应用离散数学代数结构群题库试卷习题及答案

§4.3 群
习题4.3
1. 设G 是所有形如
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛001211a a 的矩阵组成的集合， *表示矩阵乘法。

试问>*<，G 是半群吗？是有么半群吗？这里
1211a a 、是实数。

解 任取G 中的2个元素
=A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00
1211
a a 、=B ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛001211b b 、 ∵
=*B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00
1211
a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛001211b b ＝⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛00
121111
11b a b a G ∈ ∴ >*<，G 是一个代数系统。

且因为矩阵的乘法满足结合律，所以>*<，G 是
半群。

又因为，只要11a ＝1，则
=*B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00
1211
a a *⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211
b b ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00121111
11b a b a ＝⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛001211b b B = 对任何的G B ∈成立，即⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛00112a 是左单位元（不论12a 取什么值）。

但右单位元不存在，因为不论11b ，12b 取什么值，
=*B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00
1211
a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211
b b ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00121111
11b a b a ＝⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛001111
a a B = 不可能对任何的G A ∈成立。

所以单位元不存在（事实上，若单位元存在，则左、右单位元都存在且相等还唯一），所以>*<，G 不是有么半群。

2. 在自然数集合N 上定义运算∨和∧如下：
}max{b a b a ，=∨，
}min{b a b a ，=∧
试问>∨<，N 和>∧<，N 是半群吗？是有么半群吗？ 解
>∨<，N 是半群，有单位元0，是有幺半群。

>∧<，N 是半群，没有单位元，不是有幺半群。

3. 设Z 为整数集合，在Z 上定义二元运算*如下：
Z ∈∀-+=*y x y x y x ，，2
问Z 关于运算*能否构成群？为什么？ 解
（1）整数集合Z 非空。

（2） x ∗ y = x + y − 2∈ Z ，满足封闭性要求。

（3）因为∀x , y ，z ∈ Z ,都有
(x ∗ y )*z =( x + y − 2)+z -2 =x + y +z − 4 x ∗ (y *z )= x +( y +z − 2)-2 =x + y +z − 4 *满足结合律 （4）因为*满足交换律
设x ∗ y = x + y − 2=y 得x =2,即单位元为2 （5）设x 的逆元为y
则x ∗ y = x + y − 2=2 得y =4-x ∈ Z 综上所述，⟨Z, ∗⟩是群。

4. }0|)({R ∈≠+==b a a b ax x f G ，，，证明>< ，G 是群，这里 是复合运算。

解
因为x ∈G ，所以G 非空。

又因为 (ax +b )。

(cx +d )= c (ax+b )+d= cax+cb +d ∈G,满足封闭性要求。

复合运算满足结合律。

有单位元x
对任何元素ax +b 来说，逆元是1
a x−b
a ∈G
所以，>< ，G 是群。

5. 设}10|{，
≠∧∈=x x x A R 。

在A 上定义六个函数如下： x x f =)(1
12)(-=x x f
x x f -=1)(3
14)1()(--=x x f
15)1()(--=x x x f
16)1()(--=x x x f
令G 为这六个函数构成的集合， 是复合运算。

（1）给出>< ，G 的运算表。

（2）验证>< ，G 是群。

解 （1）>< ，G 的运算表如下：
1f 2f 3f 4f 5f 6f 1f 1f 2f 3f 4f
5f 6f
2f
2f
1f
5f
6f 3f
4f 3f
3f
6f 1f
5f
4f 2f
4f
4f
5f
6f
1f
2f
3f
5f 5f 4f
2f 3f
6f
1f
6f
6f
3f 4f
2f
1f
5f
（2）从上运算表可以看出，运算具有封闭性，满足结合律，单位元为1f ，每个元都有逆元，所以>< ，G 构成群。

6. 在群>+<，R 中计算下列元素的幂：
?5.02= ?5.010=
?5.00
=
?42
=
?4
10
=
?40=
解 15.02
=
55.010=
05.00=
442
=
204
=
040=
7.在群>*<，G 中，证明
n m n m x x x +=*， n
m n m x x ⨯=)(，Z ∈∀n m ，
解 因为群满足结合律。

x m 表示m 个x 进行*运算，所以容易证明
n m n m x x x +=*， n m n m x x ⨯=)(，Z ∈∀n m ，
8. 设}654321{，，，，，=G ，对于G 上的二元运算“模7乘法7⨯”：
)7)(mod (7j i j i ⨯=⨯
>⨯<7，G 构成群。

请
（1）给出>⨯<7，G 的运算表。

（2）验证>⨯<7，G 构成群。

（3）给出每个元的次数。

解 （1）
（2）由运算表可知，满足封闭性要求，满足结合律，有单位元1，1的逆元是1，2的逆元是4，3的逆元5，4的逆元是2，5的逆元是3，6的逆元是6，所以是群。

（3）|1|=1，|2|=3=|4|，|3|=|5|=6，|6|=2。

9．设>*<，G 是群，若G x ∈∀有e x =2
，证明>*<，G 为交换群。

证：对任意的x ,y ∈G, 由于群的封闭性得y * x ∈G
从而x 2=e ， y 2=e, (y * x )2 =e 因此，对 x *y=e * (x *y ) * e
=(y *y ) *(x *y ) *(x *x ) = y *(y *x ) 2 *x = y *e*x = y *x
所以，是交换群。

10．设>*<，G 是群，证明G 是交换群的充要条件是G b a ∈∀，有2
2
2
)(b a b a *=*。

解 必要性：如果G 是交换群， G b a ∈∀，有2
2
2
)(b a b a *=*是显然的。

充分性：根据2
2
2
)(b a b a *=*得b b a a b a b a ***=***，再由消去律得
b a a b *=*，即交换律成立，所以G 是交换群。

11．设>*<，G 是有限半群，且满足消去律，证明G 是群。

解 对于G a ∈∀，考虑集合
},,,,,{32 m a a a a a G =
由封闭性可知G G a ⊆。

又由于G 是有限集，所以a G 也是有限集。

故 必有0,>k n ，使得
k n n a a +=
所以G b ∈∀有
b a b a k n n *=*+
由消去律可得
b a b k *=
这表明k
a 是左单位元，同理可证它是右单位元，所以k
a 是单位元。

又因为
e a a a a a k k k ==*=*--11
所以，a 有逆元1
-k a。

因此，>*<，G 是群。

12．设>*<，G 是群，G c b a ∈，，，证明
||||||b a c a c b c b a **=**=**
证：
由书上的例子得知，|a*b |=|b*a |，从而 |a*b*c |=| a*(b*c ) |=| (b*c ) * a |=| b*c* a | |a*b*c |=|( a*b )*c |=| c * (b* a ) |=| c* b* a |
13．设>*<，G 是群，G b a ∈，且a b b a *=*。

如果m b n a ==||||，且n 与m 互质，证
明m n b a ⨯=*||。

证： (a *b )k =a k *b k
设|a *b |=d,而(a *b )nm =a nm *b nm =e,所以d |nm(1) (a *b )d = a d *b d =e ⇒ a d =b -d ⇒ a dm =b -dm = (b m )-d =e 所以n |dm 且n 和m 互质⇒ n |d 同理， m |d
又因为n 和m 互质 所以nm|d (2)
据(1)(2)得， d=nm。