北师大版初中数学七年级上册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：第五章 一元一次方程(基础)

第五章一元一次方程（基础）
方程的意义（基础）知识讲解
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；
3. 理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
要点一、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
要点三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果，那么 (c为一个数或一个式子) .
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果，那么；如果，那么.
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式
不一定成立， 如x ＝0中，两边加上
得x ＋
，这个等式不成立;
(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【典型例题】
类型一、方程的概念
1．下列各式哪些是方程？
①3x-2＝7； ②4+8＝12； ③3x-6；
④2m-3n ＝0； ⑤3x 2
-2x-1＝0； ⑥x+2≠3； ⑦
； ⑧． 【答案与解析】
解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧． 【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可
以是一个，也可以是多个． 举一反三：
【变式】（2018春•宜宾县期中）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A. 3+2=5
B. x=1
C. 2x ﹣3＜0
D. a 2
+2ab+b 2
【答案】B ．
2．（2018春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（ ） A. 4x ﹣1=3x+2 B. 4x+8=3（x+1）+1 C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1 D. x+4=3（2x ﹣1） 【答案】C ．
【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是． 举一反三：
【变式】下列方程中，解是x=3的是( )
A ．x+1＝4
B ．2x+1＝3
C ．2x-1＝2
D ．
类型二、一元一次方程的相关概念
3．（2019春•南江县期末）在下列方程中①x 2
+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤
=y+是一元一次方程的有（ ）个．
251x =+28553
x x -=2
173
x +=
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断. 【答案】B.
【解析】解：①x 2
+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤
=y+是一元一次方程；一元一次方程
的有2个，故选：B ． 【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．
举一反三：
【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）． ①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④． 【答案】①②.
类型三、等式的性质
4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的． (1)如果
，那么________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果，那么＝________． 【答案与解析】
解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11； (2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ； (3).； 根据等式的性质2，等式两边都乘以．
【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．
举一反三：
【变式】下列说法正确的是( )．
A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.
B ．在等式a ＝b 两边除以c 2
+1，可得
. 1
51x
-=-41153x -=4
53
x =+43
34
t -
=t 916-
3
4
-2211
a b
c c =++
C ．在等式
两边都除以a ，可得b ＝c. D ．在等式2x ＝2a-b 两边都除以2，可得x ＝a-b. 【答案】B.
类型四、设未知数列方程
5．根据问题设未知数并列出方程：
一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？ 【答案与解析】
解：设小明要做对x 道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80． 可以采用列表法探究其解
显然，当x ＝21时，4x-(25-x)×1＝80． 所以小明要做对21道题．
【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式． 举一反三：
【变式】根据下列条件列出方程． (l)x 的5倍比x 的相反数大10； (2)某数的
比它的倒数小4； (3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5
分钟出发，问甲用多少时间追上乙？ 【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x ，则
；(3)设甲用x 分钟追上乙，由题意得．
方程的意义（基础）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018春•衡阳校级月考）下列叙述中，正确的是（ ）
A. 方程是含有未知数的式子
B. 方程是等式
C. 只有含有字母x ，y 的等式才叫方程
D. 带等号和字母的式子叫方程 2．下列方程是一元一次方程的是( )．
b c
a a
=3
4
13
44
x x -=11(5)3020
x x +=
A ．x 2
-2x+3＝0 B ．2x-5y ＝4 C ．x ＝0 D ．
3．下列方程中，方程的解为x ＝2的是( )．
A ．2x ＝6
B ．(x-3)(x+2)＝0
C ．x 2
＝3 D ．3x-6＝0 4．x 、y 是两个有理数，“x 与y 的和的
等于4”用式子表示为( )． A ． B ． C ． D ．以上都不对 5．（2019•香坊区模拟）一艘轮船从甲码头到乙码头顺水航行，用了2小时，从乙码头到甲
码头逆水航行，用了2.5小时．已知水流速度为3千米/时．设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列出的方程为（ ）
A ．2x+3=2.5x ﹣3
B ．2（x+3）=2.5（x ﹣3）
C ．2x ﹣3=2.5x=3
D ．2（x ﹣3）=2.5（x+3） 6．如果x ＝2是方程
的根，则a 的值是( )． A ．0 B ．2 C ．-2 D ．-6 7．下列等式变形中，不正确的是( )．
A ．若 x ＝y ，则x+5＝y+5
B ．若(a ≠0)，则x ＝y
C ．若-3x ＝-3y ，则x ＝y
D ．若mx ＝my ，则x ＝y 8．等式
的下列变形属于等式性质2的变形是( )． A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
9．下列各式中，是方程的有 ，是一元一次方程的是 .
（1）
； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）；（8）；（9）．
10．（2018春•宜阳县期中）若3x 2m ﹣3
+7=1是关于x 的一元一次方程，则m 的值是_____. 11. (1)由a ＝b ，得a+c ＝b+c ，这是根据等式的性质_______在等式两边________．(2)由a
1
3x
=1
3
143x y ++
=143x y +=1
()43
x y +=1
12
x a +=-x y
a a
=31
124
x x +-=31214x x +=+31
214
x x +-=3148x x +-=31
1244
x x +-=1153x x +=+220x x --=2
3x x
+=-y x =-13x =-2
)13(1=++p n m 213=-1x >03=+t
＝b ，得ac ＝bc ，这是根据等式的性质________在等式的两边________． 12．是下列哪个方程的解：①3x+2＝0；②2x-1＝0；③；④_______(只
填序号)．
13. 若，则 ．
14.（2019春•简阳市校级期中）比a 的3倍大5的数是9，列出方程式是 ．
三、解答题
15．（2018秋•恩施市期末）已知x=﹣1是关于x 的方程8x 3
﹣4x 2
+kx+9=0的一个解，求3k 2
﹣15k ﹣95的值．
16.已知方程，试确定下列各数：，谁是此
方程的解？
17．七年级(1)班举行了一次集邮展览，展出的邮票的数量为每人3枚剩余24枚，每人4枚还少26枚，这个班有多少学生？(只列方程)
【答案与解析】 一、选择题
1．【答案】B 2．【答案】C
【解析】依据一元一次方程的定义来判断． 3．【答案】D
【解析】把x ＝2代入A 、B 、C 、D 选项逐一验证． 4．【答案】C 【解析】 “x 与y 的
的和”与“x 与y 的和的”的区别是：前者是与x 求和，即，后者是的，即，两者运算顺序是不同的． 5．【答案】B
【解析】解：设轮船在静水中的速度为x 千米/时，
可列出的方程为：2（x+3）=2.5（x ﹣3）， 故选：B ．
6．【答案】C
【解析】把x ＝2代入方程得
，解得a ＝-2． 7. 【答案】D
【解析】D 中由mx ＝my 左右两边需同时除以m ，得到x ＝y ，但当m ＝0时，左右两边不能同时除以m ，所以D 项中等式变形不正确，利用性质2对等式两边同时进行变形，特别注意等式两边同时除以一个式子时，一定先确定这个式子不是0．
12x =
122x =11
24
x =0)2(432
=-+-y x =+y x 2
2316x x x -=+12342,2,3,4x x x x ==-=-=13131
3
y 13x y +
x y +131
()3
x y +1
212
a ⨯+=-
8. 【答案】C 二、填空题
9. 【答案】（1）、(2) 、(3)、 (4)、（5）、（6）、（9）；（1）、（5）、（9）． 【解析】由方程与一元一次方程的定义即得答案． 10．【答案】 2
【解析】根据题意得：2m ﹣3=1，解得：m=2． 11．【答案】1，同时加上c ；2，同时乘以c ．
【解析】等式的性质 12．【答案】②④
【解析】代入计算即得答案． 13.【答案】
【解析】由平方和绝对值的非负性，并由题意得：，，即可求出． 14.【答案】3a+5=9．
【解析】解：由题意得：比a 的3倍的数大5的数为：3a+5，
所以列出的方程为：3a+5=9． 故答案为3a+5=9．
三、解答题 15. 【解析】
解：将x=﹣1代入方程得：﹣8﹣4﹣k+9=0， 解得：k=﹣3，
当k=﹣3时，3k 2
﹣15k ﹣95=27+45﹣95=﹣23．
16. 【解析】分别将代入原方程的左右两边得：
当时，则左=，右= 当时，则左=，右=
当时，则左=，右=
当时，则左=，右=
综上可得：是此方程解的是：．
17．【解析】设这个班有学生x 人，由题意得3x+24＝4x-26．
114
043=-x 02=-y 12342,2,3,4x x x x ==-=-=2x =222322322x x -=⨯-⨯=1621618x +=+=∴≠左右-2x =2
2
232(2)3(2)14x x -=⨯--⨯-=1621614x +=-+=∴左=右3x =-2
2
232(3)3(3)27x x -=⨯--⨯-=1631613x +=-+=∴≠左右4x =22
23243420x x -=⨯-⨯=1641620x +=+=∴左=右242,4x x =-=
一元一次方程的解法（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；
2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】
要点一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项
去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍
数
(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的，去分母后应加
上括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，
其他项都移到方程的另一边(记住移项
要变号)
(1)移项要变号
(2)不要丢项
合并同类
项
把方程化成ax ＝b(a ≠0)的形式 字母及其指数不变
系数化成
1
在方程两边都除以未知数的系数a ，得
到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：
(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或. 2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1）当a ≠0时，；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解．
b x a
=ax b c +=0c <0c =0ax b +=0c >ax b c +=ax b c +=-b x a
=
【典型例题】
类型一、解较简单的一元一次方程
1．（2018•广州）解方程：5x=3（x ﹣4） 【答案与解析】
解：方程去括号得：5x=3x ﹣12， 移项合并得：2x=﹣12， 解得：x=﹣6．
【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：
(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．
(2)合并：即通过合并将方程化为ax ＝b(a ≠0)的形式．
(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a ，即得方程的解． 举一反三：
【变式】下列方程变形正确的是( )． A ．由2x-3＝-x-4，得2x+x ＝-4-3 B ．由x+3＝2-4x ，得5x ＝5 C ．由，得x ＝-1 D ．由3＝x-2，得-x ＝-2-3
【答案】D
类型二、去括号解一元一次方程
2．解方程：
【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程． 【答案与解析】（1）去括号得： 移项合并得： 解得： （2）去括号得： 移项合并得：
解得： 【总结升华】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号． 举一反三：
b x a
=23
32
x -
=42107x x +=+65x -=56
x =-
32226x x --=-47x -=-74
x =
()()()232123x x -+=-()()1221107x x +=+
【变式】解方程： 5(x-5)+2x ＝-4． 【答案】解： 去括号得：5x-25+2x ＝-4． 移项合并得： 7x ＝21．
解得： x ＝3．
类型三、解含分母的一元一次方程
3．（2019春•新乡期末）解方程
﹣2=
．
【思路点拨】方程按照去分母，去括号，移项合并同类项，把x 系数化为1的步骤，即可求出解．
【答案与解析】
解：去分母得：2（2x ﹣1）﹣12=3（3x+2）， 去括号得：4x ﹣2﹣12=9x+6， 移项合并得：5x=﹣20， 解得：x=﹣4．
【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解． 举一反三：
【变式】（2018•岳池县模拟）解方程：x+=
﹣
．
【答案】解：去分母得：12x+30=24x ﹣8﹣3x+24， 移项合并得：﹣9x=﹣14， 解得：x=
．
类型四、解较复杂的一元一次方程
4．解方程：
【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误． 【答案与解析】原方程可以化成：
． 去分母，得：30x-7(17-20x)＝21．
去括号、移项、合并同类项，得：170x ＝140． 系数化成1，得：． 【总结升华】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数要区分开．
5. 解方程： 【答案与解析】
0.170.210.70.03
x x --=101720173
x x
--=1417
x =
112
[(1)](1)223
x x x -
-=-
解法1：先去小括号得：
再去中括号得：
移项，合并得： 系数化为1，得： 解法2：两边均乘以2，去中括号得： 去小括号，并移项合并得：，解得： 解法3：原方程可化为： 去中括号，得 移项、合并，得 解得 【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x 变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算． 举一反三：
【变式】 【答案】
解：去中括号得： 去小括号，移项合并得：，解得x ＝-8 11122()22233
x x x -+=-11122
24433x x x -+=-511
1212
x -
=-11
5
x =
14
(1)(1)23
x x x -
-=-51166x -
=-11
5
x =1
12
[(1)1(1)](1)2
23
x x x -+-
-=-1112(1)(1)(1)2243
x x x -+--=-51
(1)122
x -
-=-115
x =
32[(1)2]2234
x x ---=3
(1)2242
x x --
⨯-=3
64
x -
=
类型五、解含绝对值的方程
6．解方程|x|-2＝0 【答案与解析】
解：原方程可化为：
当x ≥0时，得x=2，
当x ＜0时，得-x=2，即，x ＝-2．
所以原方程的解是x ＝2或x ＝-2．
【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据的正负分类讨论，注意不要漏解．
【巩固练习】 一、选择题 1．（2018春•唐河县期末）方程|2x ﹣1|=2的解是（ ）
A. x=
B. x=﹣
C. x=或x=﹣
D. x=﹣
2．下列解方程的过程中，移项错误的是( )． A ．方程2x+6＝-3变形为2x ＝-3+6 B ．方程2x-6＝-3变形为2x ＝-3+6 C ．方程3x ＝4-x 变形为3x+x ＝4 D ．方程4-x ＝3x 变形为x+3x ＝4 3. 方程
的解是 （ ）． A ． B ． C ． D ． 4．对方程2(2x-1)-(x-3)＝1，去括号正确的是( )．
A ．4x-1-x-3＝1
B ．4x-1-x+3＝1
C ．4x-2-x-3＝1
D ．4x-2-x+3＝1 5．方程可变形为( )． A ．3-x-1＝0 B ．6-x-1＝0 C ．6-x+1＝0 D ．6-x+1＝2 6．3x-12的值与互为倒数，则x 的值为( )． A ．3 B ．-3 C ．5 D ．-5 7．（2019•株洲）在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是
（ ）
2x =ax b =ax 11
43
x =12x =112x =
43x =3
4
x =1
302
x --
=13
-
A ．2x ﹣1+6x=3（3x+1）
B ．2（x ﹣1）+6x=3（3x+1）
C ．2（x ﹣1）+x=3（3x+1）
D ．（x ﹣1）+x=3（x+1）
8.某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ）． A ．54盏 B ．55盏 C ．56盏 D ．57盏
二、填空题
9．(1)方程2x+3＝3x-2，利用________可变形为2x-3x ＝-2-3，这种变形叫________． (2)方程-3x ＝5，利用________，把方程两边都_______，把x 的系数化为1，得x ＝________． 10．方程2x-kx+1＝5x-2的解是x ＝-1，k 的值是_______． 11．（2018秋•铜陵期末）如果|a+3|=1，那么a= ． 12．（2019春•南江县校级月考）在解方程
﹣
=2时，去分母得 ．
13．在有理数范围内定义一种运算“※”，其规则为a ※b ＝a-b ．根据这个规则，求方程(x-2)※1＝0的解为________．
14．一列长为150m 的火车，以15m/s 的速度通过600m 的隧道，则这列火车完全通过此隧道所需时间是________s ． 三、解答题
15．解下列方程：
(1)4(2x-1)-3(5x+2)＝3(2-x)； (2)； (3)
．
16.（2018春•宜阳县期中）当k 取何值时，关于x 的方程2（2x ﹣3）=1﹣2x 和8﹣k=2（x+）的解相同？
17．小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为
，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C.
【解析】由题意，2x ﹣1=2，或2x ﹣1=﹣2，解这两个方程得：x=，或x=﹣ 2. 【答案】A
【解析】A 中移项未改变符号． 3. 【答案】C
12
323
x x x ---
=-0.10.21
30.020.5
x x -+-=31155
x x ++∙
=-1
4
【解析】系数化为1，两边同乘以4即可． 4. 【答案】D
【解析】A 中，去掉第1个括号时第二项漏乘，去掉第2个括号时，-3没变号；B 中，去掉第1个括号时第二项漏乘；C 中，去掉第2个括号时，-3没变号． 5．【答案】C
【解析】A 中，去分母时3没有乘以2，-1没变号；B 中，去分母时-1没变号；D 中，等号右边0乘以2应是0，而不应是2． 6．【答案】A
【解析】-3x-12与互为倒数，所以3x-12＝-3，x ＝3． 7. 【答案】B
【解析】解：方程两边同时乘以6得：2（x ﹣1）+6x=3（3x+1），
故选B ． 8. 【答案】B
【解析】设有盏，则有个灯距，由题意可得：，解得：
．
二、填空题
9．【答案】(1)等式性质1，移项； (2)等式性质2，除以-3， 10．【答案】k ＝-6
【解析】将代入得：，解得：． 11.【答案】﹣2或﹣4．
【解析】∵|a+3|=1，∴a+3=1或a+3=﹣1，∴a=﹣2或﹣4． 12．【答案】3（x+1）﹣2（2x ﹣3）=24．
【解析】解：方程两边都乘以12，去分母得，3（x+1）﹣2（2x ﹣3）=24．
故答案为：3（x+1）﹣2（2x ﹣3）=24．
13．【答案】x ＝3
【解析】根据规则得：x-2-1＝0，x ＝3． 14．【答案】50 【解析】
(秒) ．
三、解答题 15．【解析】
解：(1)8x-4-15x-6＝6-3x 8x-15x+3x ＝6+4+6 -4x ＝16
x ＝-4 (2) 13
-x (1)x -36(1061)70(1)x -=-55x =5
3
-1x =-2152k -++=--6k =-600150
5015
+=12
323
x x x ---
=-
6x-3(1-x)＝18-2(x-2) 11x ＝25 (3)原方程可化为：
，约分得：5x-10-(2x+2)＝3，去括号得5x-10-2x-2＝3，移项及合并，得3x ＝15，系数化为1，得x ＝5．
16.【解析】
解2（2x ﹣3）=1﹣2x ，得 x=，
把x=代入8﹣k=2（x+），得 8﹣k=2（+）， 解得k=4，
当k=4时，关于x 的方程2（2x ﹣3）=1﹣2x 和8﹣k=2（x+）的解相同． 17．【解析】 解：将代入，得： ． 解得：．
所以被污染的数字为3．
一元一次方程应用（一）--
水箱变高了与打折销售（基础）知识讲解
【学习目标】
1.能分析简单问题中的数量关系，并建立方程解决问题；体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系．
2.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值. 【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．
由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
2511
x =
10201010
325
x x -+-=1
4
x =
113144155
⨯++∙=-3∙=−−−→分析抽象−−−→求解
检验
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 要点二、水箱变高了（等积变形问题） “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积. 常用的面积、体积公式：
长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽 长方体的体积公式：长×宽×高
正方形的周长公式：边长×4； 面积公式：边长×边长 正方体体积公式：边长×边长×边长
圆的周长公式：C=；面积公式：；
圆柱的体积公式：V 柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V 锥=
×底面积×高 要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变.
要点三、打折销售（利润问题） (1) (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几
折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住价格升降对利润的影响来考虑． 【典型例题】
类型一、水箱变高了（等积变形问题）
1．一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．
【思路点拨】先求得两个圆柱的体积，进而求得体积差，等量关系为：体积小的底面积×高度=体积差，把相关数值代入即可求解． 【答案与解析】
2d r ππ=2
S r π=1
3
-=
100%=100%⨯⨯利润售价成本
利润率成本成本
解：底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内体积为：V1=π×（）2×18=（立方厘
米），
底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃体积为：V2=π×（6÷2）2×10=（立方厘米），
因为V2＜V1，所以装不下.
设瓶内水面还有xcm．
π×（）2×x=，
解得：x=3.6．
答：装不下，瓶内水面还有3.6厘米．
【总结升华】解决本题的难点是判断出哪个容器的体积大；关键是得到倒满较小的容器后的体积的等量关系．
2．一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其它三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米，你认为谁的设计符合实际按照他的设计，鸡场的面积是多少？【答案与解析】
解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为（x+5）米，
根据题意得：2x+（x+5）=35
解得： x=10．
因此小王设计的长为x+5=10+5=15（米），而墙的长度只有14米，小王的设计不符合实际的．根据小赵的设计可以设宽为y米，长为（y+2）米，
根据题意得2y+（y+2）=35
解得： y=11．
因此小赵设计的长为y+2=11+2=13（米），而墙的长度只有14米，显然小赵的设计符合要求，此时鸡场的面积为11×13=143（平方米）．
答：小赵的设计符合实际按照他的设计，鸡场的面积是143平方米.
【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，但要注意所得的结果应满足实际情况的需要.
类型二、打折销售（利润问题）
3．（2019•潮南区模拟）某商场销售的一款空调机每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．
（1）求这款空调每台的进价？（利润率==）．
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？
【思路点拨】（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；
（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．
【答案与解析】
解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：
3270×0.8﹣x=9%x，
解得：x=2400，
答：这款空调每台的进价为2400元；
（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×2400×9%=21600（元），答：商场销售了这款空调机100台，盈利21600元．
【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意．分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要．
举一反三：
【变式】（2019•滦平县二模）一家商店将某种商品按进货价提高100%后，又以6折优惠售出，售价为60元，则这种商品的进货价是（）
A．120元B．100元C．72元D．50元
【答案】D．
解：设进货价为x元，由题意得：
（1+100%）x•60%=60，
解得：x=50.
4．（2019•怀柔区二模）列方程或方程组解应用题：
周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每把定价5元，且两家都有优惠．甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠．小明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量．
【思路点拨】由题意可知，在甲店买一把茶壶赠送茶杯一只，故需付5只茶壶的钱和x﹣5只茶杯的钱，已知茶壶和茶杯的钱，可列出付款关于x的式子；在乙店购买全场9折优惠，同理也可列出付款关于x的式子；若两种优惠办法付款一样，则两式子的值相等，计算出x 的值即需购买茶杯的数目．
【答案与解析】
解：设购买茶杯x只，依题意得
5x+125=4.5x+135，
解得：x=20．
所以购买茶杯20只时，两种优惠办法付款一样．
【总结升华】本题考查了一元一次方程在经济问题中的运用以及买东西的优惠问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．举一反三：
【变式】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价．
【答案】
解：设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：
0.8x+20＝x-12，
解得：x＝160．
答：李明上次所买书籍的原价是160元．
【巩固练习】
一、选择题
1．有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径
A．B．
C．D．
3．图（①）为一正面白色，反面灰色的长方形纸片．今沿虚线剪下分成甲、乙两长方形纸片，并将甲纸片反面朝上黏贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图（②）所示．若图（②）中白色与灰色区域的面积比为8：3，图（②）纸片的面积为33，则图（①）纸片的面积为（）
．B．C
为140元，那么这种商品的原价是（）
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
5．某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣, 每件售价均为135元, 若按成本计算, 其
中一件盈利25%, 一件亏本25%, 则在这次买卖中他 ( )
A．不赚不赔 B．赚9元 C．赔18元 D．赚18元
6．（2019•大庆）某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同．2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元．2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（）
A．880元B．800元C．720元D．1080元
二、填空题
7．用长为1米，直径是40毫米的圆钢能锻拉成直径为4毫米的圆钢丝米．8．一只直径为90毫米的圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个底面积为131×131平方毫米、高为81毫米的长方体铁盒中，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度大约下降了多少设大约下降了x毫米，则可列方程．
9．如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条（阴影部分）后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，若两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为cm2．
10．（2019•孝义市三模）五一期间，某商厦为了促销，将一款每台标价为1635元的空调按标价的八折销售，结果仍能盈利9%，则是这款空调机每台的进价为元．11．五•一期间，某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了折优惠．
12．商场打折促销时，张老师买了一件衣服和一条裤子，共用了284元．其中衣服按标价打六折，裤子按标价打八折，衣服的标价为300元，则裤子的标价应为元.
三、解答题
13．（2019•泰州）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
14．若进货价降低8%，而售出价不变，那么利润可由目前的p%增加到（p+10）%，求p．15．在一次春游中，小明、小亮等同学随家人一同到江郎山游玩．如图所示是购买门票时，小明与他爸爸的对话：。