宁夏回族自治区银川市2023届高三下学期学科教学质量检测(一模)数学试卷及答案

银川市2023年普通高中学科教学质量检测
理科数学
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U R =，集合{}
*
5A x x x =∈≤N 且，()(){}
130B x x x =+->，则U A C B = （
）
A ．{}
1,2B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}
0,1,2,32．在复平面内，已知复数11z i =-对应的向量为1OZ ，现将向量1OZ
绕点O 逆时针旋转90°，并将其长度
变为原来的2倍得到向量2OZ ，设2OZ 对应的复数为2z ，则21
z
z =（）
A ．2i
B
．C ．2
D
．3．a b >的一个充要条件是（）
A ．
11a b
<B ．2
2
ac bc
>C ．22log log a b >D ．1.7 1.7
a b
>4．已知函数2
()121
x
f x =-
+，则（）
A ．()f x 是偶函数且是增函数
B ．()f x 是偶函数且是减函数
C ．()f x 是奇函数且是增函数
D ．()f x 是奇函数且是减函数
5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 中点，O 是AC 与BD 的交点，以下命题中正确的是（
）
A ．1//BC 平面AEC
B ．1B O ⊥平面AEC
C ．1DB ⊥平面AEC
D ．直线1A B 与直线A
E 所成的角是60°
6．在△ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC =，D 是AC 边的中点，点E 满足13
BE BA = ，则CE 与BD
的夹
角为（）
A ．60°
B ．75°
C ．90°
D ．120°
7．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，现将角α的终边绕原点O
逆时针方向旋转6π与单位圆交点的纵坐标为35，则2cos 23πα⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
（）
A ．725
-
B ．725
C ．1825
-
D ．
1825
8．已知圆锥SO ，其侧面展开图是半圆，过SO 上一点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱PO 的侧面积与圆锥SO 的侧面积的比为3
4，则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比为（）
A ．
38
B ．
12
C ．
58
D ．
34
9．泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应
用，泊松分布的概率分布列为()(),2,!
0,1k P K e k k x λ
λ-=== ，其中e 为自然对数的底数，λ是泊松分
布的均值．当n 很大且p 很小时，二项分布近似于泊松分布，其中np λ=．一般地，当20n ≥而0.05
p ≤时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量()~1000,0.001X B ，()2P X ≥的近似值为（）
A ．11e
-
B ．21e
-
C ．14
e -
D ．2
11e -
10．已知函数()2sin()(0,2
f x x π
ωϕωϕ=+<>的部分图象如图所示，将()f x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向右平移4
π
个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列判断正
确的是（
）
A ．()g x 的最小正周期为4π
B ．()g x 的图象关于直线23
x π
=对称C ．()g x 在区间,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上单调递增
D ．()g x 在区间,42ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
11．已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，过原点O 作斜率为()0k k >的直线交C 于点A ，取OA 的中点B ，
过点B 作斜率为k -的直线l 交x 轴于点D ，则AF OD -=（）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．与k 值有关
12．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)(1)2f x f x ++-=，(2)(2)f x f x +=-，()f x 在[]0,1单调递减，则不等式1(1)12
f x -<在区间[]8,8-所有整数解的和为（）
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．点(),0F c 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点，圆()2
22:F x c y a -+=与双曲线C 的一
条渐近线交于A 、B ，若△ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为________．
14．在△ABC 中，120BAC ∠=︒，2AB =
，BC =D 为BC 边上一点，且AB AD ⊥，则△ABD 的面积等于________．
15．某校在“校园艺术周”活动中，安排了同时进行的演讲、唱歌、跳舞三项比赛，现准备从包括甲在内的五名同学中随机选派三名同学分别参加三项比赛，则甲不能参加演讲比赛的概率为________．16．关于x 的不等式log (01)x a a x a a ≥>≠且恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）
“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年．“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程．国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到2025年全国水产品年产量达到6900万吨．2018年至2021年全国水产品年产量y （单位：千万吨）的数据如下表：
年份2018201920202021年份代号x 1234年产量y
6.46
6.48
6.55
6.69
（1）求y 关于x 的线性回归方程，并预测2025年水产品年产量能否实现目标；
（2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了2019年全国32个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过90万吨的地区有14个，有渔业科技推广人员高配比（配比=渔业科技推广人员总数:渔业从业人员总数）的地区有16个，其中年产量超过90万吨且高配比的地区有4个，能否有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．
附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆy x βα=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1
21
ˆn
i
i
i n
i
i x y
nxy x
nx β
==-=-∑∑，ˆˆy x α
β=-，2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++()
2P K k ≥0.0500.0100.001
k
3.841 6.63510.828
参考数据 6.545y =4
1
65.83
i i
i x y
==∑18．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足2
1
123333
3n n n a a a a n -++++=⋅ ．
（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若________，求数列{}n b 的前n 项和n T ．在①2n a n n S b n =
+，②1
n n
b S =
，③1(1)2n n n b a -=-⋅这三个条件中任是一个补充在第（2）问中，并求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA PC =，AB BC =．（1）求证：PB AC ⊥；
（2）若平面PCD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，且22AB CD ==，90ABC ∠=︒，二面角P BC D --大小为45°，点E 是线段AP 上的动点，求直线EB 与平面PAD 所成角的正弦值的最小值，并说明此时点E 的位置．
20．（本小题满分12分）
2
1()ln (1)2
f x ax x a x =
+-+．（1）当4a =-时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0a >时，设()
()f x g x x
=，若()g x 既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+>>=的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E 过
(2,1)T ，直线:l y x m =+与椭园E 交于A 、B ．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）设直线TA 、TB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：120k k +=；
（3）直线l '是过点T 的椭圆E 的切线，且与直线l 交于点P ，定义PTB ∠为椭圆E 的弦切角，PAB ∠为弦TB 对应的椭圆周角，探究椭圆E 的弦切角PTB ∠与弦TB 对应的椭圆周角TAB ∠的关系，并证明你的论．
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程12112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 是以(2,)2π
为圆心，且过点23
M π
的圆．
（1）求曲线C 的极坐标方程与直线l 的普通方程；
（2）直线l 过点(1,1)P 且与曲线C 交于A ，B 两点，求2
2
PA PB +的值．23．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数()221f x x x =+--．（1）求不等式()3f x ≥-的解集；
（2）若(],,1a b ∈-∞且满足()()f a f b >，记c 是()f x 的最大值，证明：2
1
22()
a c
b a b +
≥+-．银川市2023年普通高中学科教学质量检测
理科数学参考答案
选择题答案123456789101112C A
D
C
B
C
A
A
B
C
A
B
填空题答案
13．
62
1415．
45
16．1,e e ⎡⎫+∞⎪
⎢⎣⎭
17．（1）解：由题意知：1
(1234) 2.54
x =
+++=， 6.545y =4
165.83
i
i
i x y
==∑4
222221
123430
i
i x
==+++=∑
所以4
14
2
21
465.834 2.5 6.545
0.076304 2.5
4i
i
i i
i x y
xy
x
x β==--⨯⨯=
==-⨯-∑∑，6.5450.076 2.5 6.35ˆ5ˆa
y x β-⨯==-=故y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.076 6.355y
x =+．当8x =时，ˆ0.0768 6.355 6.963 6.9y
=⨯+=>6分
所以根据线性回归模型预测2025年水产品年产量可以实现目标．（2）列联表
渔业年产量超过90万吨
的地区
渔业年产量不超过90万吨的
地区合计有渔业科技推广人员高配比
的地区
41216没有渔业科技推广人员高配
比的地区10616合计
14
18
32
22
2
()32(461012) 4.571 3.841
()()()()16161418
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯>⨯⨯故有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．12分
18．解：因为211233333n n n a a a a n -++++=⋅ 当2n ≥时2
2
1
1231333(1)3n n n a a a a n ---++++=-⋅ 相减得1
113
3(1)33(21)
n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+得21
n a n =+3分当1n =时，13a =满足上式4分
综上：21
n a n =+22n S n n
=+6分
（2）选①2n a n
n S b n
=
+解：由（1）可知：21
n a n =+22n S n n
=+∴22121
22222n
a n n n n S n n
b n n n
+++=+=+=++∵1231n n n
T b b b b b -=+++++ ∴3(32)2(14)(5)8(41)21423n n n n n n n T ++-+-=+=+
-12分
选②1
n n
b S =
解：由（1）可知：2
2n S n n
=+
∴11111((2)22
n n b S n n n n =
==-++∵1231n n n
T b b b b b -=+++++ 111111111111111111()()()(((21322423524621122n T n n n n =
-+-+-+-+++-++ 111113111(()212124212
n n n n =+--=-+++++12分
选③1
(1)2n n n b a -=-⋅解：由（1）可知：21n a n =+∴1(1)22n n n n b a n -=-⋅=⋅∵1231n n n
T b b b b b -=+++++ 则1
2
3
1
122232(1)2
2n n
n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 于是得23122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得2
3
1
112(12)
222222(1)2112
n n
n n n n T n n n +++--=+++-⋅=-⋅=-⋅-- ，
所以1
(1)21n n T n +=-⋅+．
12分
19．（1）证明：取AC 的中点O ，连接OB ，OP
∴OP AC ⊥①同理可得，OB AC ⊥②
∵平面OP OB O = ，∴AC ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ∴PB AC
⊥5分
（2）以C 为原点，以CD 为x 轴，以CB 为y 轴，建立如图所示的坐标系
平面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，又90ABC ∠=︒，//AB CD ，所以BC CD ⊥，所以BC ⊥面PCD ，所以BC PC
⊥PCD ∠二面角P BC D --的平面角，45PCD ∠=︒，22AB CD ==，
所以P （2，0，2），A （2，2，0），B （0，2，0），D （1，0，0）
设(),,E x y z ，()0,2,2PA =- ，()2,,2PE x y z =--
，设PE PA
λ= 解得()2,2,22P λλ-，所以()
2,22,22PB λλ=--
设平面PAD 的一个法向量为(),,n x y z =
()0,2,2PA =- ，()1,2,0PD =
22020y z x y -=⎧⎨
-=⎩令1y =，∴2x =，1
z =()
2,1,1n =
直
线
EB 与平面PAD 所成角的正弦
值
sin cos ,3<>PB n θ===≥
，min 2
sin 3
θ=
，此时0λ=，E 与P 重合．12分
20．解析：
2
1()ln (1)2
f x ax x a x =
+-+当4a =-时，2
()2ln 3f x x x x
=-++所以21431(41)(1)
()430
x x x x f x x x x x
-++---'-++==>=解得1
x >所以()f x 在（0，1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减所以()f x 在1x =处取得极大值(1)1f =，无极小值．
5分
()1ln ()(1)2f x x
g x ax a x x
=
=+-+有两个极值点，所以2
22
11ln 11ln 2
()02ax x
x g x a x x +--'=+==有两个不等正根所以2
1()1ln 02h x ax x =+-=有两个不等正根．
211
()0
ax h x ax x x
-'-=>=
解得x >
所以()f x
在
上单调递减，在)+∞上单调递增
当0h <
，即11102a a +-<，解得3a e -<10分
当x ∈
时，令0min x ⎧⎪=⎨⎪⎩，易知，当0x x <，()0h x >
当)x ∈+∞又因为ln 1x x <-，ln 1
x x ->-+
所以2211
()1ln 222
h x ax x ax x =>+-+-令2
122
y ax x =
+-，当140a ∆=-≤，2
1202
y ax x =+-≥恒成立
所以存在0)x ∈+∞，当0x x >，()0h x >当140a ∆=->，2
1202
y ax x =+-=有根1114a x a =
，2114a x a +=所以存在02x x >时，当0x x >，()0
h x y >>由零点存在定理，2
1()1ln 02
h x ax x =+-=有两个不等正根．综上3
0a e -<<12分
21．解析：
（1
）由题意知2
b c a ==所以2
22a b
=又椭圆经过T （2，1），所以
2
2411a b
+=解得2
6a =，2
3b =，所以椭圆方程为22
163
x y +=2分
（2）联立直线与椭圆方程得
22
26
y x m
x y =+⎧⎨+=⎩∴222()6x x m ++=，∴22
34260
x mx m ++-=又因为有两个交点，所以2
2
1612(26)0m m ∆=->-，解得33
m -<<又1243
m
x x +=-，212263m x x -=
12121212121111
2222y y x m x m k k x x x x --+-+-+=+=+
----121212212111
2(1)(2222
x m x m m x x x x -++-++=
+=+++----121212121244
2(1)
2(1)
(2)(2)2()4
x x x x m m x x x x x x +-+-=++=++---++244
2(3)32(1)2(1)0
264(1)(3)
2()433
m
m m m m m m m -
-+=++=-+-++--+得证
8分
（3）椭圆E 的弦切角PTB ∠与弦TB 对应的椭圆周角TAB ∠相等
设切线方程为()
12y k x -=-22
1226
y kx k x y =+-⎧⎨+=⎩∴22
2(12)6x kx k ++-=∴2
2
2
(12)4(12)2(12)60
k x k k x k ++-+--=0∆=∴1
k =-设切线与x 轴交点为Q ，TA 、TB 分别与x 交于C ，
D
12 0k k +=，所以TCD TDC ∠=∠，又TQD AMC ∠=∠，
TCD TAB AMC ∠=∠+∠，TDC PTB POD ∠=∠+∠所以PTB BAT ∠=∠证毕．
12分
22．（1）解：∵直线l 的参数方程3
12112
x t y t =+=+⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩（t 为参数）∴直线l
的普通方程为10
x --=由cos x ρθ=，sin y ρθ=得，C （0，2）
，(M ，半径2CM =∴曲线C 的普通方程为2
2
(2)4x y +-=，即2
2
40x y y +-=故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ
=5分
（2）由（1）可知：曲线C 的普通方程为2
2
40x y y +-=，
将直线l 的参数方程3
12112
x t y t =+=+⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的的普通方程为22
40
x y y +-=
整理得21)20
t t +--=设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t
，则有121212
t t t t +=-=-⎧⎪⎨⎪⎩由参数t
的几何意义可得：
2
2
22
22121212()2(12(2)8PA PB t t t t t t +=+=+-=-⨯-=-10分
23．（1）解：由题意知：
4,2,3,21,4, 1.x x y x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩
作出函数()221f x x x =+--的图象，它与直线3y =-的交点为()1,3--和()7,3-
．
由图象可知：不等式()3f x ≥-的解集[]1,7-．5分
（2）由（1）可知：
当1x =时，()y f x =取得最大值3，即3c =∵()y f x =在(],1-∞上单调递增，且()()f a f b >∴a b >，即0a b ->∵222
111
2(2)2()3()()3()()()
a c
b a b a b a b a b a b a b +
-+=-+=-+-+---
-30≥-=（当且仅当21()a b a b -=-时取等号）∴2
1
22()
a c
b a b +
≥+-即证之10分
银川市2023年普通高中学科教学质量检测
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}21,A x x n n Z ==-∈，{}
14B x x =-≤<，则A B ⋂=A.
{}
1,3 B.
{}
1,1,3- C.
{}
1,1- D.
{}
1,0,1,3-2.在复平面内，已知复数11z i =-对应的向量为1OZ ，现将向量1OZ
绕点O 逆时针旋转90°，并将其长度
变为原来的2倍得到向量2OZ ，设2OZ 对应的复数为2z ，则21
z
z =
A.2i
B. C.2
D.3.已知函数()2
121
x f x =-
+，则A.()f x 是偶函数且是增函数 B.()f x 是偶函数且是减函数C.()f x 是奇函数且是增函数
D.()f x 是奇函数且是减函数
4.2022年11月30日，神舟十五号、神舟十四号乘组在太空“胜利会师”，在中国人自己的“太空家园”里留下了一张足以载入史册的太空合影.某班级开展了关于太空知识的分享交流活动，活动中有2名男生、3名女生发言，活动后从这5人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1名男生的概率为A.
310
B.
25
C.
35
D.
710
5.在环境检测中人们常用声强级0
10lg I I L I =表示声音的强弱，其中I 代表声强（单位：2
W /m ），0I 为基础声强，其值约为12
210W /m -，某环境检测点检测到某一时段的声强约为 4.5210W /m -，则这一时段的声
强级约为
A.55
B.65
C.75
D.856.已知角α的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于第二象限的点P ，且P 点的纵坐标为35，则sin cos 23ππαα⎛⎫⎛
⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ A.
433
10-+ B.
94310
- C.
123310
-- D.
123310
-+7.设F 是双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点，以F 为圆心，以a 为半径的圆与双曲线的渐近线
相切，则双曲线的离心率为
A.
B.
C.2
D.
8.在ABC △中，90C ∠=︒，22AC BC ==，D 是AC 边的中点，点E 满足13BE BA = ，则CE BD ⋅=
A.0
B.
23 C.623- D.2
3
-
9.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 中点，O 是AC 与BD 的交点，以下命题中正确的是
A.1BC ∥平面AEC
B.1DB ⊥平面AEC
C.1B O ⊥上平面AEC
D.直线1A B 与直线AE 所成的角是60°
10.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，将()f x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向右平移4
π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列判断正确的是
A.()g x 的最小正周期为4π
B.()g x 的图象关于直线23
x π
=对称
C.()g x 在区间,66ππ⎡⎤
-
⎢⎣⎦上单调递增 D.()g x 在区间,42ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
11.已知A 是椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右顶点，焦距为4，直线()0y kx k =≠交C 于P ，Q 两点，
若直线AP 与直线AQ 的斜率之积为1
2
-，则椭圆C 的方程为
A.22
162x y += B.22
184x y +=C.22
195
x y += D.
22
13216
x y +=12.
()f x 是定义在R 上的奇函数，当[]1,1x ∈-时，()f x x =，()()11f x f x +=-，令
()()lg g x f x x =-，则函数()g x 的零点个数为
A.4
B.5
C.6
D.7
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.若x ，y 满足约束条件10
102220
x y x y x y -+≥⎧⎪⎪
-≤⎨⎪+-≤⎪⎩，则z x y =+的最大值为________.
14.直线y kx =与曲线ln 2y x =+相切，则k =________.
15.ABC △中，120BAC ︒∠=，2AB =
，BC =D 为BC 边上一点，且AB AD ⊥，则ABD △的面积等于________.
16.已知圆锥SO ，其侧面展开图是半圆，过SO 上一点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱PO 的侧面积与圆锥SO 的侧面积的比为3
4
，则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比为________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知公差为正数的等差数列{}n a 中，1a ，4a ，712a +构成等比数列，n S 是其前n 项和，满足315S =.（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若_________，求数列{}n b 的前n 项和n T .在①2n a n n S b n =
+，②1n n
b S =
，③()1
12n n n b a -=-⋅这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分12分）
“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年.“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程.国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到2025年全国水产品年产量达到6900万吨.2018年至2021年全国水产品年产量y （单位：千万吨）的数据如下表：年份2018201920202021年份代号x
1
2
3
4
总产量y 6.46 6.48 6.55 6.69
（1）求出y 关于x 的线性回归方程，并预测2025年水产品年产量能否实现目标；
（2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了2019年全国32个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过90万吨的地区有14个，有渔业科技推广人员高配比（配比=渔业科技推广人员总数：渔业从业人员总数）的地区有16个，其中年产量超过90万吨且高配比的地区有4个，能否有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系.
附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线 y x βα=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 1
2
21
n
i i
i n
i i x y
nxy
x nx
β
==-=-∑∑， y x α
β=-，()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k
3.841
6.635
10.828
参考数据 6.545y =，
41
65.83
i
i
i x y
==∑19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA PC =，AB BC =（1）求证：PB AC ⊥；
（2）若平面PCD ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，且22AB CD ==，
90ABC ∠=︒，45PCD ∠=︒，E 为线段AP 的中点，求点D 到平面EAC 的距离.
20.（本小题满分12分）已知函数()()2
1ln 12
f x ax x a x =
+-+.（1）当4a =-时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当1a ≥时，证明：()f x 只有一个零点.21.（本小题满分12分）
已知点F 是抛物线E ：()2
20y px p =>的焦点，点()()1,0T y y >在抛物线E 上，且2
TF =（1）求抛物线E 的方程；
（2）直线l ：y x m =-+与抛物线E 交于A ，B 两点，设直线TA ，TB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：120k k +=；（3）直线l '是过点T 的抛物线E 的切线，且与直线l 交于点P ，探究PTB ∠与TAB ∠的关系，并证明你的结论.
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程312112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 是以2,
2π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
为圆心，且过点23M π⎛⎫ ⎪⎝
⎭的圆.（1）求曲线C 的极坐标方程与直线l 的普通方程；
（2）直线l 过点()1,1P 且与曲线C 交于A ，B 两点，求2
2
PA PB +的值.23.选修修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数()221f x x x =+--.（1）求不等式()3f x ≥-的解集；
（2）若(],,1a b ∈-∞且满足()()f a f b >，记c 是()f x 的最大值，证明：()
2
1
22a c b a b +
≥+-.
银川市2023年普通高中学科教学质量检测
文科数学参考答案
一、选择题
1.B
2.A
3.C
4.D
5.C
6.D
7.A 8.A 9.C
10.C 11.B 12.B
二、填空题
13.
3
2
14.e
15.
16.
38
17.（1）解：设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，
依题意可得()24171231215a a a a a a ⎧=+⎨++=⎩，则()()2111136125
a d a a d a d ⎧+=++⎪⎨+=⎪⎩解得13a =，2d =，
从而数列{}n a 的通项公式为()32121n a n n =+-=+.
()12(321)
22
2n n n a a n n S n n +++=
=
=+综上：21n a n =+22n S n n
=+（2）选①2n a n
n S b n
=
+解：由（1）可知：21
n a n =+22n S n n
=+∴22121
22222n
a n n n n S n n
b n n n
+++=+=+=++∵1231n n n
T b b b b b -=+++⋅⋅⋅++∴()
()()()321484132521423
n n
n n n n n T --+++=
+
=+-选②1n n
b S =
解：由（1）可知：2
2n S n n =+∴()11111222n n b S n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪++⎝⎭
∵1231n n n
T b b b b b -=+++⋅⋅⋅++11111111111111111121322423524621122n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪
-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111113111212124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭
选③()1
12
n n n b a -=-⋅解：由（1）可知：21n a n =+，∴()1
122n n
n n b a n -=-⋅=⋅∵1231n n n
T b b b b b -=+++⋅⋅⋅++则()1
2
3
1
12223212
2n n
n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯于是得()2
3
1
22232122n
n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯两式相减得()()2
3
1
1121222222212112
n n
n n n n T n n n +++--=++⋅⋅⋅+-⋅=
-⋅=-⋅--，
所以()1121n n T n +=-⋅+.18.（1）解：由题意知：()1
1234 2.54
x =
+++=， 6.545y =，4
1
65.83i i i x y ==∑，4
22222
1
123430i i x ==+++=∑
所以4
14
2
21
465.834 2.5 6.545
0.076304 2.5
4i i
i i i x y
xy
x x
β==--⨯⨯=
=
=-⨯-∑∑，6.5450.076 2.5 6.355y x αβ=-=-⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为 0.076 6.355y x =+.
当8x =时， 0.0768 6.355 6.963 6.9y =⨯+=>，
所以根据线性回归模型预测2025年水产品年产量可以实现目标.（2）列联表如下：
渔业年产量超过90万吨的地区
渔业年产量不超过90万吨的地区合计有渔业科技推广人员高配比的地区41216没有渔业科技推广人员高配比的地区10616合计14
18
32
由()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++则()2
2
32461012 4.571 3.841
16161418
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯故有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系.19.（1）证明：取AC 的中点O ，连结OB ，OP ，∵在PAC △中，PA PC =，OA OC =，∴OP AC ⊥①
同理可得，OB AC ⊥②
∵平面OP OB O ⋂=，∴AC ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB .∴PB AC
⊥（2）在平面PCD 中，过点Р作PH CD ⊥交CD 延长线于H ，连AH ，取AH 得中点F ，连接EF ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⋂平面ABCD CD =，PH CD ⊥∴PH ⊥平面ABCD
在PAH △中，E ，F 分别为AP ，AH 的中点.∴EF PH ∥∴EF ⊥平面ABCD ，即EF ⊥平面ACD ，易知：
2PH CH ==
，1EF =，1
2
112
ACD S =⨯⨯=△，
(2113
224
EAC PAC S S =⨯=⨯=△△设点D 到平面EAC 的距离为h
∵D EAC E ACD V V --=，∴11
33
EAC ACD S h S EF
⨯⋅=⨯⋅△△
∴3
3ACD EAC S EF h S ⋅=
==△△∴点D 到平面EAC 的距离为33
.
20.①解：当4a =-时，()2
2ln 3f x x x x =-++，()
0,x ∈+∞()()()()24314111
43x x x x f x x x x x
-++-+-'=-++==
由()0f x '>得，114x -<<，由()0f x '<得，1
4
x <-或1
x >∴()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减，∴()f x 在1x =处取得极大值()11f =，无极小值.（2）解：∵()()2
1ln 12
f x ax x a x =
+-+，()0,x ∈+∞∴()()()()()211111
1ax a x ax x f x ax a x x x
-++--'=+-+==
由()0f x '=，0a >得，1
x a
=或1
x =①当1a =时，()0f x '≥，()f x 在()0,∞上单调递增
∵()3
102
f =-
<，()4ln 40f =>∴()()140f f ⋅<，故()f x 在()1,4上有唯一零点
②当1a >时，()0f x '>得1
x a
<或1x >∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在()1,+∞上单调递增
∵11ln 102f a a a ⎛⎫=---< ⎪⎝⎭
，()444ln 40f a =-+>∴()140f f a ⎛⎫⋅<
⎪⎝⎭，故()f x 在1,4a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有唯一零点
综上：当1a ≥时，()f x 只有一个零点.
21.（1）解：由题知，1222
T p p
TF x =+
=+=，解得2p =，∴抛物线C 的标准方程为2
4y x =.
（2）解：联立直线与抛物线方程的2
4y x m
y x
=-+⎧⎨=⎩∴()2
2
240
x m x m -++=又因为有两个交点，所以()2
2
2440
m m =+->△解得1
m >-设()11,A x y ，()22,B x y 故1224x x m +=+，2
12x x m
=12121212122222
1111
y y x m x m k k x x x x ---+--+-+=+=+----()()()121212131311231111x m x m m x x x x --+---+-⎛⎫
=
+=-+-+ ⎪
----⎝⎭
()()()()
()121212121222
2323111x x x x m m x x x x x x +-+-=-+-=-+--⋅--++()
()221230
23
m m m m +=-+-=--即证之
（3）结论：PTB TAB
∠=∠证明如下：设切线方程为()21y k x -=-由2
24y kx k y x
=+-⎧⎨
=⎩∴()()2222
2k 4420k x k x k --++-=0=△，∴1
k =设切线与x 轴交点为Q 、TA 、TB 分别与x 交于C ，D
120k k +=，所以TCD TDC ∠=∠，又TQD AMC ∠=∠，TCD TAB AMC ∠=∠+∠，TDC PTB TQD
∠=∠+∠所以PTB TAB ∠=∠即证之
22.（1）解：∵直线l
的参数方程12112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）
∴直线l
的普通方程为10
x -+=由cos x ρθ=，sin y ρθ=得，()0,2C
，()
M ，半径2
CM =∴曲线C 的的普通方程为()2224x y +-=，即2240x y y +-=故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ
=（2）由（1）可知：曲线C 的的普通方程为22
40x y y +-=，将直线l
的参数方程12112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）
代入曲线C 的的普通方程为2240x y y +-=
整理得)2120t t +
--=设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t
，则有1
21212t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩由参数t 的几何意义可得：
(
)((
)2
2222212121221228PA PB t t t t t t +=+=+-=--⨯-=-23.（1）解：由题意知：
4,2,3,21,4, 1.x x y x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩
作出函数()221f x x x =+--的图象，它与直线3y =-的交点为()1,3--和()7,3-.由图象可知：不等式()3f x ≥-的解集[]1,7-.
（2）由（1）可知：
当1x =时，()y f x =取得最大值3，即3c =∵()y f x =在(],1-∞上单调递增，且()()f a f b >∴a b >即0
a b ->∵()()()()()()()2221
1122233a c b a b a b a b a b a b a b +-+=-+
-=-+-+----
30≥=（当且仅当()21a b a b -=
-时，取等号）∴()21
22a c b a b +≥+-即证之.。