13-14线性代数试卷答案(B卷)

广东财经大学试题参考答案及评分标准
2013-2014学年第1学期 课程名称 线性代数（B 卷） 课程代码 101044 共3页
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一、 填空题（每题3分，共30分）
1， 正号； 2，相关； 3，-12； 4，32； 5，3； 6，；()()r A r B ≥ 7，(,)()r A b r A =； 8，1； 9，0； 10,
1
A A。

二 、选择题（每题3分，共15分）
1，C ；2，B ；3，C ；4，B ；5，B ；
三、计算题（每题10分，共40分）
1. 解：14142
143423113
092D -=
14140765
014750121210---=
----
………4分 7
6
5
1475121210--=----1
6
5
77501210--=---1
6
5
03530
01210
--=--
………4分
3530(1)1210-=-⨯
-530
(1)210
-=-⨯
-10=。

………2分 2． 解：
111
1()23313
2A b λ
λ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1
111012101
41λλ-⎡⎤
⎢⎥→+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
1111
012100(3)(2)
2λλλλ-⎡⎤
⎢⎥→+⎢⎥⎢⎥-+--+⎣⎦
………4分
可知（1）3λ=-时，()2,(,)3r A r A b ==线性方程组无解； ………2分 （2）2λ≠时，且3λ≠-()(,)3r A r A b ==线性方程组有唯一解； ………2分 （3）2λ=时， ()(,)2r A r A b ==线性方程组有无穷多解。

………2分
3 .解：111
100()213
010344001A I --⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝
⎭
1111
00011210011301--⎛⎫
⎪
→-- ⎪ ⎪⎝⎭ ………6分 1021
1
0011210002511--⎛⎫
⎪
→-- ⎪ ⎪-⎝
⎭ ………2分 100401111010222
51100122
2⎛
⎫ ⎪
⎪ ⎪
→ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
. ………2分
1
4011112225112
2
2A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
4 .解：211121121
44622436979--⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥--⎢
⎥-⎣⎦1
1214011100001300000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1
01
0401103000130
00
00-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥
-⎢
⎥⎣⎦
得12,,αα4α是极大无关组。

且 ………6分
123ααα--=。

………2分 1245433αααα+-=。

………2分
四、应用题（10分）
解：
I A λ-3
10
13
0(2)(3)(4)0
3
λλλλλλ-=
-=----- 解得，12λ=，233,4λλ==， ………4分
对于12λ=，由(2)0I A x -=，得基础解系1110η⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

对23λ=，由(3)0I A x -=，得基础解系2001η⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

对34λ=，由(4)0I A x -=，得基础解系3110η⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.
显然123,,ηηη两两正交的。

再单位化得：
1110ηξη==⎢⎥
⎣⎦
，222001ηξη⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，33
30ηξη⎡⎤
⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎥⎣⎦， ………4分
得正交阵
1230
(,,)0010Q ξξξ⎤⎥==⎢⎥⎣⎦
，且1200030004Q AQ -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ……2分
五、证明题（5分）
证明：设1122330k k k βββ++= 即
1122330k k k βββ=++112323(,,)k k k βββ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 112323101(,,)110011k k k ααα-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦。

（*） ………2分
因为
1
01
110001
1--=-，所以123101011000110k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
有非零解，将该非零解代入（*）， 得方程组
1122330k k k βββ++= 有非零解，所以 1,β2,β3β线性相关。

………3分
（注：上面是其中一种参考答案，证明方法并不唯一，其他证明方法，比如直接给出线性组合，同样
可以得分）。