过程装备力学基础(弹性力学)

§第1一.1节弹弹性性力力学学的的内内容容和和任基务本概念
第一章 绪论
二 弹性力学中基本物理量
基本物理量有外力，应力、应变和位移
外力包括体积力和面积力，简称体力和面力
1. 体力(Body force)
分布在物体体积内的力，例如重力，惯性力和电磁力等。 物体各点的体力一般是不相同的，如高速旋转物体所受
变和应力等均为空间坐标的连续函数。 2.变形后仍然保持连续性。
2. 均匀性假设
描述：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因
此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标 位置的变化而改变。
结果：物体的弹性性质处处都是相同的。
说明：1.工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几
何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上 讲，也可以视为均匀材料。 2.对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均 匀材料。
三、弹性力学基本方程 1.平衡微分方程
在物体内任意一点P，割取一个微小的正六面体，如图l-2所 示。它的六面体垂直于坐标轴．沿x,y,z方向的长度分别为dx， dy和dz。
图1-2 单元体受力分析
在垂直x轴的两个面上应力分别为
在垂直y轴的两个面上应力分别为 在垂直z轴的两个面上应力分别为
正六面体上的外力为体力，沿x，y，z轴的分量为X，Y，Z。 体力X，Y，Z也可以认为是均匀分布，其合力作用在体积中心。
弹性力学中的基本假设
弹性力学中的基本假设：
1. 连续性假设 2. 完全弹性假设 3. 均匀性假设 4. 各向同性假设 5. 小变形假设
第一章 绪论
1. 连续性假设
描述：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介
质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。
结果：1.根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应
弹性力学中的基本物理量
第一章 绪论
弹性力学的基本问题
弹性体内的任意一点的体力分量、 面力分量、应力分 量、应变分量和位移分量，都是随之该点的位置而变化的， 故这些量一般都是位置坐标的连续函数。
在弹性力学的问题中，通常是已知物体或结构的 形状和大小(即已知物体的边界)，已知物体的弹性常 数，物体所受的体力，物体边界上的约束条件或面力， 来求解物体内部的应力分量、应变分量和位移分量等 基本物理量。必须综合应用平衡(应力、体力、面力之 间的关系)、几何(应变、位移、边界位移之间的关系) 和物理(应力、应变之间的关系)三个方面的方程才能 得到问题的解答。
§第1一.1节弹弹性性力力学学的的内内容容和和任基务本概念
弹性力学在工程中的应用
建筑工程
§第1一.1节弹弹性性力力学学的的内内容容和和任基务本概念
建筑工程
§第1一.1节弹弹性性力力学学的的内内容容和和任基务本概念
航空航天工程
§第1一.1节弹弹性性力力学学的的内内容容和和任基务本概念
船舶机械工程
切应力：
yz y
zx
xy xz
zy x xz
注:1.没有考虑由于位置不同引起 的应力变化。
2.没有考虑体力的影响
yx
x
P
z
zy
xy zx
yz
yx
y
B
A oy
z
x 图1-1 弹性体内某一点的应力
弹性力学中的基本物理量
应力分量的正负号规定： 如果某个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，则这个截面 上的应力分量以沿着坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向时为 负。反之，某个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，则这 个截面上的应力分量以沿着坐标轴负方向时为正，沿坐标轴正 方向时为负。 切应力互等(力矩平衡)
本方程。这15个基本方程式中包含15个未知数：6个应力分量
；6个应变分量
；3个位移分量
。基本方程数目和未知函数
的数目相等，在适当的边界条件下是能得到解答的。
第二节 弹性力学的平面问题
一.平面应力与平面应变
平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题 当弹性体的一个方向尺寸很小，例如薄板，在板的边缘有平 行于板面并沿板厚均匀分布的力作用，对于这类问题，由于两个 板面上无外载作用，因而两个板面上的应力分量为零。
第一章 弹性力学基本方法 和平面问题解答
第一节 弹性力学的内容和基本概念 第二节 弹性力学的平面问题 第三节 弹性力学平面问题的极坐标解答
第一节 弹性力学的内容和基本概念
一.基本内容
又称作弹性理论，是固体力学学科的一个分支;
研究物体在弹性范围内由于外力载荷或者温度改变，在物体 内部所产生的位移、变形和应力分布等;
弹性力学中的基本物理量
变形(Deformation)和应变(Strain) 长度的改变
变形：物体在外力作用下形状的改变
角度的改变
线应变或正应变：过该点的线段每单位长度的伸缩，例如：
x , y , z
切应变：过该点的两条线段之间
zC
的直角的改变，例如：
xy , yz , zx
注: 1：线应变(或正应变)以伸长为正，
xy yx , xz zx , yz zy
一点的应力状态
物体内任意一点,只有三个相互垂直面上的6个应力分量是相 互独立的，若某点的这6个应力分量是已知的,则经过该点的 任意一个斜面上的应力分量均可以用这6个应力分量表示。
故P点的应力状态可以表示为：
x , y , z , xy yx , xz zx , yz zy
前的尺寸来代替变形以后的尺寸，而不会引起显著 的误差。
说明：可以忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使
基本方程成为线性的偏微分方程组。
补充说明：
弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀 性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都 是关于材料变形的宏观假设。 弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用 基本假设。 这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。
在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的 关系式，即物理方程，可以用广义虎克定律给出
(1-4)
E是弹性模量，G是切变模量． 是泊松比．这三个弹性常 数之间有如下关系
(1-5)
以上导出的3个平衡微分方程式(1-1)．6个几何方程式
(1-3)和6个物理方程式(1-4)，是弹性力学空间问题的15个基
故P点的应变状态可以表示为：
x , y , z , xy , yz , zx
弹性力学中的基本物理量
位移(Displacement)
位移即为位置的移动，通常包括刚性位移和由于自 身变形产生的位移； 物体内任意一点的位移，通常用它在三个坐标轴 x,y,z上的投影u，v，w来表示，并称之为该点的位移 分量； 位移分量以沿坐标轴正向时为正，沿坐标轴负方向 时为负。 位移及其分量的量纲是[长度]
P
缩短为负。
A
2: 切应变以直角变小为正，变
o
大为负。
x
B y
弹性力学中的基本物理量
问题：物体内的同一点，沿着不同的方向，应变是不同的，
则如何来描述一点的应变状态？
可以证明，对于物体内任意一点，如果已知三个相 互垂直方向的正应变和与之对应的切应变，则可以 求得经过该点的任一线段的正应变，也可以求得经 过该点的任意两个线段之间的角度的改变。
为解决工程结构的强度、刚度、稳定性等问题提供相应的理 论依据和分析方法。
第一节 弹性力学的内容和基本概念
弹性力学是一门基础理论学科，它的研究方法被广泛的应用
于其他学科和领域。弹性力学不仅是诸如有限单元法、复合材 料力学、断裂力学、塑性力学和结构动力分析等课程的基础， 也是很多大型结构分析软件(例如Ansys等)的核心框架。
第一节 弹性力学的内容和基本概念
弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课 程，若将理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。 原因主要是它的基本方程－偏微分方程边值问题数学 上求解的困难。由于经典的解析方法很难用于工程构 件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的特色。 近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计 算机的广泛应用而发展的有限元素方法，为弹性力学 的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。
§第1一.1节弹弹性性力力学学的的内内容容和和任基务本概念
基本任务 结构或构件
分析
在弹性阶段的应力和位移
校核
强度、刚度和稳定性
分析和改进
计算方法
§第1一.1节弹弹性性力力学学的的内内容容和和任基务本概念
弹性力学课程的主要学习目的是使学生掌握分 析弹性体应力和变形的基本方法，为今后进一步的 研究实际工程构件和结构的强度、刚度、可靠性、 断裂和疲劳等问题建立必要的理论基础和分析方法。
z zs 2 0 zx zs 2 0
zy zs 2 0
又因为板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿着板的厚度又是连续分
布的，所以在整个板内的所有点都有 z 0 ， zx 0
个应力分量只剩下平行于xOy面的三个应力分量，即
，
沿x轴的力的平衡方程
两边同除以dxdydz后可得
同理由
可得
同理由
可得
(1-1)
对于这一微正六面体的力矩平衡条件同样可以导出 切应力互等定律
(1-2)
2.几何方程
当物体变形后的各点位移分量确定后，各微元体的应变分量 也相应地确定了。所以位移分量与应变分量之间有着密切的关系。
(1-3)
3.物理方程
弹性力学也是一门基础技术学科，是近代工程技术的必要基
础之一。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土 建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着弹性力学的基 本公式和结论。
第一节 弹性力学的内容和基本概念
与材料力学、结构力学的联系和区别
研究对象 研究方法 结果
材料力学 结构力学
弹性力学
杆状结构 杆、梁、轴等
杆件系统
杆件系统、板、壳以 及实体结构(挡土墙、
桁架、钢架等 堤坝、地基等)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.从静力学、几何学、物理学三方 面进行分析。
2.引入对应力或应变的分布的假定
简化了繁琐的数学推演 但是结果是近似的
1.静力学、几何学、 物理学
2.可以不引入类似 的假定
1.所得结果更精确 2.研究对象更广泛. 2.可以用来校核材料 力学或结构力学的结 果的可靠性和适应性。
向应力，即正应力和切应力
结论：物体内的同一点，不同截面上的应力是不同的。 问题：如何来描述一点的应力状态(各个截面上的应力
大小和方向)？
弹性力学中的基本物理量
过P点作一个微小的平行六面体，其棱边平行于坐标轴，
各个面上的应力均可沿坐标轴进行分解。
应力分量的表示方法：
C
z
正应力： x , y , z
x
zy
,
0 。六
y ， xy
而且它们只是坐标x，y的函数，与z无关。这类问题称作平面应力
过程装备力学基础(弹性力学)
教材及参考书目
教 材:
过程装备力学基础(第二版)，陈旭主编，2006, 化学工业出版社
参考书目:
高等弹性力学，王敏中等，2002，北京大学出版社 弹性力学，徐秉业等 ，2007，清华大学出版社
化工机械力学基础， 黄载生，1990，化学工业出版社 化工容器设计， 王志文主编. 1990，化学工业出版社 化工设备设计， 聂德清主编. 1991，化学工业出版社 过程设备设计， 郑津洋等主编. 2001，化学工业出版社
3. 各向同性假设
描述：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质。 结果：物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
4. 完全弹性假设
描述：假定物体是完全弹性的。完全弹性指的是物体能完
全恢复由于外力所引起的变形而没有任何残余变形。
结果：物体在任一瞬时的形变完全取决于它在这一瞬时所
受的外力，而与它过去的受力情况无关。
说明：1.完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究
限于线性的应力与应变关系。 2.研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化 而改变。
5. 小变形假设
说明：假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响
下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶 小量，且应变和转角都远小于1。
结果：在处理弹性体的平衡方程等问题时，可以用变形以
的惯性力.
2. 面力(Surface force)
分布在物体表面上的力，例如流体压力，表面接触力等。 分布在物体表面上的力一般是不均匀的。
弹性力学中的基本物理量
物体受外力作用或其温度发生改变时，其内部会产生内力。 内力在各点的集度就是各点的应力 应力沿着作用截面的法向和切向可以分解为法向应力和切