的抛物线2
4y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =,则弦AB 的中点到准线的距离为___________.
解析：设BF=m,由抛物线的定义知
m BB m AA ==11,3
ABC ∆∴中，AC=2m,AB=4m,3=AB k
直线AB 方程为)1(3-=
x y
与抛物线方程联立消y 得031032
=+-x x 所以AB 中点到准线距离为
3
8
1351221=+=++x x 6、（2010广东）已知双曲线
212
x
y -=的左、右顶点分别为12,A A ，点11(,)P x y ，11(,)Q x y -是双曲线上不同的两个动点。

（1）求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程；
（2若过点(0,)(1)H h h >的两条直线1l 和2l 与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥，求h 的值。

（1）解：由12,A A
为双曲线的左右顶点知，12(A A
1:A P y x =+
，2:A Q y x =，两式相乘222121(2)2y y x x -=--，
因为点11(,)P x y 在双曲线上，所以22
1112x y -=，即2121122
y x =-，故221(2)2y x =--， 所以22
12x y +=，即直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程为2212
x y +=
由题意知直线1l 和2l 都是椭圆E 的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为45︒和135︒，
设其方程为y x h =±+，代入椭圆E 的方程2
212
x y +=得 2
2()12
x x h +±+=，即2234220x hx h ±+-= 由0∆=得2
2
1643(22)0h h -⨯⨯-=，即23h =，
1h >，h ∴=
7、平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2
212
x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；
（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+
代入椭圆方程得2
2(12
x kx ++=．
整理得221102k x ⎛⎫
+++=
⎪⎝⎭
① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2
221844202k k k ⎛⎫
∆=-+=->
⎪⎝⎭
，
解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为222⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，
由方程①，122
12x x k +=-
+． ②
又1212()y y k x x +=++ ③
而(01)(A B AB =-，，．
所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，
将②③代入上式，解得2
k =
．
由（Ⅰ）知k <k >k ．。