2023届新高考高三模拟数学试题

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练
数
学
（考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合A {}01242<--∈x x Z x ,{
}
R x x e y y B ∈=,sin ，求B A （
）
{}
2,1,0,1,2.--A {}
21.<<-x x B {}
2,1,0,1.-C {}
12.-≤≥x x x D ，2、化简=++-
3)]60sin 60)(cos 2
321[( i i （）
1.-A 1
.B i
C .i
D -.3、在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DC BD =，点
E 在AC 边上，且AC AE 5
4
=
，连接DE ，若AC n AB m DE +=，则=+n m （）
5
1.-
A 5
4.B 5
4.-
C 5
1.
D 4、日常生活中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度。

其表达式为N
R σ
=,其中R 的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为x
y 75.56.81470
-+=
，其中y 为就餐人数（本窗口），x 为餐品
新鲜度（R ），则当2000,2==σN 时，y 近似等于（
）（已知675.51023.46.8--⨯≈）
470.A 471.B 423.C 432
.D 5、素数对)2,(+p p 称为孪生素数，将素数17拆分成n 个互不相等的素数之和，其中任选2个数构成素数对，则为孪生素数的概率为（
）
5
1.
A 3
1.
B 4
1.
C 2
1.
D 6、设)2023.0sin(,2023
2024ln ,2023120231
===
c b e a ，则（）
b
a c A >>.c
b a B >>.c
a b C >>.a
b c D >>.7、已知空间四边形ABCD ，BC DB AC BC AB ⊥==,，且6,4==BD BC ，面ABC 与面BCD 夹角正弦值为1，则空间四边形ABCD 外接球与内切球的表面积之比为（
）
36
3
301172.
+A 36
5
301172.
+B 36
3
172301.
+C 36
5
172301.
+D 8、已知函数3)ln )(1()(++-+=x x a xe x f x ，对于[)+∞∈∀,0x ，4)(≥x f 恒成立，则满足题意的a 的取值集合为（
）
{}0.A {}1,0.B {}1,0,1.-C {}
1.D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求。

全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。

9、下列选项中，不正确的是（
）
.A 对于任何两个集合，)()(B A B A ⊆恒成立
.B “对于023,22≥+->∀x x x ”的否定是“023,22<+->∃x x x ”
.C 对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强；相关系数越小，相关性越弱.D 一元线性回归模型中a x b
y ˆˆ+=，其中的a b ,叫做a b ,的最小二乘估计10、已知正方体D C B A ABCD ''''-边长为2，则（
）
.A 直线D B '与直线AC 所成角为
2
π
.B 与12条棱夹角相同的最大截面面积为33.C 面切球与外接球半径之比为3
:1.D 若Q 为空间内一点，且满足Q D '与AB 所成角为
3
π
，则Q 的轨迹为椭圆11、已知椭圆0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为2
1
，椭圆上一点P 与焦点21,F F 所形成的三角形面积最大值
为3，下列说法正确的是（
）
.A 椭圆方程为13
4:2
2=+
y x C .B 直线0743:=-+y x l 与椭圆C 无公共点
.C 若过点O 做OB OA ⊥，B A ,为与椭圆C 的交点，则弦AB 中点H 所在轨迹为圆，且7122=r .D 若过点)2,3(Q 做椭圆两条切线，切点分别为B A ,，P 为直线PQ 与椭圆C 的交点，则
AB
PQ k k 3
-=12、已知函数)1ln()(+=x e x f x ，)(x f '是)(x f 的导数，下列说法正确的是（
）
.A 曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程为x y =.B )(x f '在[)1,0∈x 上单调递增，在()∞+∈，1x 上单调递减.C 对于任意的()∞+∈，0,21x x ，总满足)
()()(2121x f x f x x f +>+.D 直线x y =与)(x f y =在()01，-∈x 上有一个交点且横坐标取值范围为⎪
⎭⎫ ⎝
⎛--21,1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、若函数()ππϕϕ,),2sin()(-∈+=x x f 关于6
π
=x 对称，则=ϕ_________.14、6)32(y x x
y
++
的展开式中42y x 的系数为_________.15、若直线l 同时与曲线2:221=+y x C 和曲线1:2+=x e y C 均相切，则直线l 的方程为_________.16、已知n a a a S ,,,21 ：为有穷整数数列，对于给定的正整数m ,若对于任意的{}m n ,,2,1 ∈，在ζ中存在
)0,(,,,1≥++j i a a a j i i i 使得n a a a a j i i i i =+++++++ 21，则称ζ为“⊗m 同心圆数列”。

若：ζk a a a ,,,21 为
“⊗2023同心圆数列”，则k 的最小值为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

17、（本小题共10分）
在三角形ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，且a b c b A >≥==,4,5
3
sin （1）从下列中选择一个证明：
①证明：B
b
A a sin sin =
;②证明:bc a c b A 2cos 222-+=（2）求三角形ABC ∆面积的最小值.
若一个数列的奇项为公差为正的等差数列，偶项为公比为正的等比数列，且公差公比相同，则称数列为“摇摆
数列”，其表示为⎩⎨⎧∈∈∈+∈-+-*
1112,,12,)1(N k k n q a N k k n d n a a n n ，，若数列{})(*
N n a n ∈为“摇摆数列”且20,,1323211==+=a a a a a a ，则
（1）求{}n a 的通项公式;
（2）若n n na b =，求数列{}n b 的前n 2项和n T .（注：
∑=++=
n
i n n n i 1
26
)
12)(1(）
19、（本小题共12分）
已知底面为正方形的四棱柱D C B A ABCD ''''-，4='=A A AD ，H F E ,,分别为D C D A A A ''''',,的中点，三角形ABE S ∆的面积为4，P 为直线FH 上一动点且λ
=PH
FP （1）求证：当1=λ时，⊥BP AC ;（2）求多面体E C AC B '-的体积;
（3）当λ为多少时，线段BP 与平面E C B '夹角余弦值为
6
1.
人类探索浩瀚太空的步伐从未停止，假设在未来，人类拥有了两个大型空间站，命名为“领航者号”和“非凡者号”。

其中“领航者号”空间站上配有2搜“2M 运输船”和1搜“1T 转移塔”，“非凡者号”空间站上配有3搜“1T 转移塔”。

现在进行两艘飞行器间的“交会对接”。

假设“交会对接”在M 年中重复了n 次，现在一名航天员乘坐火箭登上这两个空间站中的一个检查“领航者号”剩余飞行器情况，记“领航者号”剩余2搜“2M 运输船”的概率为n p ，剩余1搜“2M 运输船”的概率为n q 。

其中宇航员的性别与选择所登录空间站的情况如下表所示。

男性宇航员
女性宇航员
“领航者号”空间站380220“非凡者号”空间站120
280
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++n a b c d =+++（1）是否有%9.99的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联；（2）若k 为函数x x x f ln )(=
极大值的e
2
倍，求n n q kp +与11--+n n q kp 的递推关系式；（3）求n X 的分布列与数学期望)(n X E .
2()
P K k ≥0.0500.0250.0100.0050.001k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
放射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之
间的关系，具体解题方法为将)0(1:2222>>=+b a b y a x C 由仿射变换得：b y y a x x ='=',，则椭圆122
22=+b y a x 变为
122='+'y x ，直线的斜率与原斜率的关系为k b
a
k =
'，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可。

已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的离心率为55，过右焦点2F 且垂直
于x 轴的直线与C 相交于B A ,两点且5
5
8=AB ，过椭圆外一点P 做椭圆C 的两条切线21,l l 且21l l ⊥，切点分别为N
M ,（1）求证：点P 的轨迹方程为922=+y x ；
（2）若原点O 到21,l l 的距离分别为21,d d ，延长表示距离21,d d 的两条直线，与椭圆C 交于W Y ,两点，试求：YW 中点Z 所形成的轨迹与P 所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数.
22、（本小题共12分）已知函数R a x
x
a x f ∈+=
,ln )(在e x =处取到极值.（1）求a ，并指出)(x f 的单调递增区间；
（2）若)(x f 与b y =有两个交点21,x x ，且21x x <，证明：)1)(14(12be e x x -->-.
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练
数学·参考答案及评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、【考查知识点】必修第一册：集合与常用逻辑用语、函数的概念与性质、三角函数【难度系数】88.0【答案】C
【解析】A {}
{}5,4,3,2,1,0,101242-=<--∈x x Z x {}{}
e
y e y R x x e y y B <<-=∈=,sin =∴B A {}
2,1,0,1-2、【考查知识点】必修第二册：复数（探究与发现）、复数的四则运算【难度系数】82.0【答案】B 【解析】1)1(1)180sin 180(cos )2
321()]60sin 60)(cos 2321[(33=-⨯-=++-=++-
i i i i 3、【考查知识点】必修第二册：平面向量及其应用【难度系数】83
.0【答案】A
【解析】AC AB AC AC AB AE DA DE 1032154)(21+-=++-
=+=5
1,103,21-=+=-=∴n m n m 4、【考查知识点】必修第一册：函数的概念与性质【难度系数】77.0【答案】A
【解析】当2000,2==σN 时，10002
2000
===
=N R x σ675.51023.46.8--⨯≈ ↓+=-x 75.56.81δ，06.8100075.5→∴⨯-∴470
,1)1000(→→y δ5、【考查知识点】必修第二册：随机事件与概率【难度系数】65
.0【答案】B
【解析】753217+++=其中为孪生素数的情况有2种，分别是{})7,5(),5,3(，总方法数为2
4
C 所以满足条件的所占比例为3
1
224=
C 6、【考查知识点】必修第一册：函数的概念与性质，复习参考题·泰勒展开式【难度系数】33.0【答案】A
【解析】112023
1
2023,02023100049432.020231,
20232023
1>+→∴→⇒≈=a e
a
120232023
1
12023202420232024ln ,20232024ln
20232023<⇒=-<=b b b a >∴2023
202418002023)!318001
18001(202318001sin 20233602.0sin 2023)2023.0sin(202320233>
≈-≈=>= c b
a c >>∴7、【考查知识点】必修第二册：立体几何初步、简单几何体的表面积与体积【难度系数】31.0【答案】C
【解析】3
434410
333
223)332(
4sin cos 22222
2
2
2
2=+⨯⨯⨯-+=+-+=l mn n m R θθ外383
1
322164312242344216421641643=⨯⨯⨯⨯=+=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=
V S ，表348846343122432432-=-=+==∴内表内，R S V R 3630131723
4884343
22
21+=
-==内
外，R R S S 8、【考查知识点】必修第一册：函数的概念与性质；选择性必修第二册：一元函数的导数及其应用【难度系数】15
.0【答案】D
【解析】原不等式可变化为：lr +(l +p −1+(1−p(l +p ≥0现在证明lr +(l +p −1≥0：设=l +s op =−−1易得：op >0，所以当且仅当=0,l +=0时，等号可取
所以证明lr +(l +p −1+(1−p(l +p ≥0即证：(1−p(l +p ≥0当l +>0时，1−≥0，≥1；同理，当l +<0时，1−≤0，≤1所以综上所述，的取值集合为=1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多个选项
符合要求。

全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。

9、【考查知识点】必修第一册：集合的运算、命题与否命题；选择性必修第三册：一元线性回归模型定义、成对数据分析相关系数概念与理解【难度系数】76.0【答案】BCD
【解析】通过集合的计算以及结合Venn 图，故A 正确；“对于023,22
≥+->∀x x x ”的否定是
“023,22≥+-≤∃x x x ”，故B 错误；对于成对样本数据，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强；相关
系数的绝对值越小，相关性越弱，故C 错误；一元线性回归模型中a x b
y ˆˆ+=，其中的a b ,叫做a b ,的平均值，
a b
ˆ,ˆ叫做a b ,的最小二乘估计，故D 错误10、【考查知识点】必修第二册：立体几何初步；选择性必修第一册：圆锥曲线的定义【难度系数】66.0【答案】AB
【解析】⊥⇒='⊥'⊥AC D BD D D AC D D BD AC ,,平面D B AC B D BD '⊥⇒''，故A 正确；
与12条棱夹角相同的最大截面为各棱中点依次连接所形成的的正六边形，面积为
336)2(4
3
2=⨯⨯，故B 正确；面切球与外接球半径之比为
2
1
=AC AB ，故C 错误；过点Q 向AD 作垂线，垂足为H ，易证AB QH //，所以QH Q D HQD 260='⇒=∠ ，在平面ABCD 中，以DC DA ,所在直线分别为y x ,轴，则14
43242
22
2
=-⇒=++x y y y x ，为双曲线，故D 错误
11、【考查知识点】选择性必修第一册：圆锥曲线【难度系数】32
.0【答案】AC
【解析】1343
4321222
2=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧==y x b a bc a c ，故A 正确；0074313422>∆⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+y x y x ，故有两个交点，故B 错误；因为2
2
OH AB OB OA S
=
=
且
2
2
2
2
2
2
22
2
11OB
OA AB
OB
OA OB OA OB
OA =
+=
+
两边同乘
4
2
OH 得222
22222
221
1
1
b a b a OH
S OH S OB OA +===+所以22222
2
222
2b a b a y x b
a b a OH +=+⇒+=代入数据得22y x +712=故C 正确；通过选择两组特殊值验证得AB
PQ k k 为定值不成立，故D 错误
12、【考查知识点】选择性必修第二册：一元函数的导数及其应用【难度系数】14
.0【答案】ACD
【解析】11()e ln(1)e e [ln(1)11x x x f x x x x x '=⋅++⋅
=++++，故01(0)e ln(10)110f ⎡⎤'=⋅++=⎢⎥+⎣⎦
，0(0)e ln(10)0f =+=，因此，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =.故A 正确;
1()()e ln(1)1x g x f x x x ⎡⎤'==++⎢⎥+⎣⎦，则221()e ln(1)1(1)x g x x x x ⎡⎤'=++-⎢⎥++⎣⎦，设221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，[0,)x ∈+∞，则2233
1221
()01(1)(1)(1)x h x x x x x +'=-+=>++++，故()h x 在[0,)+∞上单调递增，
故()(0)10h x h ≥=>，因此()0g x '>对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故()g x 在[0,)+∞上单调递增.故B 错误;设)
1ln()1ln()1ln()()()()(21212121212
1x e x e x x e x f x f x x f x m x x x x +-+-++=--+=+则)
()(11)1ln(11)1ln()(12111212112
1x g x x g x x e x x x x e
x m x x x -+=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++='+由（Ⅱ）知()g x 在[0,)+∞上单调递增，故当0,021>>x x 时，0)()()(121>-+='x g x x g x m 因此，)(x m 在(0,)+∞上单调递增，故0
)0()0()0()0()(2=-=-+=>f f x f m x m 因此，对任意的()∞+∈，0,21x x ，总满足)()()(2121x f x f x x f +>+，故C 正确；当1-=x 时，-∞→)(x f ，当21-
=x 时，02
1
21ln 12121ln 1432121ln )221(21,2121ln 1)21(>+⇒-<<-⇒-<<-⨯+=-e e e e e f ，又因为↑)(x f ，所以直线x y =与)(x f y =在()01，-∈x 上有一个交点且取值范围为⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
-21,1故D 正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、【考查知识点】必修第一册：三角函数的性质【难度系数】82.0【答案】
6π或6
5π-【解析】因为函数()ππϕϕ,),2sin()(-∈+=x x f 关于6
π
=x 对称，所以Z k k Z k k f ∈+=⇒∈+=+⇒±=+=,6,231)3sin()6(ππϕππϕπϕππ，当0=k 时，6πϕ=；
当1-=k 时，6
5πϕ-
=14、【考查知识点】选择性必修第三册：二项展开式【难度系数】86.0【答案】90
【解析】9032)32()32(3
6
4
66
666066⇒⎪⎩⎪⎨⎧⨯⨯⇒+++=++C C y C x C x y y x x y 15、【考查知识点】选择性必修第一册：直线与圆的位置关系；选择性必修第二册：导数的几何意义【难度系数】67.0【答案】0
2=+-y x
【解析】x
e x
f =')(，设在曲线)(x f y =上的切点坐标为)1,(00+x e x ，所以切线方程为
0)1()()1(0000000=+++-⇒-=+-x x x x x e x e y x e x x e e y ，曲线222=+y x 上的圆心)0,0(到切线方程的距离为021
)(1202
2
0000=⇒=+++⇒
x e e x e x x x ，所以切线方程为0
2=+-y x 16、【考查知识点】选择性必修第二册：数列【难度系数】47.0【答案】64
【解析】对于此题，我们先从简单的算起。

当1=k 时，则1a 最多能表示1a 共1个数字；当2=k 时，则1a ，2a 最多能表示1a ，2a ，12a a +共3个数字；当3=k 时，则1a ，2a ，3a 最多能表示1a ，2a ，3a ，12a a +，23a a +，123a a a ++共6个数字；当n k =时，则n a a a ,,,21 最多能表示∑=+=
=
++-+-+n
i n
n i n n n 1
2
)1(1)2()1( 个数字；64)(20232
)1(1)2()1(min min 1
==⇒∈≥+=
=++-+-+∴∑=n k Z n n
n i n n n n
i 四、解答题：本题共6小题，共70分。

17、【考查知识点】必修第二册：平面向量的应用、解三角形、正弦定理、余弦定理【难度系数】67
.0【解析】（1）若选择①证明：B
b
A a sin sin =
证法一:三角形外接圆法
设ABC ∆的外接圆的圆心为O ,半径为R ,如图.
由图(1)知,当A 为锐角时,,
2.sin a
A D R A
==………………………………………………………………………1分∴由图(2)知,当A 为钝角时,180.A D =︒-sin sin ,2.2sin a a a
A D R BD R A
===∴=…………………………2分
如图(3),当90A =︒时,2.sin a
a BC R A
===………………………………………………………………………4分
∴对于任意三角形都有2.sin a R A =同理,2.2.sin sin b c
R R B C
==B b A a sin sin =∴
(6)
分
证法二:向量法
以A 作为原点,以射线AB 的方向为x 轴的正方向建立直角坐标系,C 在y 轴上的投影为C ',如下图所示
∵向量AC 与BC 在y 轴上的投影均为'OC ,即'OC ()cos 90sin ,AC A b A =-︒=
…………………………1分
'OC sin sin ,BC B a B == ∴sin sin ,a B b A =即.sin sin a b A B
=…………………………………………………3分
同理,.sin sin a c A C =∴.sin sin sin a b c
A B C
==……………………………………………………………………………4分
以同样的方式可以证明A 为锐角或直角时定理同样成立，B b
A a sin sin =
∴………………………………………6分若选择②证明:bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
证法一:建系法
以A 点为原点,ABC ∆的边AB 所在直线为x 轴,建立直角坐标系
则()()()0,0,cos ,sin ,,0 A C b A b A B c .…………………………………………………………………………………1分由两点间的距离公式得2
2
2
(cos )(sin 0)BC b A c b A =-+-,即2
2
2
2cos a b c b A =+-.………………………3分
同理可证2
2
2
2cos b a c ac B =+-,2
2
2
2cos c a b ab C =+-.bc
a c
b A 2cos 222-+=……………………………6分
证法二：解析法
当ABC ∆为锐角三角形时,过C 作 CD AB ⊥于D ……………………………………………………………………1分则cos AD b A =,cos BD AB AD c b A =-=-.
在Rt BCD ∆中,2
2
2
BC CD BD =+,即2
2
2
2
sin (cos )a b A c b A =+-所以2
2
2
2cos a b c b A =+-.
同理可证2
2
2
2cos b a c a B =+-,2
2
2
2cos c a b ab C =+-.………………………………………………………3分当ABC ∆为钝角三角形时,过C 作CD 垂直于AB 的延长线于D ,则
cos AD b A =,sin CD b A =,cos BD AD AB b A c =-=-………………………………………………………4分在Rt BCD ∆中,2
2
2
BC CD BD =+,即2
2
2
2
sin (cos )a b A b A c =+-.
所以2
2
2
2cos a b c bc A =+-.…………………………………………………………………………………………6分
（2）c c A bc S 5
6
45321sin 21=⨯⨯⨯==
……………………………………………………………………………8分4≥⇒>≥c a b c ……………………………………………………………………………………………………9分
5
24
5645321sin 21≥
=⨯⨯⨯==c c A bc S ……………………………………………………………………………10分18、【考查知识点】选择性必修第二册：等差数列、等比数列的通项公式与求和公式【难度系数】69
.0【解析】（1）设⎩⎨⎧∈∈∈+∈-+-*
1112,,12,)1(N k k n q a N k k n d n a a n n ，由题意得⎪⎩⎪
⎨⎧====⇒⎪⎩⎪⎨⎧==++=+2
21
220)2(21211212q d a a d d a a d a a …………………3分⎩
⎨⎧∈∈∈+∈-∴-*
1
2,2,12,12N k k n N
k k n n a n n ，…………………………………………………………………………………………5分（2）n n na b =⎪⎩⎪⎨⎧∈∈⋅∈+∈-=-*
12
2,2,12,2N
k k n n N
k k n n n n ，…………………………………………………………………………6分先求奇数项的和：
N k k n n n b n ∈+∈-=,12,22，2222])12(31[2n n S n --+++⨯= ，引入)
21(4)2(42222222n n W n +++=+++= 2221
22122)6)12)(1(43)14)(12((2)(23)14)(12()(21n n n n n n n n W i S n n n i W n S n n
i n n i n n -++⨯-++=--=⇒++==++∑∑==………………………………………………………………………………………………………………………………9分
再求偶数项的和：
n n n
n n n n S N k k n n b 26421231*12232221222422,2,2++⨯+⨯+⨯=⨯++⨯+⨯='∈∈⋅=-- ，2226422262222224222214++-++++='-'⇒++⨯+⨯='n n n n n n
n S S n S 9
44)13(944344344441)41(44444431111
111
3
2
+-=
--='⇒--=---=-++++='-+++++++n n n n n n n n n n
n
n n S n n n S ……………………………………………………………………………………………………………………………11分
='+=∴n n n S S T 29
44)13()6)12)(1(43)14)(12((212
+-+-++⨯-+++n n n n n n n n n ……………………………12分
19、【考查知识点】必修第二册：立体几何初步；选择性必修一：空间向量与立体几何【难度系数】82
.0【解析】（1）三角形ABE S ∆的面积为4，所以242
1
4=⇒=⨯
⨯=h h S ，………………………………………1分因为4='=A A AD ，H F E ,,分别为D C D A A A ''''',,的中点，
且过平面外一点做与已知平面垂直的直线有且只有一条，故⊥'A A 平面ABCD ………………………………3分
当1=λ
P ⇒==1λ为FH 中点BP ∴，
在平面ABCD 上的投影为BD 的一部分.AC BP AC BD ⊥⇒⊥ ………………………………………………………………………………………………5分
（2）163
1
22224)42(3121=⨯⨯⨯+=⨯⨯
=''-BD S V E C AC E C AC B …………………………………………………7分（3）以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，B B '所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系设P 的横坐标为a ，)4,6,(),4,0,4(),2,4,0(),0,0,0(a a P C E B -'∴…………………………………………………8分所以)4,0,4(),2,4,0(='=C B BE ，设平面E C B '法向量为)
,,(z y x n =所以⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅x z y z z x z y BC n BE n 204402400，令)1,2,1(1-=⇒-=n z (9)
分
⎩⎨
⎧=-=⇒=+-⨯-==∴-=2661
5212268cos ),4,6,(2
12a a a a a
a a BP θ (11)
分⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
====∴4
21λλ………………………………………………………………………………………………………12分
20、【考查知识点】选择性必修第三册：计数原理、随机变量及其分布；选择性必修第二册：数列【难度系数】44
.0【解析】（1）828
.1067.106400
600500500)220120280380(100022
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ∴有%9.99的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联……………………………………………………3分
（2）求导得,2=k 11113312111111333312,33C C C C p q C C C C =⋅==⋅=，()11113121211111111113333127
013927
C C C C p p q p q p q C C C C =⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+=
，()11111111
3322211221111111111113333
33331C C C C C C C C q p q p q C C C C C C C C ⎛⎫=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅-- ⎪⎝⎭11216
9327q =-+=
.……………………………………5分当2n ≥时()1111
31211111111111333312
0139
n n n n n n n C C C C p p q p q p q C C C C ------=⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+，①
()11111111
33222112111111111111333333331n n n n n C C C C C C C C q p q p q C C C C C C C C ----⎛⎫=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅-- ⎪⎝⎭
112
93n q -=-+，②
2⨯+①②，得()11111241212
22399333
n n n n n n n p q p q q p q -----+=
+-+=++.
从而()111
21213
n n n n p q p q --+-=
+-……………………………………………………………………………………8分（3）111
213p q +-=，所以1
*111211,333n n
n n p q n -⎛⎫⎛⎫
+=+=+∈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
N .③由②，有1313595n n q q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又131515q -=，
所以1
113
,1595
n n q n -*⎛⎫
=-+∈ ⎪
⎝⎭
N .…………………………………………………………………………………………9分由③，有11311111,23109235n
n n n n P q n *⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=+-=-++∈⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
N .………………………………………………………10分
故*31111
1,109235n
n
n n p q n ⎛⎫⎛⎫--=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N .
n X 的概率分布列为：
n X 012P
1n n
p q --n
q n
p 则()()*101121,3n
n n n n n E X p q q p n ⎛⎫
=⨯--+⨯+⨯=+∈ ⎪⎝⎭
N .…………………………………………………………12分
21、【考查知识点】选择性必修第一册：圆锥曲线【难度系数】38.0【解析】
（1）由仿射变换得：b y y a x x ='=',，则椭圆122
22=+b
y a x 变为122='+'y x ………………………………………1分
设原斜率分别为21,k k ，121-=k k ，变换后为22
11,k b
a
k k b a k ='='，所以1222212221-=-=='⋅'e b a k k b a k k ……2分设变换后的坐标系动点()00,y x Q ,过点()00,y x Q 的直线为：)
(:00x x k y y l -=-0)(:0=---y kx y kx l 到原点距离为11
2
00=+-=
k y kx d …………………………………………………………4分
即0
12)1(1)(2
0002
2
02
2
00=-+--⇒+=-y k y x k x k y kx 由韦达定理得：22202
02111b
a x y k k -=--=''，化简得：2
2202202b
a y
b x a +=+由于原坐标系中0000,,by y ax x b
y
y a x x ==⇒==
……………………………………………………………………5分
所以在原坐标系中轨迹方程为：2222b a y x +=+，145:455545522222=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===y x C b a a
b a
c e 所以92
222=+=+b a y x ………………………………………………………………………………………………6分（2）因为22
OZ YW OY OW S =
=
，且2
2
2
2
2
2
22
2
11OY
OW YW
OW
OY OW OY OW
OY
=
+=
+……………………………7分
两边同乘42
OZ
得
2
2222
222
2
2
1
11b a b a OZ
S OZ S OW
OY
+===+
…………………………………………………………9分
所以92022222
2
2
22
2=+=+⇒+=
b a b a y x b a b a OZ ………………………………………………………………………11分
所以ππ9
61
)9209(=-
=∆S ………………………………………………………………………………………………12分22、【考查知识点】选择性必修第二册：一元函数的导数及其应用【难度系数】34
.0【解析】（1）2
ln 1)(x x
a x f --='………………………………………………………………………………………2分
由题意可知：)(x f 在e x =处取到极值，所以00ln 1)(2
=⇒=--='a e
e
a e f ……………………………………4分（2）)1)(14(12be e x x -->-可看做过e x 4=和1=x 的两条割线，且两条割线交于极值点1
,(e
e 所以设2121)4()
4(1
:),1(1(1:l l e x e e e y l x e e y l 、；）--=--=
与b y =交点横坐标分别为43,x x ………………6分
联立)1(1(1
:1--=
x e e y l ）
与b y =得1)1(23+-=b e x ；同理得：e b e x 4324+-=令)1()
1(1)()(---=x e e x f x g ，所以x x x e e x x e e x x x g )(1ln )1(1ln )(2
22---=---=………………………8分令)
(2)(11)(),(1ln )(2222
222
e e x e e x x x x e e x x m x x e e x x m --++-=---='---=对e e x x y -++-=222讨论可得02min <-=e y ，所以)(x m 在),1(e 上先单调递增再单调递减………………10分又因为0)(,0)1(==e m m ，所以0)(0)(>⇒>x g x m 在),1(e 恒成立所以13113111)()()()()(x x x l x l x
f x l x f >⇒>=⇒>；同理：24x x <，
所以)1)(14(3412be e x x x x --=->-………………………………………………………………………………12分。