勾股定理逆定理

理解并能灵活应用勾股定理的逆定理，深刻理解互逆命题与互逆定理

重点：互逆命题的理解

难点：能熟练应用勾股定理逆定理，

知识点1：互逆命题与互逆定理

（1） 互逆命题：一般的如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆

命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题。

（2） 互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，

称为原定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理。

注意：（1）互逆命题是两个命题形式上的关系，将一个命题的题设和结论互换即可得到它的逆命题。但是当原命题成立时，它的逆命题不一定成立。

（2）每一个定理都是一个命题，它有逆命题，当且仅当这个逆命题经过证明是正确的时候，即也是一个定理的时候，才能称为原定理的逆定理。当这个逆命题不成立的时候，原定理没有逆定理。 知识点2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长度分别是,,a b c ，并且满足2

2

2

a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。

（2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。 知识点3：勾股数

（1）满足2

2

2

a b c +=的三个正整数,,a b c 就是一组勾股数

（2）对于任意两个整数,(0)m n m n >>，2

2

2

2

,,2m n m n mn +-这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。

（3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15

例题1：写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1） 同位角相等，两直线平行。 （2） 如果x=2，则2

x =4

解：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等。它是真命题。 （2）逆命题是：如果2x =4，则x=2。它是假命题，x 可以取到±2

例题2：判断由线段,,a b c 组成的三角形是不是直角三角形。

（1）7,24,25a b c ===

（2）20,21,29a b c ===

解（1）∵222

25247=+

∴2

2

2

c a b =+ ∴是直角三角形。

（2）∵2

2

2

292021=+

∴2

2

2

c a b =+

∴是直角三角形。

注意：计算时只需判断两较小边与较大边的平方之和是否相等即可。

【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。

例题3：在下列线段中能组成直角三角形三边的是（）

A 7,10,13

B 222

6,8,10

111

,,

345

【变式练习】1、以下列各组数作为三角形的三边，其够组成直角三角形的是（）A．6，7，8 B．5，6，7

C．4，5，6 D．5，12，13

例题4：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+50 =6a+8b+10c，试判断△ABC 的形状．

【变式练习】2、已知在△ABC中，AB：BC：CA=1:3

ABC是否是直角三角形。

例题5：判断：三边长分别为2222,21,221(0)n n n n n n ++++>的三角形是否是直角三角形

【变式练习】3、若△ABC 三边满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，试判断△ABC 的形状。

例题6：在正方形ABCD 中，F 是DC 边中点，E 是BC 上的一点，且EC=

1

4

BC 。求证∠EFA=90°。

【变式练习】4、如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，AB=4，CD=13，CB=12，求四边形ABCD 的面积是多少。

【知识点二】利用勾股定理逆定理构造直角三角形求其边或角。

例题7：如图在△ABC中，AB=5，AC=13，BC上的中线AD=6，求BC边的长。

【变式练习】5、如图，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A B C的距离分别是3、4、5，求∠APB的度数。

【知识点三】勾股定理逆定理与折叠问题。

例题8：如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使得B落在边AD上的B′，点A落在A′上。

（1）求证：B′E=BF

（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想abc三者之间的关系并给予证明。

【变式练习】6、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿AC折叠，点B落在点E

处，AE交DC于F，AF=25

4

cm，求AD的长是多少。

【知识点四】勾股定理逆定理在实际生活中的应用。

例题9：某港口位于东西方向的海岸线上，A、B两军舰同时离开港口，各自沿-固定方向航行，A舰每小时航行16海里，B舰每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后，相距30海里，已知A舰沿东北方向航行，问B舰沿哪个方向航行？

【变式练习】7、甲乙两艘船同时离开海港，各自沿一固定方向航行。已知甲船每小时行12海里，乙船每小时行16海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，若已知甲船沿东北方向航行，试问乙船的航行方向可能是怎样？