高中数学第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.1.2离散型随机变量的分布列(二)学

2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)

学习目标 1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2.理解两点分布和超几何分布．

知识点一两点分布

随机变量X的分布列为

X 0 1

P 1－p p

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．知识点二超几何分布

思考在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式．

答案C25C195 C3100

.

梳理一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)

＝C k M C n－k

N－M

C n N

，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列X 01…m

P

C0M C n－0

N－M

C n N

C1M C n－1

N－M

C n N

…

C m M C n－m

N－M

C n N

为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．

类型一两点分布

例1 (1)某运动员射击命中10环的概率为0.9，求他在一次射击中命中10环的次数的分布列；

(2)若离散型随机变量X的分布列为

X 0 1

求出c ，并说明X 是否服从两点分布，若是，则成功概率是多少？ 考点 离散型随机变量的分布列 题点 两点分布

解 (1)设该运动员射击一次命中10环的次数为X ， 则P (X ＝1)＝0.9，P (X ＝0)＝1－0.9＝0.1.

(2)由(9c 2

－c )＋(3－8c )＝1，解得c ＝13或c ＝23，

又9c 2

－c ≥0,3－8c ≥0，所以19≤c ≤38，所以c ＝13

.

X 的取值为0,1，故X 服从两点分布，成功概率为3－8c ＝1

3

.

反思与感悟 两步法判断一个分布是否为两点分布 (1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.

(2)验概率：检验P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．

跟踪训练1 已知一批100件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X 表示抽取的2件产品中的次品数，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 两点分布

解 由题意知，X 服从两点分布，P (X ＝0)＝C 2

99C 2100＝4950，P (X ＝1)＝1－4950＝1

50.所以随机变量X

的分布列为

类型二 超几何分布

例2 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；

(2)记取得1号球的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列． 考点 超几何分布

题点 求超几何分布的分布列

解 (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n ＝C 3

6＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C 13C 12C 1

1＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P ＝620＝

310

. (2)由题意知X ＝0,1,2,3.

P (X ＝0)＝C 3

3C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13C 2

3C 36＝9

20，

P (X ＝2)＝C 23C 1

3C 36＝920，P (X ＝3)＝C 3

3C 36＝1

20.

所以X 的分布列为

引申探究

1．在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列． 解 由题意可知η＝0,1，服从两点分布．又P (η＝1)＝C 2

5C 36＝1

2

，所以η的分布列为

2．将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？

解 (1)取出3个球颜色都不相同的概率 P ＝C 1

3×C 1

2×C 1

1×A 3

363

＝16. (2)由题意知X ＝0,1,2,3. P (X ＝0)＝33

63＝1

8，

P (X ＝1)＝C 13×3×3×363

＝3

8

.

P (X ＝2)＝C 23C 1

3×3×363

＝3

8， P (X ＝3)＝33

63＝1

8.

所以X 的分布列为

反思与感悟 超几何分布的求解步骤

(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．

(2)算概率：可以直接借助公式P (X ＝k )＝C k M C n －k

N －M

C n N 求解，也可以利用排列、组合及概率的知识

求解，需注意借助公式求解时应理解参数M ，N ，n ，k 的含义． (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．

跟踪训练2 某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，

B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相

当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列． 考点 超几何分布

题点 求超几何分布的分布列

解 (1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．

代表队中的学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 3

4C 36C 36＝1

100，因

此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99

100

. (2)根据题意，X 的所有可能取值为1,2,3. P (X ＝1)＝C 13C 3

3C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 2

3C 46＝3

5

，