【学海导航】2014版高考数学一轮总复习 第6讲 函数的性质(二)周期性、对称性同步测控 文

第6讲 函数的性质(二)——周期性、对称性
1.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
2.满足f (x ＋π)＝－f (x )，f (－x )＝f (x )的函数可能是( )
A ．f (x )＝cos2x
B ．f (x )＝sin x
C ．f (x )＝sin x 2
D ．f (x )＝cos x 3.(2012·某某模拟)已知偶函数f (x )对任意实数x 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1]上单调递增，则( ) A ．f (75)<f (72)<f (73) B ．f (72)<f (73)<f (75
) C ．f (73)<f (72)<f (75) D ．f (75)<f (73)<f (72
) 4.(2012·某某卷)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，
f (x )＝x ＋1，则f (32
)＝________． 5.(2012·某某某某)已知函数f (x )的图象的两条对称轴为x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1，0]上f (x )单调递增，则f (2)______f (2)．(填“>，<”)
6.若f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x －2)＝－f (x )，给出下列4个结论： ①f (2)＝0；
②f (x )是以4为周期的周期函数；
③f (x )的图象关于直线x ＝0对称；
④f (x ＋2)＝f (－x )．
其中所有正确的结论的序号是__________．
7.函数y ＝f (x )是以4为周期的周期函数，且当x ∈[－2，2)时，f (x )＝x
2＋1，则当x ∈[4n ，4n ＋4)(n ∈Z )时，试求出函数f (x )的解析式．
1.已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且当x ≥2时，f (x )＝3x
－1，则当x <2时，f (x )的解析式为__________________．
2.(2012·某某模拟)已知f (x )的定义域为R ，且对任意x ∈Z ，都有f (x )＝f (x －1)＋f (x ＋1)，若f (－1)＝6，f (1)＝7，则f (0)＝______；f (2012)＝______．
3.已知函数f (x )＝lg(x ＋1)．
(1)若0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值X 围；
(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1，2])．
第6讲
巩固练习
1．B 解析：因为f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝f (x )，
所以f (6)＝f (2)＝－f (－2)＝f (0)＝0.
2．D
3．D 解析：当x ∈[2,3]时，x －4∈[－2，－1]，
所以f (x －4)＝(x －4)2＝f (x )，选D.
4．C 解析：由f (x ＋1)＝－f (x )，则周期为2，且为偶函数，
则f (75)＝f (－35)＝f (35)，f (72)＝f (－12)＝f (12)，f (73)＝f (13
)， 又在[0,1]上递增，故f (73)＝f (13)<f (72)＝f (12)<f (75)＝f (35
)，故选C. 5．< 解析：x ＝0为对称轴，则在[0,1]上单调递减；又x ＝1为对称轴，则f (x )在[1,2]上单调递增，则f (2)<f (2)．
6．①②④ 解析：因为f (x －2)＝－f (x )且f (x )是奇函数， 所以f (－2)＝－f (0)＝0，f (2)＝－f (－2)＝0. 又由f (x －2)＝－f (x )得，
f (x ＋4)＝－f [(x ＋4)－2]＝－f (x ＋2)＝f (x )． 所以T ＝4是周期．
所以y ＝f (x )的图象不关于x ＝0对称，③错． 因为f (x )是奇函数．
所以f (x ＋2)＝－f (－x －2)＝－[－f (－x )]＝f (－x )．
7．解析：当x ∈[4n,4n ＋2)时，x －4n ∈[0,2)，
所以f (x )＝f (x －4n )＝x －4n 2＋1＝x 2
－2n ＋1； 当x ∈[4n ＋2,4n ＋4)时，x －4(n ＋1)∈[－2,0)， 所以f (x )＝f [x －4(n ＋1)]＝
x －4n ＋12＋1 ＝x
2－2n －1. 综合得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2n ＋1
x ∈[4n ，4n ＋2x 2－2n －1
x ∈[4n ＋2，4n ＋4. 提升能力 1．f (x )＝34－x －1
解析：由y ＝f (x )关于x ＝2对称，则f (x )＝f (4－x )恒成立； 当x <2时，则4－x >2，得到f (4－x )＝3
4－x －1，所以f (x )＝34－x －1. 2．13 －6
解析：由题意f (x )＝f (x －1)＋f (x ＋1)，① 用x ＋1代x 得f (x ＋1)＝f (x )＋f (x ＋2)，② ①＋②得f (x ＋2)＋f (x －1)＝0，
再用x ＋3代x 得f (x ＋5)＋f (x ＋2)＝0，
即f (x ＋5)＝f (x －1)的周期T ＝6，
所以f (2012)＝f (335×6＋2)＝f (2)，
令x ＝0，
则f (0)＝f (－1)＋f (1)＝13，
令x ＝1，
则f (1)＝f (0)＋f (2)⇒f (2)＝－6，故f (2012)＝－6.
3．解析：已知(x 1－2)(x 2－2)<0，不妨设x 1<2，x 2>2， 则由f (－x )＝－f (x ＋4)⇒f (x 1)＝－f (4－x 1)． 由x 1＋x 2<4⇒4－x 1>x 2，且4－x 1>2.
当x >2时，f (x )单调递增，所以f (4－x 1)>f (x 2)． 所以f (x 1)＋f (x 2)＝－f (4－x 1)＋f (x 2)
<－f (x 2)＋f (x 2)＝0.。