【数学】湖南省湘东六校2019届高三12月联考试卷(理)

湖南省湘东六校 2019 届高三 12 月联考数学试卷（理）
第 I 卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1.
3 i, Z 2
2 i ，则 Z 1
Z 2 在复平面内对应的点位于（
）
若复数 Z 1 A. 第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.若集合 A { x | 1 x 0} ， B
{ x | log 2 (1 x) 0} ，则 A B （
）
A. { x | 1
x 1}
B. { x | 1 x
1}
C.{ 0}
D. { x | 1
x 1}
x sin x ）
3.函数 y
的图象大致为（
e
x
e x
A
B
C
D
4.已知向量 AB (1,2) ， AC ( 1，2) ，则 ABC 的面积为 （
）
3
B. 4
C.
3 D. 2
A.
2
5
5.已知函数
，则下列说法不正确的是（
）
A. f (x) 的图象关于直线
x
对称
B. f (x) 的周期为
2
2
C. (
,0) 是 f (x) 的一个对称中心
D. f (x) 在区间 [
, ] 上单调递减
4 2
在 ABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、b 、c ，其中 b
2
ac ，且 sin C
2 sin B ，
6. 则其最小角的余弦值为（ ）
A.
2
2
5 2
3
4
B.
C. 8
D.
4
4
7.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为 63，则判断框中应填入的条件为（ ）
A. i4
B. i5
C. i6
D. i7
8.过抛物线y24x 的焦点F的直线交抛物线于A, B 两点，且AF 1
BF ，则直线AB的2
斜率为（）
A. 22
B. 23
C.22或22
D.23或23
9.如图为一个正四面体的侧面展开图，G 为 BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线 BC 所成角的余弦值为（）
A.
3
B.
6 33
C. 3
D.
33 66
10.如图，在平面直角坐标系xOy 中， O 为正十边形 A1 A2 A3A10的中心， A1在x轴正半轴上，任取不同的两点A、 A（其中， 1 i, j10 ，且 i N , j N ），点P满足
i j
2OP OA i OA j0，则点P落在第二象限的概率是（）
78
A. B.
4545
12
C. D.
59
11.己知函数f ( x)x2，若关于 x的方程 [ f (x)]2mf ( x)m 10恰有3个不同的实数
e x
解，则实数 m的取值范围是
（）
A. (0,2)
B. (11
,2) C. {1
4
2 ,1} D. (1
4
2 ,1)
e e e
x2y2
1 (a0, b 0) 的两顶点分别为A1 , A2，F为双曲线的一个焦点B 12.已知双曲线
b2
a2
为虚轴的一个端点,
BF 上（不含端点）存在两点P1,P2，使得A1P1A2A1P2 A2若在线段
，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是（）2
A. (1,5 1
) B. (1,31) C. (0,51) D.(
3
,31) 22222
第II卷
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 已知曲线f (x)e x x2，则曲线在(0, f (0))处的切线与坐标轴围成的图形面积为.
3x y10
14. 若变量x， y 满足3x y110，且z ax y 的最小值为 1 ，则实数 a 的值
y2
为.
15.在平面直角坐标系xOy 中，点P(x0, y0)在单位圆O上，设xOP，且(,3 )．
4 4
若 cos(
12
，则 x0的值为
)．413
16. 如图，四棱锥P ABCD 中，AP1，矩形ABCD的周长为8，当三棱锥A - PCD的
体积最大时，该三棱锥的外接球半径与内切球半径分别为R 和 r ，则 R 1
的值r
为.
P
A
D
B C
三、解答题（本大题共7 小题共 70 分，其中第22， 23 题为选做题，解答应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤）
（一）必做题：共60 分.
17.（本小题 12分）已知数列{ a } 的前n项和 S满足 S n S n 1 1(n 2， n N)，且
n n
a1 1。

（Ⅰ）求数列的通项公式a n；
（Ⅱ）记 b n1， T为 { b} 的前n项和，求使T2成立的 n的最小值.
a n a
n 1
n n n
n
18.（本小题12 分）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA1,OD2,OAB ，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。

F
C
A O D
B
E
（Ⅰ）证明：直线 BC ∥面OEF；
（Ⅱ）在线段DF 上是否存在一点 M ，使得二面角M OE D 的余弦值是 3 13 ，若不
13
存在请说明理由，若存在请求出M 点所在的位置。

19.（本小题12 分）某市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，
对该市某校200 名高中学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，数据如下表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)
平均每天锻炼的
[0 ，10)[10 ， 20)[20 ， 30)[30 ， 40)[40， 50)[50 ， 60]
时间 (分钟 )
总人数203644504010
将学生日均课外体育运动时间在[40 ， 60)上的学生评价为“课外体育达标”.
( Ⅰ)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标课外体育达标合计
男
女20110
（Ⅱ）从上合计
述课外体育不
达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10 名学生，再从这10 名学生中随机抽取 3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的 3 人中男生的人数为随机变量为X，求X的分布列和数学期望。

(Ⅲ )将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中，
抽取 4 名学生，求其中恰好有 2 名学生是课外体育达标的概率。

参考公式： K 2n(ad bc)2，其中 n a b c d
(a b)(c d )( a c)(b d )
参考数据：
20.（本小题
x2y 2
1 (a b0)的离心率 e
1
12 分）已知椭圆C：
b2
，点 A(b,0) ，点
a22
B、 F分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF | | BA|2 6 .（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若过定点M (0,2) 的直线 l 与椭圆C交于 G, H 两点（ G 在 M , H 之间）设直线 l 的斜率 k 0 ，在x轴上是否存在点P(m,0) ，使得以 PG, PH 为邻边的平行四边形为菱形？
如果存在，求出m 的取值范围？如果不存在，请说明理由．
21.（本小题12 分）已知函数 f ( x)ln x a x2( a1) x .
2
( Ⅰ)当a0 时，求 f (x) 在区间(0,1] 的最大值；
( Ⅱ)若函数g(x) f ( x) x有两个极值点x1、x2 ( x1x2 ) ,求证：g( x1) g ( x2)a
ln a . 2
（二）选做题（请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）
x7t
22.（本小题 10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
2( t为参数 )．在
y t
以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C ：4 2 sin() .
4 (Ⅰ )求直线l的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
(Ⅱ )设曲线C与直线l的交点为A, B, Q 是曲线 C 上的动点，求ABQ 面积的最大值．
23.（本小题10 分）已知函数f x | x 1| | 2x a |, a R .
(Ⅰ )当a3时，解不等式 f x 2 ；
(Ⅱ )当x(,1) 时， f (x)0恒成立，求 a 的取值范围.
【参考答案】
1-12 AABDC CBCCB DA
1
14.2
15.
7 2
13.
26
2
P x y
0 )
O
xOP cos
x sin
y
( 0 ,
( , 3
)cos(
)
12 sin(
) 5
4 4
4
13
4
13
x 0 cos
cos[(
4
) ] cos(
) cos sin( 4
) sin 4
7 2 .
4
4 4
26
2
5
3
16.
2
17.
S n
S
n 1
1 { S n }
S 1
a 1 1
S n n S n
n 2 3
n 2
2
(
1) 2
2
1
a n S n
S
n 1
n
n
n
a 1
1
a n
2n 1 6
1b n
(2n
1 1) 1 (
1 1 1 1 )
1)( 2n 2 2n 2n
T n
1
(1 1 1 1 1
1 )
1
(1
1 1 ) n 9
2 3 3 5
2n
1 2n 1
2
2n 2n 1
T n
2 n 2 4n
2(n
2)2
6n 5
n
n 5.
12
18.
ADFC CAO
FOD
60 ， AC//OF
OF
OEF
AC //OEF
ABED BAO
EOD 60 ，
AB// OE AB // OEF
AB AC A, OE OF O,ABOEF AC OEF OE OEF OF OEF
ABC //OEF .
BC ABC BC OEF . 5
BC //EF
OD G G GE GD GF x y
z
O(0,1,0)E(3,0,0) F(0,0, 3), D(0,1,0) . 6
DM DF[0,1] .M (0,1,3 )
n (x, y, z)MOE
n OM0(2)y3z0n
( ,3, 2) 3x y 0
n OE0
OED m(0,0,1) 8
313
cos| cos m, n|| 2 |
10
342( 2)2 (21)(1)0[0,1]
1
2
MMDF12
F
C
A O D
B
E
19.( )
K
2
200 (60 20 30 90)2 200
≈ 6.060<6.635
150 50 90 110
33
0.01
“”.
4
10
10
60 46 .
150
X 0,1,2,3. P( X
0)
C 63 1 ,P(X 1) C 62C 41 1 ,
C 103 6
C 103 2 C 61C 42
3
,P(X 3)
C 43 1
P(X 2)
C 103
10 C 103
30
X
E(X)
6
. 9
5
4
50 1 ~ B(4, 1
)
P( x 2)
C 42 (
1)2 (3)2
27 .
200 4
4
4
4 128
4
2
27 .12
128
20.
2c e
1 2c
a
2
| BF | | BA| 2 6 a
b 2 b 2
2 6ab 2 3
a
2
b
2
c
2
a
2
4 b
2
3
C
x 2
y 2 1 . 4
4
3
l y kx 2( k 0)
y
kx 2(k
0)
1
2
2
2 2
(3 4k )x
16 kx 4
k
, 6
x
y
1
2
4 3
G(x 1, y 1 ), H (x 2 y 2 )x x
16k
PG PH (x 1
x 2 2m,k(x 1 x 2 ) 4)
4k
2
1 2
GH (x 2
x 1 , y 2 y 1 ) ( x 2
x 1 , k (x 2 x 1 ))
( PG PH) GH
2
m
2k 10
(1 k
)( x 1 x 2 ) 4k
2m 0 4k
2
3
m
2
1 ,
3
3
3
k
m
4k .
k
4k
2
6
k
m m
3 m
0 .
12
6
21.( )f (x)( 0, ) ,
f (x) 1 ax (a 1) ( ax 1)( x 1)
1
x x
0 a 1 1 1 f (x)
(0,1] , f (x)f (1) a
1.
, 2
a
a
1 ,
f (x) (0, 1
)
, (1
，1)
a
a
f (x)
f ( 1
)
ln a 1 1 .
a
2a
a
a 1f ( x)
1
2
a
1f (x)
ln a
1 1
. 4
2a
( ) g ( x)
f ( x)
x ln x
a
x 2
ax g( x)(0,
) g ( x)
1 ax a
2
x
ax 2 ax 1
x
.
g (x)x 1, x 2 ( x 1
x 2 )
2
2
4
ax ax 1 0 a a
x 1
x 2 1, x 1x 2 1
a
4 6
a
x 1
x 2x 1 2
x 1 x 2
1
x 1
1
a
a
g( x ) g( x )
ln x
a x 2 ax ln x a x 2
ax
ln x
ln( ax ) a
ax
1
2
1
2 1 1 2
2
2
2
1
1
2
1
h(t)
ln t ln( at ) a at ,t
x 1 (0, 1
) , 8
2
a
h (t)
2 a
2
2
1
2
a
t t
,
a
a
a
a
h(t) (0, 2
), (
2 , 1 ),
a
a a
h(t)h( 2
) 2ln 2
ln a
a 2 a ln a
a
2
2
g(x 1)
g( x 2 )
a ln a .
12
2
22. ( )
x 7 t y 5 0l
x y
5
y
2 t x
t
4 2 sin(
) 4 sin
4 cos
2
4
sin 4 cos
4
x 2 y 2 4x
4yC
( x 2) 2 ( y 2)2 8
. 5
()()C(2,2)2
2l
P(3,2) P
x
7
2 t
2
t 2
9 2t
33 0 .
y 2
2 t
2
A B tt ,t
2
t 1 t 2
9 2, t 1t 2
33 7
1
| AB | | t 2
t 1 |
(t 1 t 2 ) 2 4t 1t 2
30
d
| 2 2 5 | 2
2
2
ABQ S ABQ
1 30 ( 2
2
2)
5 15
.10
2
2
2
23. I a
3f
x
2 f
x
| x 1| | 2x 3 | 2,
x
1
1 x
3
x 3
2
2
x 2x 3
1
2
x 1 2x 3 2
x 1
2x 3 2
x
0 x x
4
{ x | x 0 或 x 4} . 5
x(,1)f x 01 x2x a0.
1 x| 2x a |. 1 x2x a 2x a x1.
a1
a1
x x
3
x(,1)a3x1a x1
a a 2 .
a 2 .10。