向量的加法及几何意义

向量加法运算及其几何意义
我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？
1．向量的加法
(1)定义：求两个向量__和__的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个__向量__．
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点，作AB →＝a ，BC →
＝b ，则向量 AC →
叫做向量a 与b 的和，记作a ＋b .这种求__向量和__的方法叫做向量加法的三角形法则．
(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a 、b (如图乙所示)，作AB →＝a ，AD →
＝b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB →、AD →为邻边作平行四边形ABCD ，则向量 AC →
＝a ＋b ，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
[知识点拨]向量加法的平行四边形法则和三角形法则
(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了．
(3)向量求和的多边形法则
①已知n 个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为
这n 个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．即
A 0A 1→＋A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －2A n －1＋A n －1A n ＝A 0A n →
②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0． 2．向量加法的交换律
已知向量a 、b ，如图所示，作AB →＝a ，BC →＝b ，如果A 、B 、C 不共线，则AC →
＝a ＋b ． 作AD →＝b ，连接DC ，如果我们能证明DC →
＝a ，那么也就证明了加法交换律成立． 由作图可知，AD →＝BC →＝b ，所以四边形ABCD 是平行四边形，这就证明了DC →
＝a ，即a ＋b ＝b ＋a .向量的加法满足交换律．
3．向量加法的结合律
如图，作AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，由向量加法的定义，知AC →＝AB →＋BC →
＝a ＋b ，
BD →＝BC →＋CD →
＝b ＋c ，
所以AD →＝AC →＋CD →＝(a ＋b )＋c ，AD →＝AB →＋BD →
＝a ＋(b ＋c )． 从而(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，即向量的加法满足结合律．
[知识点拨]1.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律： 一质点从点A 出发，①先走过的位移为向量a ，再走过
的位移为向量b ，②先走过的位移为向量b ，再走过的位移为向量a ，则方案①②中质点A 一定会到达同一终点．
2．多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行．如(a ＋b )＋(c ＋d )＝(b ＋d )＋(a ＋c )；a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝[d ＋(a ＋c )]＋(b ＋e )．
1．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( C )
A ．A
B →＝D
C →
B ．AD →＋AB →＝A
C → C ．AB →＝B
D →＋AD → D ．AD →＋CB →＝0
[解析] 因为AB →＝AD →＋DB →≠BD →＋AD →
，所以，C 错误． 2．化简PB →＋OP →＋BO →
＝ 0 ．
[解析] PB →＋OP →＋BO →＝(OP →＋PB →)＋BO →＝OB →＋BO →
＝0．
3．如图所示，已知向量a 、b 、c 不共线，求作向量a ＋b ＋c ．
[解析] a 、b 、c 不共线中隐含着a ，b ，c 均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．
解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作AB →＝a ，BC ＝b ，则AC →＝a ＋b ，再作CD →
＝c ，则AD →＝AC →＋CD →＝(a ＋b )＋c ，即AD →
＝a ＋b ＋c ．
解法二：(平行四边形法则)：∵a 、b 、c 不共线，如图(2)所示． 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ， 以OA →、OB →
为邻边作▱OADB ， 则对角线OD →＝a ＋b ，再作OC →
＝c ， 以OC →、OD →
为邻边作▱OCED ． 则OE →
＝a ＋b ＋c ．
命题方向1 ⇨向量的加法及几何意义 典例1 (1)如图，已知a 、b ，求作a ＋b ．
(2)如图所示，已知向量a 、b 、c ，试作出向量a ＋b ＋c ．
[思路分析] (2)本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．
[解析] (1)
①AC →＝a ＋b ②AC →
＝a ＋b
(2)作法1：如图1所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →
＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ；然后作向量BC →＝c ，则向量OC →
＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．
作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，以OA 、OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →
＝a ＋b .再以OD 、OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则OE →
＝OD →＋OC →
＝a ＋b ＋c 即为所求．
『规律总结』 (1)当两个不共线向量求和时，三角形法则和平行四边形法则都可以用． (2)多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和． 〔跟踪练习1〕如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a 与b 的和．
[解析] 如下图中(1)、(2)所示，
首先作OA →＝a ，然后作AB →＝b ，则OB →
＝a ＋b ． 命题方向2 ⇨向量加法运算律的应用 典例2 化简下列各式： (1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →； (2)(AB →＋DE →)＋CD →＋BC →＋EA →．
[思路分析] 首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和．
[解析] (1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →
＝AD →＋DA →
＝0．
(2)(AB →＋DE →)＋CD →＋BC →＋EA → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DE →)＋EA → ＝AC →＋CE →＋EA → ＝AE →＋EA →
＝0．
『规律总结』 向量运算中化简的两种方法：
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．
〔跟踪练习2〕如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，F 为线段DE 延长线上一点，DE ∥BC ，AB ∥CF ，连接CD ，那么(在横线上只填上一个向量)：
(1)AB →＋DF →＝ AC →
； (2)AD →＋FC →＝ AB →
； (3)AD →＋BC →＋FC →＝ AC →
．
[解析] 由已知可得四边形DFCB 是平行四边形． (1)易知DF →＝BC →
．
由三角形法则得：AB →＋DF →＝AB →＋BC →＝AC →
． (2)易知FC →＝DB →，所以AD →＋FC →＝AD →＋DB →＝AB →
． (3)AD →＋BC →＋FC →＝AD →＋DF →＋FC →＝AC →． 向量加法的实际应用
向量加法的实际应用中，要注意如下应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．
典例3 在某地抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
[思路分析] 解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解．
[解析] 如图所示，设AB →，BC →
分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800km ．
则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →． 依题意，有|AB →|＋|BC →
|＝800＋800＝1 600(km)． 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°． 所以|AC →|＝
|AB →
|2＋|BC →
|2
＝8002＋8002＝8002(km)．
其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°．
从而飞机飞行的路程是1600km ，两次飞行的位移和的大小为8002km ，方向为北偏东80°．
〔跟踪练习3〕如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
[解析] 如图，设CE →、CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →
＝CG →．
易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°， ∴|CE →|＝|CG →
|cos30°＝10×32＝53．
|CF →|＝|CG →
|cos60°＝10×12
＝5．
∴A 处所受的力的大小为53N ，B 处所受的力的大小为5 N ． 用平行四边形法则作平行向量的和 典例4
如图，已知平行向量a ，b ，求作a ＋b ． [错解]
作OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →
＝a ＋b 就是求作的向量．
[辨析] 由于a ∥b ，所以不适合用平行四边形法则，应该用三角形法则． [正解]
作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →
＝a ＋b 就是求作的向量．
[点评] 1.当a 与b 同向共线时，a ＋b 与a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |．
2．当a 与b 反向共线时，若|a |>|b |，则a ＋b 与a 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 与b 的方向相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |；若|a |＝|b |，则a ＋b ＝0．
〔跟踪练习4〕已知向量a ∥b ，且|a|>|b|>0，则向量a ＋b 的方向( A ) A ．与向量a 的方向相同
B ．与向量a 的方向相反
C ．与向量b 的方向相同
D ．不确定
1．设a 表示“向东走5 km ”，b 表示“向南走5 km ”，则a ＋b 表示( D ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 km D ．向东南走5 2km
[解析] 如图所示，
AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →
|＝52，∠BAC ＝45°． 2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( B ) A ．EF →＝OF →＋OE →
B ．EF →＋OE →＝OF →
C ．EF →＝FO →＋OE →
D ．EF →＝FO →＋EO →
[解析] 可以画出图形，用三角形法则找出正确答案． 3．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →
化简结果为( C ) A ．BC → B ．AB → C ．AC →
D ．AM →
[解析] 原式＝AB →＋BO →＋MB →＋BC →＋OM →＝AO →＋OM →＋MC →＝AM →＋MC →＝AC →
． 4．已知P 为△ABC 所在平面内一点，当P A →＋PB →＝PC →
成立时，点P 位于( D ) A ．△ABC 的AB 边上 B ．△ABC 的BC 边上 C ．△ABC 的内部
D ．△ABC 的外部
[解析] 如图P A →＋PB →＝PC →
，则P 在△ABC 的外部．
5．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( C ) A ．AB →＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD →
D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →
[解析] 因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →
．
A 级 基础巩固
一、选择题
1．下列等式中不正确的是( C ) A ．a ＋0＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C ．|a ＋b |＝|a |＋|b |
D ．AC →＝DC →＋AB →＋BD →
[解析] 当a 与b 方向不同时，|a ＋b |≠|a |＋|b |． 2．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →
＝b ，则a ＋b 等于( D ) A ．CA → B ．BC → C ．AB →
D ．AC →
[解析] AB →＋BC →＝AC →
．
3．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( A ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a 、b 是共线向量 C ．a ＝－b
D ．a 、b 无论什么关系均可
[解析] 当两个非零向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a 、b 的方向都不相同，且|a ＋b |<|a |＋|b |；向量a 与b 同向时，a ＋b 的方向与a 、b 的方向都相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |；向量a 与b 反向且|a |<|b |时，a ＋b 的方向与b 的方向相同(与a 方向相反)，且|a ＋b |＝|b |－|a |．
4．如图，正六边ABCDEF 中，BA →＋CD →＋FE →
＝( B )
A ．0
B ．BE →
C ．A
D →
D ．CF →
[解析] 连结CF ，取CF 中点O ，连结OE ，CE ． 则BA →＋CD →＋FE →＝(BA →＋AF →)＋FE →＝BE →．
5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|AB →＋BC →
|，则△ABC 是( B ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
[解析] AB →＋BC →＝AC →，则|AB →|＝|BC →|＝|AC →
|， 则△ABC 是等边三角形．
6．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →
，则( C ) A ．P A →＋PB →
＝0 B ．PB →＋PC →＝0 C ．PC →＋P A →
＝0
D ．P A →＋PB →＋PC →＝0
[解析] ∵BC →＋BA →＝2BP →
，
∴由平行四边形法则，点P 为线段AC 的中点， ∴PC →＋P A →
＝0.故选C ． 二、填空题 7．化简下列各式： (1)AB →＋BC →＋CA →＝ O →
； (2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝ BA →
；
(3)化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝ AC →
． [解析] (1)AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →
＝0；
(2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝(CO →＋OA →)＋(BO →＋OC →)＝CA →＋BC →＝BA →． (3)AC →．
8．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝ OC →
．
[解析] OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →
． 三、解答题 9．如图所示，求：
(1)a ＋d ； (2)c ＋b ； (3)e ＋c ＋b ； (4)c ＋f ＋b ．
[解析] (1)a ＋d ＝d ＋a ＝DO →＋OA →＝DA →
； (2)c ＋b ＝CO →＋OB →＝CB →
；
(3)e ＋c ＋b ＝e ＋(c ＋b )＝e ＋CB →＝DC →＋CB →＝DB →
； (4)c ＋f ＋b ＝CO →＋OB →＋BA →＝CA →
．
10．如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的中点．求证：
(1)AB →＋BE →＝AC →＋CE →； (2)EA →＋FB →＋DC →
＝0．
[证明] (1)由向量加法的三角形法则， ∵AB →＋BE →＝AE →，AC →＋CE →＝AE →， ∴AB →＋BE →＝AC →＋CE →．
(2)由向量加法的平行四边形法则，
∵EA →＝EF →＋ED →，FB →＝FE →＋FD →，DC →＝DF →＋DE →， ∴EA →＋FB →＋DC →＝EF →＋ED →＋FE →＋FD →＋DF →＋DE → ＝(EF →＋FE →)＋(ED →＋DE →)＋(FD →＋DF →) ＝0＋0＋0＝0．
B 级 素养提升
一、选择题
1．已知|AB →|＝10，|AC →|＝7，则|BC →
|的取值范围是( A ) A ．[3,17] B ．(3,17) C ．(3,10)
D ．[3,10]
[解析] 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及AB →与AC →
共线时的情况求解．
即|AB →|－|AC →|≤|BC →|≤|AC →|＋|AB →|，故3≤|BC →
|≤17．
2．向量a 、b 均为非零向量，下列说法中不正确的是( B ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同
[解析] 当a 与b 反向，且|a |<|b |时，向量a ＋b 与b 的方向相同．
3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →
)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( C ) ①a ∥b ②a ＋b ＝a ③a ＋b ＝b ④|a ＋b |<|a |＋|b | ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b | ⑥|a ＋b |>|a |＋|b |
A ．①②⑥
B ．①③⑥
C ．①③⑤
D ．②③④⑤
[解析] ∵a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →) ＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA → ＝AD →＋DA →
＝0， ∴①③⑤均正确．
4．若M 为△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →
共线的是( C ) A ．AB →＋BC →＋AC → B ．AM →＋MB →＋BC → C ．AM →＋BM →＋CM →
D ．3AM →＋AC → [解析] 由三角形重心性质得AM →＋BM →＋CM →
＝0． 二、填空题
5．某人在静水中游泳，速度为4 3 km /h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为 4 km/h ，他实际沿__沿与水流方向成60°的(答案不唯一)__方向前进，速度为__8_km/h__．
[解析] ∵OB ＝43，OA ＝4， ∴OC ＝8，∴∠COA ＝60°．
6．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，向量|AB →|＝1，则|BC →＋CD →
|＝__1__．
[解析] 在△ABD 中，AD ＝AB ＝1，∠DAB ＝60°，△ABC 是等边三角形，则BD ＝1，
则|BC →＋CD →|＝|BD →
|＝1．
三、解答题
7．如图所示，∠AOB ＝∠BOC ＝120°，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，求OA →＋OB →＋OC →
．
[解析] 如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四这形OADB ，由向量加法的平行四边形法则知OA →＋OB →＝OD →．
由|OA →|＝|OB →
|，∠AOB ＝120°， 知∠BOD ＝60°，|OB →|＝|OD →|． 又∠COB ＝120°，且|OB →|＝|OC →|． ∴OD →＋OC →
＝0， 故OA →＋OB →＋OC →
＝0．
8．如图所示，已知矩形ABCD 中，|AD →|＝43，设AB →＝a ，BC →＝b ，BD →
＝c ，试求|a ＋b ＋c |的大小．
[解析] 如图所示，过D 作AC 的平行线，交BC 的延长线于点E ．
∵DE ∥AC ，AD ∥BE ，
∴四边形ADEC 为平行四边形， ∴DE →＝AC →，CE →＝AD →， 于是a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋BD →
＝AC →＋BD →＝DE →＋BD →＝BE →＝AD →＋AD →， ∴|a ＋b ＋c |＝|AD →＋AD →
|＝83．
C 级 能力拔高
如图，已知△ABC 是直角三角形，且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是__①②③④__．
①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋BC →|＝|CA →|； ③|AB →＋CA →|＝|BC →|； ④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2．。