2017-2018学年高中数学人教A版必修五习题：第2章+数列+2.1+第1课时+Word版含答案

第二章 2.1 第1课时
A 级 基础巩固
一、选择题
1．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为导学号 68370223( B ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝(－1)n (1－2n ) C ．a n ＝(－1)n (2n －1)
D ．a n ＝(－1)n (2n ＋1)
[解析] 当n ＝1时，a 1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a 2＝－3排除A ，故选B ．
2．已知数列5，11，17，23，29，…，则55可能是它的第几项．导学号 68370224( C )
A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
[解析] 数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，
5＋2×6，
5＋3×6，
5＋4×6，…，
∴该数列的一个通项公式为a n ＝5＋6(n －1)＝
6n －1．
令
6n －1＝55，得n ＝21．
3．－1,3，－7,15，( )，63，…，括号中的数应为导学号 68370225( B ) A ．－33 B ．－31 C ．－27
D ．57
[解析] 观察各数可见，符号规律为负、正交替出现，其绝对值依次为1,3,7,15，…各数加上1，即2,4,8,16，…变形可得21,22,23,24，…，故其通项应为a n ＝(－1)n (2n －1)，故第5项为－(25－1)＝－31．
4．数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是导学号 68370226( B ) A ．a n ＝n
2[1＋(－1)n ]
B ．a n ＝n ＋12[1＋(－1)n ＋
1]
C ．a n ＝n 2
[1＋(－1)n ＋
1]
D ．a n ＝n ＋1
2
[1＋(－1)n ]
[解析] 经验证可知选项B 符合要求．
5．数列1,3,7,15，…的通项公式a n ＝导学号 68370227( C ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1
D ．2n －
1
[解析] ∵a 1＝1，排除A ，B ；又a 2＝3，排除D ，故选C ．
6．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1
n ＋1，那么这个数列是导学号 68370228( A )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数列
D ．摆动数列
[解析] a n ＝n －1n ＋1＝1－2
n ＋1，随着n 的增大而增大．
二、填空题
7．23，415，635，863，1099，…的一个通项公式是__a n ＝2n
(2n －1)(2n ＋1)__． 导学号 68370229
[解析] 23＝21×3，415＝2×23×5，635＝2×35×7，863＝2×47×9，1099＝2×59×11，…，∴a n ＝2n (2n －1)(2n ＋1)．
8．已知数列3，5，9，17，33，…，那么5 41是这个数列的第__10__
项．导学号 68370230
[解析] 观察可见，a 1＝3＝1＋21，a 2＝5＝1＋22，a 3＝9＝
1＋23，a 4＝17＝
1＋24，a 5＝33＝1＋25，∴a n ＝
1＋2n ．
令
1＋2n ＝5
41得n ＝10，∴a 10＝5
41．
三、解答题
9．写出下列数列的一个通项公式．导学号 68370231 (1)－
11＋1，14＋1，－19＋1，116＋1
，…； (2)2,3,5,9,17,33，…； (3)12，25，310，417，5
26，…； (4)1，43，2，16
5，…；
(5)－13，18，－115，1
24
，…；
(6)2,6,12,20,30，…．
[解析] (1)符号规律(－1)n ，分子都是1，分母是n 2＋1，∴a n ＝(－1)n ·1
n 2＋1．
(2)a 1＝2＝1＋1，a 2＝3＝2＋1，a 3＝5＝22＋1， a 4＝9＝23＋1，a 5＝17＝24＋1，a 6＝33＝25＋1， ∴a n ＝2n －1＋1．
(3)a 1＝12＝111＋1，a 2＝25＝222＋1，a 3＝310＝332＋1，a 4＝417＝4
42＋1…，
∴a n ＝
n
n 2＋1． (4)a 1＝1＝22，a 2＝43，a 3＝2＝84，a 4＝16
5…，
∴a n ＝
2n
n ＋1． (5)a 1＝－13＝－11×3，a 2＝18＝12×4，a 3＝－115＝－13×5，a 4＝124＝1
4×6，
∴a n ＝(－1)n ·1
n (n ＋2)
．
(6)a 1＝2＝1×2，a 2＝6＝2×3，a 3＝12＝3×4，a 4＝20＝4×5，a 5＝30＝5×6，∴a n ＝n (n ＋1)．
B 级 素养提升
一、选择题
1．对任意的a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则函数y ＝f (x )的图象可能是导学号 68370232( A )
[解析] 据题意，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }，满足a n ＋1>a n ，即该函数y ＝f (x )的图
象上任一点(x ，y )都满足y >x ，结合图象，只有A 满足，故选A ．
2．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不可能是导学号 68370233( D ) A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1
B ．a n ＝1－cos n π
C ．a n ＝2sin 2n π2
D ．a n ＝1＋(－1)n －
1＋(n －1)(n －2)
[解析] 当n ＝1时，D 不满足，故选D ．
3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3导学号 68370234( D ) A ．不是数列{a n }中的项 B ．只是数列{a n }的第2项 C ．只是数列{a n }的第6项
D ．是数列{a n }的第2项或第6项
[解析] 令n 2－8n ＋15＝3，解此方程可得n ＝2或n ＝6，所以3可以是该数列的第2项，也可以是该数列的第6项．
4．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是导学号 68370235( D ) A ．a n ＝(－1)n ＋1
2
B ．a n ＝cos n π
2
C ．a n ＝cos (n ＋1)π
2
D ．a n ＝cos (n ＋2)π
2
[解析] 对于A ，当n ＝4时，(－1)n ＋12＝1，不满足题意；对于B ，当n ＝2时，cos n π
2＝－1，
不满足题意；对于C ，当n ＝1时，cos (n ＋1)π
2＝－1，不满足题意；对于D ，验证知恰好能表示所
给数列．故选D ．
二、填空题
5．已知{a n }是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围为__λ>－3__．导学号 68370236
[解析] 由{a n }为递增数列，得
a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn ＝2n ＋1＋λ>0恒成立， 即λ>－2n －1在n ≥1恒成立， 令f (n )＝－2n －1， ∴f (n )max ＝－3．
只需λ>f (n )max ＝－3即可．
6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为奇数)
2n －2(n 为偶数)，则a 2·a 3＝__20__.
导学号 68370237
[解析] 相当于分段函数求值，a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10，∴a 2·a 3＝20． 三、解答题
7．已知数列{a n }中，a n ＝
n
n ＋1
，判断数列{a n }的增减性．导学号 68370238 [解析] a n ＋1＝n ＋1n ＋2，则a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n
n ＋1
＝(n ＋1)2－n (n ＋2)(n ＋2)(n ＋1)＝1
(n ＋2)(n ＋1)．
∵n ∈N *，∴n ＋2>0，n ＋1>0， ∴1(n ＋2)(n ＋1)
>0， ∴a n ＋1>a n ．∴数列{a n }是递增数列．
C 级 能力拔高
1．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6．导学号 68370239 (1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ [解析] (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6．
(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16(n ＝－9舍)，即150是这个数列的第16项． (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)， ∴从第7项起各项都是正数．
2．已知数列1,2，73，52，13
5，…．导学号 68370240
(1)写出这个数列的一个通项公式a n ； (2)判断数列{a n }的增减性．
[解析] (1)数列1,2，73，52，135，…，可变为11，42，73，104，13
5，…．观察该数列可知，每一
项的分母恰与该项序号
n 对应，而分子比序号n 的3倍少2， ∴a n ＝
3n －2
n
． (2)∵a n ＝3n －2n ＝3－2
n ，
∴a n ＋1＝3－2
n ＋1，
∴a n ＋1－a n ＝3－
2
n ＋1－3＋2n
＝2n －2n ＋1＝2
n (n ＋1)， ∵n ∈N ＋， ∴2n (n ＋1)>0， ∴a n ＋1>a n ，
∴数列{a n }为递增数列．。