第十六章量子力学基础

第⼗六章量⼦⼒学基础
第⼗六章量⼦⼒学基础
⼀、基本要求
1、了解波函数的概念及其统计意义，理解微观粒⼦的波动性
2、了解⼀维定态的薛定谔⽅程及其波函数解⼀般必须满⾜的条件，以及量⼦⼒学中⽤薛定谔⽅程处理⼀维⽆限深势阱、⼀维谐振⼦等微观物理问题的⽅法。

3、了解量⼦⼒学对氢原⼦问题处理的基本⽅法，理解描述氢原⼦量⼦态的三个量⼦数（m l n ,,）的函义和能级公式。

了解核外电⼦概率分布的函数形式和意义。

⼆、基本内容
本章重点：建⽴量⼦物理的基本概念，了解微观粒⼦运动的基本特征、波函数的概念及其统计解释、⼀维定态的薛定谔⽅程及其应⽤。

本章难点：波函数及其核外电⼦概率分布的意义。

（⼀）波函数及其统计意义：
微观粒⼦的运动状态称为量⼦态，是⽤波函数),(t r
来描述的，这个波函数所反映的微观粒⼦波动性，就是德布罗意波。

（量⼦⼒学的基本假设之⼀）
玻恩指出：德布罗意波或波函数),(t r
不代表实际物理量的波动，⽽是描述粒⼦在空间的概率分布的概率波。

量⼦⼒学中描述微观粒⼦的波函数本⾝是没有直接物理意义的, 具有直接物理意义的是波函数的模的平⽅，它代表了粒⼦出现的概率。

微观粒⼦的概率波的波函数是：),,,(),(t z y x t r
概率密度：波函数模的平⽅2|),(|t r 代表时刻t ，在r 处附近空间单位体积中粒⼦出现的⼏率。

因此2|),(|t r
也被称为概率密度。

即
某⼀时刻出现在某点附近在体积元dV 中的粒⼦的概率为：
或
d t r 2|),(| 波函数必须满⾜标准化条件：单值、连续、有限。

波函数必须满⾜归⼀化条件：
z
y x t z y x d d d ),,,(2
)
,,,(),,,(),,,(t z y x t z y x t z y x 1d )()(
V
t r t r ,,
（⼆）薛定谔⽅程： 1、含时薛定谔⽅程：
量⼦⼒学中微观粒⼦的状态⽤波函数来描述，决定粒⼦状态变化的⽅程是薛定谔⽅程。

⼀般形式的薛定谔⽅程，也称含时薛定谔⽅程，即：
式中是粒⼦的质量，)(r U
时，为定态薛定谔⽅程：
其特解为：
概率密度分布为：（三）⼀维势阱和势垒问题： 1、⼀维⽆限深⽅势阱：
对于⼀势阱有维⽆限深⽅ U(x)
定态薛定谔⽅程为：令
x
薛定谔⽅程的解为：
其中 ,,A k 都是常量，（ ,A 为积分常量），其中 ,A 分别⽤归⼀化条件和边界条件确定。

根据0)0( ，可以确定 = 0或, m ,3,2,1 m 于是上式改写为：
)
()](2[)(i 22t r r U t t r ,,
)()()](2[22r E r r U
h iEt e
r t r /)(),( )
()()()()(r r t r t r t r
,,,
)
,0()
0(0)(a x x a x x U 0
2d d 2
2
2
E x
)
sin()( kx A x
E k 2
∞
∞
a
根据0)( a ，可以确定 n ka ， ,3,2,1 n 根据归⼀化条件，确定 a
2 ，得能级公式为：
由此式知：⼀维⽆限深⽅势阱的能谱是分⽴谱, 这个分⽴的能谱就是量⼦化了的能级。

当1 n 时，粒⼦处于最低能量状态，称为基态，其基态能量（零点能）为：
激发态能量：
概率密度：
能量：量⼦数： ,3,2,1 n
势阱中相邻能级之差：
能级相对间隔：
kx
A x sin )( ,3,2,1,222
2
2222n a
n k E n 022
221 a
E ),3,2(,22
222
n a
n E n 0π8d d 2222 h
mE
x
)(x )
,0(,
0a x x )0(,π
sin 2a x x a n a x
a
n a x πsin 2)(22
22
18)
12(ma h n E E E n n n
ma h n ma h n E E n n 28822 2
2
2
2
2
2
222a n E n
当 n
n
E E 能量视为连续变化。

与能量本征值n E 相对应的本征函数)(x n 为：
归⼀化波函数为：
,3,2,1 n 2、势垒穿透和隧道效应：有限⾼的势垒：
在P 区和S 的形式区薛定谔⽅程为：
),0(a x x
在Q 区粒⼦应满⾜下⾯的⽅程式：
)0(a x
⽤分离变量法求解，得： (P 区)
(Q 区)
（S 区）
在
P 区，势垒反射系数：在Q 区，势垒透射系数：
粒⼦能够穿透⽐其动能⾼的势垒的现象，称为隧道效应。

经典理论：（1）E >0U 的粒⼦，越过势垒。

（2）E <0U 的粒⼦，不能越过势垒。

量⼦理论：（1）E >0U 的粒⼦，也存在被弹回的概率—— 反射波。

（2）E <0U 的粒⼦，也可能越过势垒到达S 区—— 隧道效应。

（四）⼀维谐振⼦问题
1、⼀维谐振⼦的定态薛定谔⽅程：为系统的势能：
,
sin
2)(a
x n a
x n
)
Q ()
S ()P (0,)(,0,0)()(0区区区a x U x U a x x x U x U U a
o E P
S
U
2 x E x x
0)()(2d )(d 022
2 x U E x x
kx
kx
B A i 1i 11e e x
x B A e e 222kx
A i 33e R 21
1
A
B 2
1
3
A A T 2222
1
21)(x kx x U
简谐振⼦的能量为：
将势能形式代⼊定态薛定谔⽅程，得：
2、⼀维谐振⼦的能量本征值：
为使波函数量满⾜单值、连续、有限的条件，能量本征值只能取：
,3,2,1 n
基态能量（零点能）为：
（五）氢原⼦
1、⾓动量的本征函数和相应的量⼦数：
动量的本征值为：
L 称为轨道量⼦数或⾓量⼦数，表⽰电⼦相对于原⼦核的⾓动量的⼤⼩。

核外电⼦相对于核的⾓动量，
称为轨道⾓动量。

电⼦轨道⾓动量的z 分量的⼤⼩：
m 0, 1, 2, …, l m 称为磁量⼦数。

轨道⾓动量在空间不能任意取向，⽽只能取某些特定⽅向的性质，称为⾓动量的空间量⼦化。

2、氢原⼦的能级：氢原⼦的能级公式：
从能级公式可以看到，E = 0，这就是电离。

当n = 1，即氢原⼦处于基态时，能量为：
3、能量的本征函数和能级的简并度：
A kA E 222
22
1d d 22 ,
)2
1
( n E E n
2
10
E
)1( l l L m L z ,3,2,1,)4(222
2024
e 224e n n
e m n e m E s n eV 597.13)
π4(22
024
e 1 e m E
对于任何⼀个主量⼦数n ，共有：
个量⼦态都对应于相同的能量本征值n E ，这种情形就称为能级n E 是简并的，或者更具体地说，定态能级n E 的简并度是2 n 。

三、类氢离⼦能级公式：
（六）氢原⼦中电⼦的概率分布 1、电⼦概率的径向分布：
在半径为r 到r +d r 的球壳内发现电⼦的概率为：
式中2
2
)(r r R w nl nl 是电⼦出现在相应球壳内的概率密度，称为电⼦概率的径向分布函数。

可以证明，对于n -l -1 = 0的所有量⼦态的最概然半径可以表⽰为：
2、电⼦概率的⾓度分布函数：
⽴体⾓d = sin d d 内发现电⼦的概率为：
式中lm w ( , )是电⼦出现在相应⽴体⾓内的概率密度，称为电⼦概率的⾓度分布函数。

电⼦概率的⾓度分布函数lm w ( , )与⽆关,所以⾓度分布函数lm w ( , )是以z 轴为旋转对称轴的。

三、问题讨论
1、数归⼀化波函是什么意思？
2
1
)12(n
2e n n e Z m E n
π
π20
2
22d d sin ),(Y d )(d )(
lm nl nl r r r R r r w r
r r R nl d )(22
,2,1,2n a n r n
22
d d sin d ),(Y )(d ),(
r r r R w lm nl lm
d ),(Y =d d sin ),(Y 2
2 lm lm
答：波函数绝对值的平⽅2
)(r
是在r
处的概率密度，即在此处附近空间单位体积中粒⼦发现的概率的⼤⼩。

数归⼀化波函是指概率密度在全空间中的积分为1，即：
上式在物理上，是指在整个空间发现粒⼦的概率为1。

因为只要在空间有⼀个粒⼦，遍及整个空间总能找到这个粒⼦。

2、势阱中的粒⼦（包括谐振⼦）处于激发态时的能量都是完全确定的——没有不确定能量。

这意味着粒⼦处于这些激发态的寿命将为多长？它们⾃⼰能从⼀个态跃迁到另⼀个态吗？
答：粒⼦所处的状态的是完全确定的，就是说在这样的确态上能量E 的不确定度为零，即：0 E ，
能量E 的不确定度和寿命的不确定度之间的不确定度关系为： 2
E 现已知0 E
，就要求，也就是说，粒⼦处于这些激发态的寿命是⽆限长，如果没有外界
扰乱动，它们⾃⼰不能能从⼀个态跃迁到另⼀个态。

四、典型例题
1、粒⼦在⼀维⽆限深⽅势阱中运动（势阱宽为a ），若其状态对应于波函数
)0(a x ，求粒⼦出现的概率最⼤有哪些位置？
解：出现粒⼦的概率密度为： )0(a x 对上海式求极值：06sin 6)3sin 2()(222
a x a
a x a dx d x dx d
则 06sin a x ， k a x 6， b
其中：0 k 时， ,0 x 6 k 时，,a x 由边界条件知：0)( x
7 k 时，,a x 已出势阱。

故：b
a x
b a x b a x
5,3,
处，粒⼦出现的概率最⼤。

2、⼀维⽆限深⽅势阱中粒⼦的定态波函数试求：粒⼦在此0 x 和3 a
x 之间被找到的概率，当：
（1）粒⼦处于基态时；（2）粒⼦处于n=2的状态时。

1d )()(
V
t r t r ,,
,3sin 2)(a x
a x n
x
a
a x π
3sin 2)(22
,sin 2)(a
x n a x n
解：（1）当n ＝1时，概率为：
（2）当n=2时，概率为：
3、⼀个细胞的线度为m 5
10
，其中⼀粒⼦质量为g 1410 ，按⼀维⽆限深⽅势阱计算，这个粒⼦的
1001 n 和1011 n 的能级和它们的差各是多少？
解：J n a E 37210
172
342212221104.510010
102)1005.1(2
J n a E 37
210
172342222222105.510110
12100.110)4.55.5(
五、⾃我检测
1、⼀维⽆限深⽅势阱宽为a ，粒⼦的波函数为 )0(a x ，则粒⼦出现的概率最⼤位置是。

2、若氢原⼦处在3 l
的状态上，则有此时氢原⼦的能量是，⾓动量在外磁场⽅向上的分量的可能值是。

3、当主量⼦数3 n
时，⾓量⼦数l 可能有的值是；当⾓量⼦数2 l 时，磁量⼦
数m 可能有的值是。

4、描述粒⼦运动的波函数),(t r ，则
2
|),(|t r 表⽰； ),(t r
需要满⾜的条件为：
；其归⼀化条件为：。

5、已知粒⼦在⼀维矩形⽅势阱中运动，其波函数为 )(a x a ，那么粒⼦在6
5a
x
出现的概率密度为：（） 19
.043
31sin 2)(3022
3
1
dx a x a dx x a a
40
.083
31sin 2)(3022
3
1
dx a x a dx x a a
,
sin 2)(a x
n a x n
,
3cos
)(a x
a x n
A 、
a 21
B 、a 21
C 、a 21
D 、a
1 6、在⼀维矩形⽅势阱中，求粒⼦处在第⼀激发态（n ＝2）时的能量以及在势阱中何处出现的的概率最⼤？
7、氢原⼦中的电⼦处于4 n 、3 l
的状态，问：
（1）该电⼦⾓动量L 的值为多少？（2）这⾓动量L 在z 轴的分量为多少？ 8、设有⼀电⼦在宽度为nm a
20.0 的⼀维⽆限深⽅势阱中，求：
（1）电⼦在最低能量级的能量；
（2）当电⼦处于第⼀激发态（n ＝2）时，在势阱中何处出现的的概率最⼩？六、⾃我评价参考答案及评分标准：评分标准：1～5题每题8分，6～8题每题20分，满分100分。

参考答案：
1、
,41a ,4
3
a 2、,12 3,2,,0 3、0,1,2, 2,1,0 4、t 时刻粒⼦在),,,(z y x r 处出现的概率密度；单值、连续、有限； 5、A 6、2
2
222a
E ；在4a x ,a x 43 出现的概率最⼤。

7、（1） 12 L （2） 3,2,,0 z L 8、（1）eV J E 31.910
49.118
1
（2）nm a
x 10.02
2
, nm a x 20.03 处概率最⼩,其值为零。

1d ),(2
t r。