二重积分

2 ( x ) f ( x, y )dy dx V a 1 ( x )
对于一般的连续函数或分片连续函数z=f (x, y),当 D {( x, y) | 1 ( x) ≤y≤ 2 ( x) a≤x≤b}时，也有上述 ， 计算公式 b 2 ( x ) f ( x, y )dy dx f ( x, y)dxdy a 1 ( x) 20 D
f ( , )
i 1 i i
n
i
6
最后，当n个小闭区域的最大直径(区域的直 径是指区域边界上任意两点距离的最大值λ 趋于零时, 若上述和式的极限存在，就定义 此极限值为曲顶柱体的体积，即曲顶柱体的 体积 n
V lim f ( i , i )
0
i 1
7
(2) 平面薄片的质量
x

解法2
2
1
x x 9 ( )dx 2 2 8
dy xydx
y 2
1 3
本题积分区域D亦可看成Y型，故又有
xydxdy
D
2
1

2
1
y3 9 (2 y )dy 2 8
27
例6.2.2 计算二重积分
( x y x)dxdy
2 2 D
其中D为闭区域 {(x, y) ｜ 0≤x≤2,x≤y≤2x} . 解 ：区域D的形状如图6.2.6，它是X型区域，故
设有一平面薄片占据xOy平面上的有界闭区域D， 如果薄片的面密度是D上的正值连续函 数 ( x, y) ，要计算此平面薄片的质量， 可以采取类似于上面求曲顶柱体的体积的方法： 2 先将D分成n个子区 ， 1 ，… ， n (如 图6.1.2),
图（6.1.2 ）
8
返回
29
例6.2.3
图6.2.2
19
很明显，平行截面A(x)是一个曲边梯形，曲 边的方程是Z=f (x, y)(对固定的x, 它是y的一元函 数)，底边是xOy面上平行于y轴的直线段，端点 为 1 ( x) 和 2 ( x) ，所以
A( x)
b
2 ( x)
1 ( x )
f ( x, y)dy
将上式代入(6.2.1)，得
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d
D D1 D2
性质4
.
如果在闭区域D上，f (x, y)≤g (x, y), 则有 f ( x, y)d ≤ g ( x, y)d
D
D
特殊地，由于－｜f (x, y)｜≤f (x, y)≤｜f (x, y)｜，故 又有 | f ( x, y) | d ≤ f ( x, y ) d
3
图6.1.1
4
平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式： 体积=(高×底面积)计算. 但曲顶柱体的顶是一张曲面，其高度z=f (x, y)是个 变量，故其体积不能直接由上面的公式计算. 但是在z=f (x, y)是D上的连续函数，并且底面积 又很小的情况下，其高度变化也很小，可把曲顶 柱体近似地看成平顶柱体.
2
2x
若将D看成Y型区域，则应利用可加性，看成两个 子区域上的二重积分之和，有
( x 2 y 2 x)dxdy
32 dy y ( x y x)dx dy y ( x y x)dx 0 2 3 2 2
y 2 2 4 2 2 2
D 2
计算就比较复杂一些 .
第六章 二重积分
数学家——黎曼 第一节 二重积分的概念和性质
第二节
第三节
二重积分的计算
二重积分的应用
1
6.1
二重积分的概念和性质
1. 引入二重积分的概念和性质 2. 二重积分的定义
3. 二重积分的性质
2
§6.1
二重积分的概念和性质
1.引入二重积分的两个实际问题
(1)曲顶柱体的体积 设有一立体，它的底是xOy平面上的有界闭区域 D，侧面是以区域D的边界曲线C为准线而母线 平行于z轴的柱面(平行于定直线并沿定曲线C移 动的直线L形成的轨迹称为柱面，定曲线C称为 柱面的准线，动直线L称为柱面的母线)，它的 顶是由二元连续函数z=f (x, y)所表示的曲面，并 且f (x, y)≥0，这样的立体称为曲顶柱体(下页图 6.1.1)，现在要求这个曲顶柱体的体积.
和式
( , ) 是整个薄片质量M的一
i 1 i i i
n
个近似值，于是 M lim ( i ,i ) i
0
i 1
n
9
2.二重积分的定义
上面两个具体问题的实际意义虽然不同，但 解决问题的思想和方法却是一样的，都归结为求 有界闭区域D上某个二元函数的乘积和式的极限， 由于在物理、力学、几何和科学技术中，许多量 的计算都可归结为这种和式的极限，为了一般地 研究这种和式的极限，可以给出下述定义：
f ( , ) .
i 1 i i i
n
如果当各子区域的最大直径λ趋于零时, 此和式的极 限存在, 则称此极限值为函数f (x, y)在闭区域D上的 二重积分, 记作 f ( x, y)d ,即
D
11
f ( x, y)d lim f ( , )
D 0 i 1 i i
1 ( x)
f ( x, y )dy
(6.2.2)
21
除上述常用的区域D外，还有另外一类常用的区 域，即 D1 {( x, y) | 1 ( y)≤x≤ 2 ( y), c ≤y≤d }, (见图6.2.3)，
图6.2.3
22
类似地有另一种积分次序的计算公式：
f ( x, y)dxdy
10
定义6.1.1 设f (x, y)是有界闭区域D上的有界函 数,将闭区域D任意分成n个小区域 1 ， 2，… ， n , 其中 i 表示第i个小区域, 也表示它的 面积, 在每个子区域 i 上,任取一点 ( i ,i ) ,作 乘积 f ( i ,i ) i 并作和

D
D
16
6.2
二重积分的计算
1. 直角坐标系下二重积分的计算 2. 极坐标系 下二重积分的计算
17
1.直角坐标系下二重积分的计算 设非负连续函数z=f (x, y)定义在由连续曲线 y 1 ( x), y 2 ( x) 与直线x=a, x=b围成的有界闭 区域D上(图6.2.1)，二重积分 f ( x, y )dxdy 的几
14
3.二重积分的性质
二重积分具有与定积分类似的性质，下面给出这 些性质而不作证明，并假定给出的二重积分都存 在。 性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分的 外面，即 kf ( x, y)d k f ( x, y)d (k为常数)
D D
性质2 函数的和(或差)的二重积分等于各个函数 的二重积分的和(或差)，即
[ f ( x, y) g ( x, y)]d f ( x, y)d g ( x, y)d
D D D
15
性质3 (对积分区域的可加性) 如果闭区域D被 有限条曲线分为有限个部分闭区域, 则D上的二重 积分等于各部分闭区域上二重积分的和. 例如D可 分为两个闭区域D１和D２，则

D
根据二重积分的定义，曲顶柱体的体积是
V f ( x, y)d
而平面薄片的质量
D
M ( x, y)d
D
13
一般地，如果f (x, y)≥0，被积函数f (x, y)可解 释为曲顶柱体在点(x, y)处的竖坐标，所以二重 积分的几何意义就是此柱体的体积.如果f (x, y) 是负的，柱体在xOy平面下方，二重积分的值 是负的，其绝对值等于柱体的体积.如果f (x, y) 在区域D的部分区域上是正的，而在其余部分 是负的，可以把xOy平面上方的柱体体积取成 正，xOy平面下方的柱体体积取成负，那末，f (x, y)在D上二重积分就等于这些部分区域上柱 体体积的代数和 .
D1
d
c
dy
2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y )dx, (6.2.3)
公式(6.2.3)称为先对x再对y的二次积分.
以后我们称图6.2.1所表示的积分区域为X型区域， X型区域D的特点是：穿过D内部且平行y轴的直线 与D的边界相交不多于两点.对X型区域，二重积分 可化为先对y，再对x的二次积分.图6.2.3所表示的积 分区域为Y型区域，Y型区域D的特点则是穿过D内 部且平行x轴的直线与D的边界相交不多于两点.对Y 型区域，二重积分可化为先对x，再对y的二次积分 .
常记
dx
a
b
2 ( x)
1 ( x)
2 ( x ) f ( x, y)dy dx f ( x, y)dy a 1 ( x )
b
并称它为先对y再对x的二次积分 (或累次积分)，
因此
f ( x, y)dxdy dx
a D
b
2 ( x)
24
图6.2.4
二重积分化为二次积分时，首先应选择 适当的积分次序，其次是确定积分限.
25
例6.2.1
计算二重积分
xydxdy
D
其中D是由直线y=1, x=2及y=x所围成的闭 区域
解法1 积分区域D图形为图6.2.5，可看成X型的，故
图6.2.5
26
xydxdy
D
2ห้องสมุดไป่ตู้
1
dx xydy
因此，对曲顶柱体，我们也可以类似于求曲边梯 形的面积，用“分割、取近似、求和、求极限” 的方法求其体积.具体做法如下:
5
首先，用一组曲线网将D分割为n个小的闭区域 1， 2 ，…， n , 并且小的闭区域的面积亦 记为 1， 2 ，…， n ，分别以这些小闭区域 的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面， 这样就把整个曲顶柱体分成n个小曲顶柱体 . 其次，在每个小区域 i 上任取一点 ( i ,i ) ，以 i作为底面积，以 ( i ,i )处的函数值 f ( i ,i ) 为高， 得到第i个小曲顶柱体体积的近似值为 f ( i ,i ) i , 并且整个曲顶柱体体积的近似值是
D
何意义是以D为底，以曲面z=f (x, y)为顶的曲顶 柱体的体积V，现在应用计算“平行截面面积为 已知的立体体积”的方法来计算体积V，用平行 于yOz面的平面截曲顶柱体得截面的面积A(x) (a≤x≤b), 则曲顶柱体的体积
V A( x)dx. (6.2.1)
a
18
b
返回 图6.2.1
图6.2.6
28
( x y x)dxdy dx x 2 y 2 x)dy
2 2 0 x D
2
2x
1 3 2 x y y xy dx 0 3 x 2 10 32 3 2 x x dx 0 3 3
23
如果积分区域D既是X型，又是Y型的，则二重积 分就可以表示成两种不同次序的二次积分. 即有
dx
a
b
2 ( x)
1 ( x)
f ( x, y)dy dy
c
d
2 ( x)
1 ( x )
f ( x, y)dx
如果积分区域D与平行于x轴或y轴的直线的交点 多于两点，即D既不是X型区域，又不是Y型区域， 这时可以把D分成几部分，使每个部分是X型区域 或是Y型区域(图6.2.4)，依积分区域的可加性，在 每一部分上将二重积分化为二次积分来计算 .
n
i
(6.1.1)
其中f (x, y)称为被积函数，f (x, y)dσ称为被积 表达式，dσ称为面积元素，x, y称为积分变量， D称为积分区域 . 由二重积分定义可知，二重积分的值是与区域D的 分法无关的.在直角坐标系下，可以用分别平行于坐 标轴的直线网来分割D，此时，除了包含边界点的一 些小子区域外，其余的都是边界分别为 xi 和yi 的 矩形闭区域，其面积为
i xi yi
12
因此在直角坐标系中，有时也把面积元素dσ记作 dxdy，而把二重积分记作 f ( x, y)dxdy, (6.1.2)

D
其中dxdy称为直角坐标系下的面积元素 .
可以证明，若f (x, y)在有界闭区域D上连续，则 二重积分 f ( x, y)d 必存在 .