一元二次方程根的判别式

专题二：一元二次方程根的判别式
一．基础知识
一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的根的判别式ac b 42-=∆： （1）⇔>∆0方程有两个不等实数根．
（2）⇔=∆0方程有两个相等实数根．
（3）⇔<∆0方程无实数根．
（4）⇔≥∆0方程有两个实数根．
※ 运用根的判别式时要注意：关于x 的方程02=++c bx ax 有两个实数根和实数根的区别在于：若有两个实数根，则00≠≥∆a ，且．若有实数根，则分两种情况：①00≥∆≠，a ；②0=a
二．例题
1．若关于x 的方程x 2
－mx ＋3＝0有实数根，则m 的值可以为____m 32≥___．(任意给出一个符合条件的值即可)
2．如果方程ax 2+2x +1=0有两个不等实数根，则实数a 的取值范围是 a<1
3、已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且关于x 的一元二次方程()()()04
322=---+
+c a x c a x b c 有两个相等的实数根，那么这个三角形是 等腰三角形 。

4、如果关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程
()()02252=++--m x m x m 的实根个数是 D 。

A , 1
B , 2
C , 3
D , 不能确定
5．关于x 的方程(a －5)x 2
－4x －1＝0有实数根，则a 满足（A ）
A ．a ≥1
B ．a ＞1且a ≠5
C ．a ≥1且a ≠5
D ．a ≠5
6．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等．．．的实数根，则ac b 42-满足（ B ） Ａ．ac b 42-＝0 Ｂ．ac b 42-＞0
Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥0 7．关于x 的一元二次方程x 2
－6x ＋2k ＝0有两不等实根，则实数k 的取值范围是（ B ）．
A ．k ≤92
B ．k ＜92
C ．k ≥92
D ．k ＞92
8．已知关于x 的一元二次方程x ²-4x +m -1=0有两个相等实数根，求的m 值及方程的根．
答 M=5 X=2
9．已知一元二次方程022=+-m x x ．
（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；
（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。

答（1）m 1≤
（2）m=43x x 21=⋅
10．已知关于x 的一元二次方程22
(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）当22120x x -=时，求m 的值．
答 （1） m 41≤
（2）4
1m = 11．已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求
4
)2(222
-+-b a ab 的值。

答 4
12、已知关于x 的方程()0222
=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根； (2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。

(1)证明：∵△=b 2−4ac =(k +2)2−8k =(k −2)2⩾0 （2）△ABC 的周长为5.
13、已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0．
（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且12x x -=m 的值，并求出此时方程的两根．．
14、关于x 的一元二次方程x 2
-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k 的取值范围.
15、 已知方程x 2+2x+m=0的两个根的差的平方是16，求m 的值；
已知方程x 2+3x+m=0的两个根的差是5，求m 的值；
已知方程x 2+3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．
16、已知一元二次方程. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)设
是方程的两个实数根，且满足，求m 的值.
17、已知关于x 的一元二次方程. (1)求证：对于任意非零实数a ，该方程恒有两个异号的实数根；
(2)设
是方程的两个实数根，若，求a 的值.。