高一数学必修第一册2019(A版)_4.4.2_对数函数的图像和性质_练习(2)(解析版)

4.4.2 对数函数的图像和性质
基础巩固
1.已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,则当x ∈(0,+∞)时,f(x)=|log 2x|,若
a=f(-3),b=f(14),c=f(2),则a,b,c 的大小关系是( ) (A)a>b>c
(B)b>a>c (C)c>a>b
(D)a>c>b
【答案】B 【解析】因为函数y=f(x+2)的图象关于x=-2对称,
所以函数y=f(x)的图象关于y 轴对称,
所以函数y=f(x)是偶函数.
所以a=f(-3)=f(3)=|log 23|=log 23,
又b=f （14）=|log 214|=|-2|=2, c=f(2)=|log 22|=1,所以c<a<b.
2.若函数y=f(x)与函数y=ln √x +1的图象关于直线y=x 对称,则f(x)等于( )
(A)e
2x-2 (B)e 2x (C)e 2x+1 (D)e 2x+2
【答案】A
【解析】若两个函数的图象关于直线y=x 对称,那么这两个函数互为反函数,而y=ln √x +1的反函数为y=e 2x-2,故选A.
3.若log m 8.1<log n 8.1<0,那么m,n 满足的条件是( )
(A)m>n>1 (B)n>m>1
(C)0<n<m<1 (D)0<m<n<1
【答案】C
【解析】由题意知m,n 一定都是大于0且小于1的数,根据函数图象(图略)知,当x>1时,底数越大,函数值越小,故选C.
4.已知函数f(x)=log (a-1)(2x+1)在（-12,0）内恒有f(x)>0,则a 的取值范围是( )
(A)(1,+∞) (B)(0,1)
(C)(0,2) (D)(1,2)
【答案】D
【解析】由-1
<x<0,得0<2x+1<1.若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1.所以1<a<2.故选D.
2
5.函数y=log2|x|的图象大致是( )
【答案】A
【解析】因为函数y=log2|x|是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,结合图象可知A正确.
6.若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为.
【答案】0
【解析】函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,
所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),
所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.
x|的单调增区间为.
7.函数f(x)=|lo g1
2
【答案】[1,+∞)
x|可得函数的大致图象如图所示,
【解析】由函数f(x)=|lo g1
2
所以函数的单调增区间为[1,+∞).
8.已知f(x)=log4(4x-1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的单调性;
,2]上的值域.
(3)求f(x)在区间[1
2
【答案】（1）(0,+∞)（2）f(x)在(0,+∞)上单调递增（3）值域为[0,log415].
【解析】(1)由4x-1>0,解得x>0,
因此f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)设0<x1<x2,则0<4x1-1<4x2-1,
因此log4(4x1-1)<log4(4x2-1),即f(x1)<f(x2),
故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)因为f(x)在区间[12,2]上单调递增,
又f(12)=0,f(2)=log 415, 因此f(x)在区间[12,2]上的值域为[0,log 415].
能力提升
9.已知log 2b<log 2a<log 2c,则( )
(A)(12)b >(12)a >(12)c
(B)(12
)a >(12)b >(12)c (C)(12
)c >(12)b >(12)a (D)(12)c >(12)a >(12)b
【答案】A
【解析】因为log 2b<log 2a<log 2c,所以c>a>b,所以(12)b >（12）a >（12）c .故选A.
10.已知函数f(x)={f(x +1),x <4,2x ,x ≥4,
则f(2+log 23)等于( ) (A)8 (B)12
(C)16 (D)24
【答案】D
【解析】因为1<log 23<2,所以3<2+log 23<4,所以f(2+log 23)=f(3+log 23). 又4<3+log 23<5,所以f(3+log 23)=2(3+log 23)=23×2log 23=8×3=24.故选D. 9.当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=a x
与y=log a x 的图象是( )
【答案】D
【解析】因为函数y=a x
与y=log a x 互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x 对称, 且当0<a<1时,函数y=a x 与y=log a x 都是减函数,观察图象知,D 正确.故选D.
12.已知函数f(x)=ln(ax 2+2x+1).
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a 的取值范围;
(2)若f(x)的值域为R,求实数a 的取值范围.
【答案】（1）a 的取值范围为(1,+∞)（2）a 的取值范围为[0,1].
【解析】(1)因为f(x)的定义域为R,
所以ax 2+2x+1>0恒成立.
当a=0时,2x+1>0,x>-12,不合题意;
所以a ≠0.由{a >0,Δ=4−4a <0,
得a>1. 故实数a 的取值范围为(1,+∞).
(2)因为f(x)的值域为R,
所以{y|y=ax 2+2x+1,x ∈R}⊇(0,+∞).
(也可以说y=ax 2+2x+1取遍一切正数)
①当a=0时,y=2x+1可以取遍一切正数,符合题意,
②当a ≠0时,需{a >0,Δ=4−4a ≥0,
即0<a ≤1. 综上,实数a 的取值范围为[0,1].
素养达成
13.已知函数f(x)=log 2(x+1),g(x)=log 2(3x+1).
(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x 的取值范围;
(2)当x ∈[0,+∞)时,求函数y=g(x)-f(x)的值域.
【答案】（1）[0,+∞).（2）[0,log 23).
【解析】(1)因为f(x)=log 2(x+1),
g(x)=log 2(3x+1),g(x)≥f(x),
所以3x+1≥x+1>0,
所以x ≥0.
即使g(x)≥f(x)成立的x 的取值范围为[0,+∞).
(2)因为y=g(x)-f(x)=log 2(3x+1)-log 2(x+1) =log 23x+1x+1(x ≥0).
令h(x)=3x+1x+1=3-2x+1,
则h(x)为[0,+∞)上的增函数,所以1≤h(x)<3, 故y=g(x)-f(x)∈[0,log 23),
即函数y=g(x)-f(x)的值域为[0,log 23).。