数学分析第十章 定积分的应用

我们让而使dx要想得到一个定积分表达式只要求出被积表达式这就是定积分的微元法当所求量u符合下列条件1u是与一个变量具有可加性就是说如果把区间分成许多部分区间则u相应地分成许多部分量而u等于所有部分量之微元法的一般步骤1根据问题的具体情况选取一个变量例如x为积分变量并确定它的变化区间分成n个小区间取其中任一小区间并记为求出相应于这小区间的部分量与dx的乘积就把dx记作du即dx为被积表达式在区间即为所求量u的积分表达式
x x(t) y y(t)
t [, ]
给出,在[, ]上y(t)连续, x(t)连续可微,
且x'(t) 0,记a x( ),b x( ),则
曲边梯形的面积
A y(t)x' (t) dt.
例2
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
对一个立体，如果知道该立体上垂直于一 定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积 也可用定积分来计算.
如图，设 A( x)
表示过点 x且 a o
垂直于 x轴的
x
bx
截面面积。
A( x)为 x的已知连续函数，
取积分变量为 x，变化范围[a,b]
相应于[a, b]上的任一小区间[ x, x dx]，
立体位于该小区间部分而成的薄片的体积近似看成是 以 A(x) 为底面积、 dx 为高的扁圆柱体的体积，即
1.由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0)、x 轴与两条直线 x a、 x b所围成的平面图形
的面积。
y
y f (x)
oa
bx
2.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非负时，如下图
y
a
A1
0
y=f(x)
A3
A2
bx
则A
b a
f (x) dx
b a
y dx
A1 A2 A3
2
o
曲边扇形的面积
A 1[r( )]2 d. 2
r r( )
x
例 3 求心形线r a(1 cos )所围平面图形
的面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2 d 20
a2
(1 2cos cos2 )d
0
a
2
3 2
2 sin
1 sin 2
4
0
3 2
a2 .
例 4 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第
一象限部分面积
y x
A 4A1
A1
A 4 4 0
1 a2 cos 2d
2
a2.
作业
Ｐ２４２ １，４，６
§2 由平行截面面积求体积
一 平行截面面积为已知的立体的体积
d
x ( y) c
o
x
例4 求由圆 x2 ( y R)2 r2 (0 r R)绕x轴旋转 一周所得环状立体体积。
解：如上图所示，上、下半圆方程分别为：y1 R r2 x2 , y2 R r2 x2 , x r则环体体积是由上、
下两个半圆绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积之差 (如下图所示）：
n
记 :
T
Max
1in
M i1M i
,
ST M i1M i
i 1
定义1.对于曲线C的无论怎样分割T ,如果存在极限
lim
T 0
ST
S
则称曲线C是可求长的,并把S定义为C的弧长。
定义2.设平面曲线C由参数方程
x x(t), y y(t),t [, ] (1) 给出,如果x(t)与y(t)在[, ]上连续可微,且 x' (t )与y ' (t )不同时为零, 则称C为一条光滑曲线。
§1 平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积
§3 平面曲线的长
§4 定积分在物理学中的应用
本章中我们将用前面学过的定积分的知识来 分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的 不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且 微元法解决问题的定积分的分析方法。
§1 平面图形的面积
一 积分 b f (x)dx的几何意义 a
A2
(
1
x x 3)dx 28
2
3
A
A1

A2
32 3
本题也可看成由x y2, x 2 y 3,
y 1, y 3所围成平面图形。
选y为积分变量, 则
A 3 (2y 3 y2 )dy 32
1
注3 被积函数为“右-左”
右为直线，左为抛物线
三 参数方程形式下的面积公式
如果曲边梯形的曲边为参数方程
体积微元为
dV A( x)dx,
立体体积 V
b
A( x)dx.
a
例 1 求两圆 x2 y 2 R2 z 2 x2 R2 所围的立体体
柱:
积.
解：两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的，因此，它的体
积是其在第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限的体积？
下图就是其在第一卦限部分立体：
该立体被平面 x [0, R] （因为两圆柱半径相同）所截 的截面,是一个边长为 R2 x2 的正方形, 所以截面面 积 A(x) R2 x2 。
要想得到一个定积分表达式，只要求出被积
表达式 f ( x)dx, 这就是定积分的微元法
2 定积分的微元法
当所求量U 符合下列条件
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关的
量；
（2）U 对于区间a, b具有可加性，就是说， 如果把区间a, b分成许多部分区间，则U 相
应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之
转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
y
解 过原点 o及点p(h, r)
P
直线方程y 为 r x
o
h
取积分变量为 x，
r
h
x
它的变化区间为[0, h]
圆锥体中相应于[0, h]上任一小区间[ x, x dx]的薄片
r
的体积近似于底半径为 h x 、高为dx 的扁圆柱体的体
积即体积微元
y f (x)
bx
面积表示为定积分要通过如下步骤：
（1）把区间[a, b]分成n个长度为xi的小区间，相
应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i 个
n
小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A Ai .
i 1
（2）计算Ai 的近似值 Ai f (i )xi i xi
n
（3） 求和，得A的近似值 A f (i )xi .
r
y
o
r
x
上半圆：y1 R r2 x2
r
o
y
r
下半圆：y2 R r2 x2
r
o
y
r
x
x
即环体体积:
V
r r
y12dx
r r
y22dx
r
[ (R
r2 x2 )2 dx
r
(R
r 2 x2 )2 dx]
r
r
r
4R
r2 x2 dx
r
2 2r2R
例 5 计算摆线 x a(t sin t)，y a(1 cos t)的 一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、 y 轴旋
（4） 求极限，得A的精确值 i1
n
A
lim
T 0
i 1
f (i )xi
b
f ( x)dx a
n
比较
lim
T 0
i 1
f (i )xi
与 b a
f
( x)dx
两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边
的定积分表达式有很好的对应。我们让
n
lim
对应 b
T 0 i1
a
而使f (i )xi 对应f ( x)dx
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
a
0
A
40
ydx
4
b sin td(a cos t)
2
4ab 2 sin2 tdt ab. 0
微元法
1 考虑曲边梯形面积计算问题
曲边梯形由连续曲线 y
y f ( x)( f ( x) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、 x b所围成。
oa
建立坐标系，底圆方程为
x
x2 y2 R2 垂直于x 轴的截面为直角三角形
截面面积 A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
2
立体体积 V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
2 R
3
二 旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
o
x x1( y) 2a x
分别绕y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2a
x
2
2
(
y
)dt
0
2a
x
2
1
(
y
)dt
0
a2 (t sin t)2 a sin tdt 2 a2 (t sin t)2 a sin tdt 0
a3 2 (t sin t)2 sin tdt 63a3 . 0
圆柱
圆锥
圆台
旋转体可以看作是由连续曲线 y f ( x)、直线
x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋
转一周而成的立体，现在我们考虑用定积分来计
算这种旋转体的体积。
y
取积分变量为x 变化范围[a, b]
y f (x)
相应于[a, b]上的任一小区间
[ x, x dx]，窄边梯形绕x 轴 o
二 由y f (x), y g(x)及x a, x b所围 平面图形的面积
若f (x) g(x), x [a,b]
则A
b a
f
(
x)dx
b a
g
(
x)dx
b a
[
f
(
x)
g
(
x)]dx
y y=f(x)
y=g(x)
0a
bx
一般地,由两条曲线y=f(x)与y=g(x)以及 两条直线x=a与x=b(a<b)所围平面图形的面 积计算公式为
和；
（3）部分量Ui 的近似值可表示为 f (i )xi ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
微元法的一般步骤
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x为 积分变量，并确定它的变化区间[a, b]；
2）设想把区间[a, b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表 示为[a, b]上的一个连续函数在 x处的值 f ( x) 与dx 的乘积，就把 f ( x)dx称为量 U 的微元且 记作 dU ，即dU f ( x)dx；
A
b a
f (x) g(x) dx.
例 1 计算由曲线 y2 x 和直线 x 2y 3 0 所围成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 x x 2y 3 0
(1,1), (9,3).
x2y3 0
A2 A1
y2 x
1
1
4
A1
[
0
x (
x )]dx 2 0
xdx 3
9
故两圆柱面所围成的立体的体积
V
8
R 0
(R2 x2)dx
16 R3 3
例 2 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中
心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解 取 平 面 与 圆 柱 体 的 交 线 为 R
x轴 ， 底 面 上 过 圆 心 、 且 o
y
垂 直 于x轴 的 直 线 为y轴 。 x R
A
b
a
f
(
x)dx
穿针法或微元法
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
被积函数上-下、右-左
例 2 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
图形的面积.
解
两曲线的交点解，方程组
y y
2x x2
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1]
转构成旋转体的体积.
解 绕x 轴旋转的旋转体体积
y( x)
Vx
2a y2 ( x)dx
0
a
2a
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cos t)dt 0
a3
2
(1
3cos t
3 cos2
t
cos3
t )dt
52a3 .
0
y
绕 y轴旋转的旋转体体积
2a
x x2( y)
可看作平面图OABC 与OBC
y
P
dV
r h
x
2
dx
o
r
h
x
于是所求圆锥体的体积为
V
h 0
r h
x
2
dx
r 2 h2
x3 3
h
0
hr2 3
.
用与上面类似地方法可以推出：由曲线
x ( y)、直线 y c 、 y d (c d) 与 y 轴所
围成的曲边梯形，绕 y 轴旋转一周而成的旋转
体的体积为 y
V d [ ( y)]2 dy c
x
旋转而成的薄片的体积近似的
于以 f ( x) 为底半径、 dx 为高的扁圆柱体的体积，
即体积微元为 dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
例 3 连接坐标原点O 及点 P(h, r)的直线、直线
x h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
作业
P246 2(1)(3)(4),3
§3 平面曲线的弧长
1.平面曲线弧长的概念
设 A 、 B 是 曲 线 弧 AB 上
的两个端点，在弧上插入 分点
A M0, M1,Mi, , M n1, M n B
y
M2 M1
A M0
o
称为对曲线 C的一个分割,记为T.
M n1 B Mn
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，
3）以所求量U 的微元 f ( x)dx为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做微元法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x xb x 曲边梯形的面积
面积微元 dA ( x x2 )dx
1
A 0 (
x
x2 )dx
2 3
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
注 被积函数为上-下，上为y2 x 下为 y x2
四 极坐标下的面积公式
设由曲线 r r( ) 及射线
、 围成一曲边扇形，
求其面积．这里， r( )
在[ , ]上连续，
面积微元 dA 1 [r( )]2 d