(新课标)高考数学二轮复习 专题一 三角函数与解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形学案 理 新人

第2讲 三角恒等变换与解三角形
[做真题]
题型一 三角恒等变换
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A ．1
5 B ．
55
C ．
33
D ．255
解析：选B ．由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2 sin 2
α＋1，即2sin αcos
α＝1－sin 2α.因为α∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π2
，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1
－sin 2
α，解得sin α＝
5
5
，故选B ． 2．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝1
3，则cos 2α＝( )
A ．8
9 B ．79 C ．－79
D ．－89
解析：选B ．cos 2α＝1－2sin 2
α
＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132
＝7
9
.
3．(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3
5
，则sin 2α＝( )
A ．7
25 B ．15 C ．－15
D ．－725
解析：选D ．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－7
25
，故选D ．
题型二 三角形中的边角计算问题
1．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝5
5
，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )
A ．4 2
B ．30
C ．29
D ．2 5
解析：选A ．因为cos C
2＝55，所以cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12
－2×5×1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35＝32，所以AB ＝
4 2.故选A ．
2．(2016·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝4
5，
cos C ＝5
13
，a ＝1，则b ＝________．
解析：因为cos A ＝45，cos C ＝5
13，
所以sin A ＝35，sin C ＝12
13
，
sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝63
65
，
由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝21
13
.
答案：21
13
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin
C )2＝sin 2A －sin B sin C ．
(1)求A ；
(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C ．
解：(1)由已知得sin 2
B ＋sin 2
C －sin 2
A ＝sin
B sin
C ，故由正弦定理得b 2
＋c 2
－a 2
＝bc .
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
.
因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.
(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin (120°－C )＝2sin C ，即
6
2
＋
32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22
， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)
＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝
6＋2
4
. 题型三 与三角形面积有关的问题
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为
a 2＋
b 2－
c 2
4
，则C ＝( )
A ．π2
B ．π3
C ．π4
D ．π6
解析：选C ．根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2
＋b 2
－c 2
4，所以sin C ＝
a 2
＋b 2
－c
2
2ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π
4
.
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，
B ＝π3
，则△ABC 的面积为________．
解析：法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得6
2
＝(2c )2＋c 2
－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝
12×43×23×sin π
3
＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )
2
＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2
，所以A ＝π2，所以△ABC
的面积S ＝1
2
×23×6＝6 3.
答案：6 3
3．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin
A ＋C
2
＝
b sin A .
(1)求B ；
(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得 sin A sin
A ＋C
2
＝sin B sin A .
因为sin A ≠0，所以sin
A ＋C
2
＝sin B ．
由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin
A ＋C
2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B
2
. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝1
2
，因此B ＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝
3
4
a . 由正弦定理得a ＝
c sin A sin C ＝sin(120°－C )sin C ＝32tan C ＋1
2
. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，
所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <3
2.
因此，△ABC 面积的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫3
8
，32. [明考情]
1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．
2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上．
3．若以解答题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．
三角恒等变换与求值
[考法全练]
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋ 3 C ．2－ 3
D ．2＋ 3
解析：选D ．由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝
tan (30°＋45°)＝33＋11－
33
＝2＋3，故选D ．
2．(一题多解)(2019·福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4
5
，则sin 2α＝( )
A ．1
5 B ．－15
C ．725
D ．－725
解析：选C ．法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4
5，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2
－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos
2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫452
－1＝725.故选C ．
法二：令
π4－α＝θ，则α＝π4－θ，cos θ＝45，所以sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－θ＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝cos 2θ＝2cos 2
θ－1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫452
－1＝725.故选C ．
法三：因为cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π4－α＝45
，所以22(cos
α＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，得sin 2α＝7
25
.故选C ．
3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝________． 解析：因为α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2， 所以sin α＝255，cos α＝5
5
，
所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4
＝
22×⎝ ⎛⎭
⎪⎫255＋55＝31010. 答案：31010
4．(2019·江西七校第一次联考)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝
3
3
，则cos(2α＋β)＝________． 解析：因为0<α<π2，所以π4<α＋π4<3π
4，
又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝429， cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－79. 因为－π
2
<β<0，
所以0<β2＋π4<π
4
，
又sin ⎝
⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫β2＋π4＝63
，
sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝
223
， cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝13
. 所以cos(2α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝
－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＋sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4·
sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝23
27
.
答案：2327
三角恒等变换要遵循的“三看”原则
一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二看“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向．
三角形的基本量的计算
[典型例题]
命题角度一 求解三角形中的角
(1)(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已
知b ＝a (cos C ＋
33sin C )，a ＝2，c ＝26
3
，则角C ＝( ) A ．3π
4
B ．π
3
C ．π6
D ．π4
(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＋b sin C ＝a . ①求角B 的大小；
②若BC 边上的高等于1
4a ，求cos A 的值．
【解】 (1)选D ．由b ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C ＋
33sin C ，得sin B ＝sin A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos C ＋33sin C . 因为sin B ＝sin []π－(A ＋C )＝sin(A ＋C )， 所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋
33sin A sin C (sin C ≠0)，即cos A ＝3
3
sin A ，所以tan A ＝ 3.因为0<A <π，所以A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝2
2.
因为0<C <2π3，所以C ＝π
4
.故选D ．
(2)①由b cos C ＋b sin C ＝a ， 得sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin A . 因为A ＋B ＋C ＝π，
所以sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin(B ＋C )，
即sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 因为sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．
因为B ∈(0，π)，所以B ＝
π4
. ②设BC 边上的高为AD ，则AD ＝1
4
a .
因为B ＝π4，所以BD ＝AD ＝14a ，所以CD ＝3
4a ，
所以AC ＝AD 2
＋DC 2
＝
104a ，AB ＝2
4
a . 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝－5
5
.
利用正、余弦定理求三角形角的方法
(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角． (2)已知三边，直接由余弦定理求角．
(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第三角．
[技能] 利用正、余弦定理求角时的两个失分点：(1)已知两边及其中一边的对角求其他角时，有一解、两解的情况，容易把握不准而出错；(2)在变形时，直接两边约去公因式，没有移项后提公因式，产生漏解．
命题角度二 求解三角形中的边与面积
如图所示，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且BD ＝1，E 为AC 的中点，AE ＝3
2
，
cos B ＝277，∠ADB ＝2π
3
.
(1)求AD 的长； (2)求△ADE 的面积．
【解】 (1)在△ABD 中，因为cos B ＝277，B ∈(0，π)，
所以sin B ＝1－cos 2
B ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2772
＝217，
所以sin ∠BAD ＝sin(B ＋∠ADB )＝
217×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋277
×32＝2114. 由正弦定理知AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，得AD ＝BD ·sin B
sin ∠BAD
＝
1×
21
7
21
14
＝2.
(2)由(1)知AD ＝2，依题意得AC ＝2AE ＝3，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋DC 2
－2AD ·DC cos ∠ADC ，即9＝4＋DC 2
－2×2×DC cos π3
，
所以DC 2
－2DC －5＝0，解得DC ＝1＋6(负值舍去)，
所以S △ACD ＝12AD ·DC sin ∠ADC ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋32
2，
从而S △ADE ＝12S △ACD ＝3＋32
4
.
利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，如该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解．
[技能] 三角形的面积主要是利用S ＝1
2
ab sin C 求解，有时可以直接利用余弦定理求出
ab 的整体值再求面积，而不必分别求出a ，b 的值．
[对点训练]
1．(一题多解)(2019·广州市综合检测一)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ．
(1)求sin C 的值；
(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)法一：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ，
所以由正弦定理得sin C cos B ＝(3sin A －sin B )cos C ， 即sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos C ， 所以sin(B ＋C )＝3sin A cos C ，
由于A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin (π－A )＝sin A ， 则sin A ＝3sin A cos C ．
因为0<A <π，所以sin A ≠0，cos C ＝1
3.
因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2
C ＝223.
法二：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ，
所以由余弦定理得c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(3a －b )×a 2＋b 2－c 2
2ab
，
化简得a 2＋b 2－c 2
＝23ab ，
所以cos C ＝a 2
＋b 2
－c 2
2ab ＝23ab
2ab ＝1
3
.
因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2
C ＝223.
(2)法一：由余弦定理c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ， 及c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2
－23ab ＝24，
即(a －b )2
＋43ab ＝24.
因为b －a ＝2，所以ab ＝15.
所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×22
3＝5 2.
法二：由余弦定理c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ， 及c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2
－23ab ＝24.
又b －a ＝2， 所以a ＝3，b ＝5.
所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×22
3
＝5 2.
2．(2019·郑州市第一次质量预测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
△ABC 的面积为S ，且满足sin B ＝b 2
4S
.
(1)求sin A sin C ；
(2)若4cos A cos C ＝3，b ＝15，求△ABC 的周长．
解：(1)由三角形的面积公式可得S ＝1
2
bc sin A ，
又sin B ＝b 24S
，所以2bc sin A sin B ＝b 2
，
即2c sin A sin B ＝b ，由正弦定理可得2sin C sin A sin B ＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以sin A sin C ＝1
2
.
(2)因为4cos A cos C ＝3，所以cos A cos C ＝3
4，
所以cos A cos C －sin A sin C ＝34－12＝1
4，
即cos(A ＋C )＝14，所以cos B ＝－1
4，
因为0<B <π，所以sin B ＝
15
4
， 因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1515
4＝4，
所以sin A sin C ＝ac 16＝1
2
，所以ac ＝8，
因为b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝(a ＋c )2
－2ac －2ac cos B ， 所以(a ＋c )2
＝15＋12＝27，所以a ＋c ＝3 3. 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝33＋15.
解三角形的综合问题
[典型例题]
命题角度一 以平面几何为载体的解三角形问题
(2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC 为锐角，AD
⊥BD ，AC 平分∠BAD ，BC ＝23，BD ＝3＋6，△BCD 的面积S ＝3(2＋3)
2
.
(1)求CD ； (2)求∠ABC .
【解】 (1)在△BCD 中，S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝3(2＋3)
2，
因为BC ＝23，BD ＝3＋6， 所以sin ∠CBD ＝1
2
.
因为∠ABC 为锐角，所以∠CBD ＝30°.
在△BCD 中，由余弦定理得CD 2
＝BC 2
＋BD 2
－2BC ·BD ·cos ∠CBD ＝(23)2
＋(3＋6)2
－2×23×(3＋6)×
3
2
＝9，所以CD ＝3. (2)在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD
sin ∠CBD ，
即
23sin ∠BDC ＝3sin 30°，解得sin ∠BDC ＝3
3
.
因为BC <BD ，所以∠BDC 为锐角，所以cos ∠BDC ＝
6
3
. 在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD
sin ∠CAD ，
即
AC
cos ∠BDC ＝3sin ∠CAD
.①
在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC
sin ∠BAC ，
即
AC
sin ∠ABC ＝23sin ∠BAC
.②
因为AC 平分∠BAD ，所以∠CAD ＝∠BAC . 由①②得sin ∠ABC cos ∠BDC ＝323，解得sin ∠ABC ＝2
2.
因为∠ABC 为锐角，所以∠ABC ＝45°.
解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于
π
3
)确定角
或边的范围．
命题角度二 三角形中的最值或范围问题
(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且
tan A
tan B
＝
2c －b
b
，则△ABC 面积的最大值为________．
(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2
)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为________．
【解析】 (1)因为tan A tan B ＝2c －b b ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin B
cos B
，由正弦定理得sin B sin
A cos
B ＝(2sin
C －sin B )sin B cos A ，又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ，所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，即sin C ＝
2sin C cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝3
2
.设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由
余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A
＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2
－3≥2bc －3(当且仅当b
＝c 时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤33
4.所以△ABC 面积的最大
值为33
4
.
(2)由sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C 及正弦定理，可知a cos B ＋b cos A ＝c ，则由(a 2
＋b 2
－c 2
)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，得a 2
＋b 2
－c 2
＝ab ，由余弦定理可得cos C ＝12，则C ＝π3，B ＝2π
3
－A ， 由正弦定理
a
sin A
＝
b
sin B
＝
c
sin C
，得
a
sin A
＝
b
sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3－A ＝
c
sin
π
3
，又a ＋b ＝2，所以
c sin A
32
＋
c sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫
2π3－A 32
＝2，即c ＝
3
sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝1sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6，因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所
以A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，则c ∈[1，2)．
【答案】 (1)33
4
(2)[1，2)
解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．
[对点训练]
1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形ABCD 中，E 为AB 边上一点，连接
CE ，DE .CB ＝2，BE ＝1，∠B ＝∠CED ＝
2π3
.
(1)求sin ∠AED 的值； (2)若AB ∥CD ，求CD 的长．
解：(1)在△BEC 中，由余弦定理得，CE ＝CB 2
＋BE 2
－2CB ·BE cos ∠B ＝7， 又
BE
sin ∠BCE ＝CE sin ∠B ，所以sin ∠BCE ＝2114
，
因为∠B ＝∠CED ，所以sin ∠AED ＝sin ∠BCE ＝21
14
. (2)因为AB ∥CD ，所以∠CDE ＝∠AED ， 所以sin ∠CDE ＝sin ∠AED ＝
2114
， 在△CDE 中，CD sin ∠CED ＝CE sin ∠CDE ，所以CD ＝CE sin ∠CED
sin ∠CDE
＝
7×32
21
14
＝7.
2．(2019·福建五校第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos
C ＝(2b －3c )cos A .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．
解：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A . 又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝3
2
，又A 为三角形的内角，所以A ＝π6
.
(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2
－2bc ×
3
2
≥2bc －3bc ，所以bc ≤4(2＋3)，所以S △ABC ＝1
2
bc sin A ≤2＋3，故△ABC 面积的最大值为2＋ 3.
[A 组 夯基保分专练]
一、选择题
1．(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2
x ＋1，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4
解析：选B ．f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2
x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin(2x ＋π
6
)＋2，则f (x )的最小正周期为2π
2
＝π，最大值为2＋2＝4.故选B ．
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则b
c
＝( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
解析：选A ．由题意及正弦定理得，b 2
－a 2
＝－4c 2
，所以由余弦定理得，cos A ＝
b 2＋
c 2－a 2
2bc
＝－3c 2
2bc ＝－14，得b c
＝6.故选A ． 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12
a sin
C ，则sin B 为( )
A ．
7
4 B ．34 C ．
73
D ．13
解析：选A ．由b sin B －a sin A ＝1
2
a sin C ，
且c ＝2a ，得b ＝2a ，
因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2
＝3
4
， 所以sin B ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫342
＝74.
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2
＝c 2
＋ac －bc ，则
c
b sin B
＝( )
A ．
3
2 B ．233
C ．
33
D ． 3
解析：选B ．由a ，b ，c 成等比数列得b 2
＝ac ，则有a 2
＝c 2
＋b 2
－bc ，由余弦定理得cos A
＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2
B ＝sin A sin
C ＝32·sin
C ，由正弦定理得，c b sin B ＝sin C sin 2B ＝
sin C 3
2
sin C
＝233.故选B ． 5．(一题多解)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ．2
解析：选A ．法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝
310
，cos ∠BAC ＝－
110.由余
弦定理，得BC 2
＝AC 2
＋AB 2
－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝
⎛⎭
⎪⎫
－
110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC
BC ＝
2×323＝1，故选A ．
法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－1
10
<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上
的高小于2，故选A ．
6.如图，在△ABC 中，∠C ＝
π
3
，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )
A ．223
B ．
24 C ．
64
D ．
63
解析：选C ．依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22
sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，
BC
sin ∠BDC
＝
BD
sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A
，由此解得cos A ＝
64
. 二、填空题
7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋2α＝________． 解析：依题意得cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α
＝2sin 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫142
－1＝－78.
答案：－7
8
8．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则
c 的取值范围为________．
解析：由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝c
sin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
所以16－b 2
＝64cos 2
A －16b cos 2
A ，又b ≠4，所以cos 2
A ＝16－b 2
64－16b ＝(4－b )(4＋b )16(4－b )＝4＋b
16
，所
以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b 16
＝16＋4b .因为b ∈(4，6)，所以32<c 2
<40，所以42<c <210.
答案：(42，210)
9．(一题多解)(2019·合肥市第一次质检测)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝1
2
，延长BC 至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．
解析：法一：由题意知b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2
B ＝sin A sin
C ①，又由已知，得cos(A －C )＋cos(A ＋C )＝12，可得cos A cos C ＝14 ②，②－①，得14－sin 2B ＝－cos B ，所以cos 2
B
＋cos B －34＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝－3
2(舍去)，所以B ＝60°，再由题得cos(A －C )＝
1，则A －C ＝0，即A ＝C ，则a ＝c ，所以△ABC 为正三角形，则∠ACD ＝120°，AC ＝b ，CD ＝2－b ，故S △ACD ＝12×b ×(2－b )×32≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋2－b 22＝3
4，当且仅当b ＝2－b ，即b ＝1时取等号．故填
3
4
. 法二：由题意知b 2
＝ac ，且cos(A －C )＋cos(A ＋C )＝12，即cos A cos C ＋sin A sin C ＋
cos A cos C －sin A sin C ＝12，即cos A cos C ＝14，由余弦定理得b 2
＋c 2
－a 2
2bc ·b 2
＋a 2
－c 2
2ab ＝1
4，
整理得b 4
－(a 2
－c 2)2
＝b 4
，所以a 2
－c 2
＝0，即a ＝c ，又b 2
＝ac ，所以a ＝b ＝c ，即△ABC 为正三角形，所以S △ACD ＝S △ABD －S △ABC ＝12×2×c ×32－34c 2＝－34(c －1)2
＋34≤34，当c ＝1时
取等号，故填
3
4
. 答案：
34
三、解答题
10．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2
＋c 2
－b 2
＝ab cos A ＋a 2
cos B ．
(1)求角B ；
(2)若b ＝27，tan C ＝
3
2
，求△ABC 的面积． 解：(1)因为a 2
＋c 2
－b 2
＝ab cos A ＋a 2
cos B ，所以由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋
a 2cos B ，
又a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B ，由正弦定理，得 2sin C cos B ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ， 又C ∈(0，π)，sin C >0，所以cos B ＝1
2
.
因为B ∈(0，π)，所以B ＝
π3
. (2)由tan C ＝
32，C ∈(0，π)，得sin C ＝217，cos C ＝277
， 所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝
32×277＋12×217＝321
14
. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A
sin B ＝27×
321
143
2＝6，
所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×6×27×21
7
＝6 3.
11．(2019·武汉模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝2B ，cos B ＝25
5
. (1)求sin C 的值；
(2)若角A 的平分线AD 的长为5，求b 的值． 解：(1)由cos B ＝255及0<B <π，得sin B ＝5
5，
又A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×55×255＝4
5
， cos A ＝cos 2B ＝2cos 2
B －1＝35
.
故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×255＋35×55＝115
25.
(2)由题意得，∠ADC ＝B ＋12∠BAC ＝∠BAC (如图)，所以sin ∠ADC ＝4
5
.
在△ADC 中，AD sin C ＝AC
sin ∠ADC ，
即
5
11525
＝AC 4
5，AC ＝2011，
故b ＝2011
.
12．(2019·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．
(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c
sin C
，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin
C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23
a .由余弦定理可得
cos B ＝a 2
＋c 2
－b 2
2ac ＝a 2＋49
a 2－169a 2
2·a ·23
a
＝－1
4
.
(2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2
B ＝
154
， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－
158，cos 2B ＝cos 2B －sin 2
B ＝－78
， 故sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716.
[B 组 大题增分专练]
1．(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a (sin
A －sin
B )＝(c －b )(sin
C ＋sin B )．
(1)求角C ；
(2)若c ＝7，△ABC 的面积为33
2
，求△ABC 的周长．
解：(1)由a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )，
即a 2
＋b 2
－c 2
＝ab .
所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π
3
.
(2)由(1)知a 2
＋b 2
－c 2
＝ab ，所以(a ＋b )2
－3ab ＝c 2
＝7， 又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝33
2
，
所以ab ＝6，
所以(a ＋b )2
＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5.
所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 2．(一题多解)(2019·福州模拟)如图，在△ABC 中，M 是边BC 的中点，cos ∠BAM ＝5714
，cos ∠AMC ＝－277.
(1)求∠B 的大小；
(2)若AM ＝21，求△AMC 的面积．
解：(1)由cos ∠BAM ＝5714
， 得sin ∠BAM ＝2114
， 由cos ∠AMC ＝－277，得sin ∠AMC ＝217
. 又∠AMC ＝∠BAM ＋∠B ，
所以cos ∠B ＝cos (∠AMC －∠BAM )
＝cos∠AMC cos ∠BAM ＋sin ∠AMC sin ∠BAM
＝－277×5714＋217×2114＝－12
， 又∠B ∈(0，π)，所以∠B ＝2π3
. (2)法一：由(1)知∠B ＝2π3
， 在△ABM 中，由正弦定理AM sin ∠B ＝BM sin ∠BAM
， 得BM ＝AM sin ∠BAM sin ∠B ＝21×21
143
2＝ 3.
因为M 是边BC 的中点，
所以MC ＝ 3.
故S △AMC ＝12AM ·MC ·sin ∠AMC ＝12×21×3×217＝332
. 法二：由(1)知∠B ＝2π3
， 在△ABM 中，由正弦定理AM sin ∠B ＝BM sin ∠BAM
， 得BM ＝AM sin ∠BAM sin ∠B ＝21×21
143
2＝ 3.
因为M 是边BC 的中点，所以S △AMC ＝S △ABM ，
所以S △AMC ＝S △ABM ＝12AM ·BM ·sin ∠BMA ＝12×21×3×217＝332
. 3．(2019·昆明市质量检测)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2(c －a cos B )＝3b .
(1)求角A ；
(2)若a ＝2，求△ABC 面积的取值范围．
解：(1)由2(c －a cos B )＝3b 及正弦定理得2(sin C －sin A cos B )＝3sin B ， 所以2sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝3sin B ，即2cos A sin B ＝3sin B ， 因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，又0<A <π，所以A ＝π6
. (2)因为a ＝2，由正弦定理得b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，
所以S △ABC ＝12bc sin A ＝14
bc ， 所以S △ABC ＝4sin B sin C ，因为C ＝π－(A ＋B )＝5π6－B ，所以sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6－B ， 所以S △ABC ＝4sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ＝4sin B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos B ＋32sin B ， 即S △ABC ＝2sin B cos B ＋23sin 2B
＝sin 2B －3cos 2B ＋ 3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＋ 3. 因为0<B <5π6，所以－π3<2B －π3<4π3
，
所以－32<sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B －π3≤1， 所以0<S △ABC ≤2＋ 3.
即△ABC 面积的取值范围为(0，2＋3]．
4．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，AB 边上的高h ＝23
c . (1)若△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35
，求角C 的正弦值； (2)若C ＝π4，M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab ，求M 的值． 解：(1)作CD ⊥AB ，垂足为D ，
因为△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35
， 所以sin A ＝45，tan A ＝43
， 所以AD ＝c 2，BD ＝AB －AD ＝c 2
， 所以BC ＝CD 2＋BD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23c 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫c 22＝5c 6， 由正弦定理得sin ∠ACB ＝AB sin A BC ＝c ×4
55c 6
＝2425
. (2)因为S △ABC ＝12c ×23c ＝12ab sin ∠ACB ＝24
ab ， 所以c 2＝324
ab ， 又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos ∠ACB ＝2ab ，
所以a 2＋b 2＝2ab ＋c 2，
所以a 2＋b 2＋13c 2＝2ab ＋43c 2＝2ab ＋43×324ab ＝22ab ， 所以M ＝
a 2＋
b 2＋13
c 2
ab ＝22ab ab ＝2 2.。