唐山市2017—2018学年度高三年级二模数学理科试卷及解析

唐山市2017—2018学年度高三年级第二次模拟考试
理科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U =R ，{}10A x x =+<，集合{}2|log 1B x x =<，则集合()U A B =
I ð（ ） A ．[1,2]- B ．(0,2) C ．[1,)-+∞ D ．[1,1)- 2．复数1(i
z i a i
+=
-是虚数单位，a R ∈）是纯虚数，则z 的虚部为（ ） A ．1
2
B ．i
C ．2
D ．2i
3.设m R ∈，则“1m =”是“()22x f x m =⋅+ ”为偶函数的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4.若[0,]x π∈，则函数()cos sin f x x x =-的增区间为 （ ）
A ．[0,]4π
B ．[,]4ππ
C ．3[0,]4π
D ．3[,]4
π
π
5. 已知双曲线22:2C x y -=的左右焦点12,,F F O 分别为为坐标原点，点P 在双曲线C 上，且2OP =，则12PF F S ∆=（ ）
A ．4
B ．．2 D 6. 如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为（ ）
A ．2π
B ．5π
C ．8π
D ．10π
7. 设{}n a 是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为,,X Y Z ，
则下列等式中恒成立的是（ ） A ．23X Z Y += B ．44X Z Y += C ．237X Z Y += D ．86X Z Y +=
8. 椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>右焦点为F ，存在直线y t =与椭圆C 交于,A B 两
点，使得ABF ∆为等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率e = （ ）
A B 1 C 1 D ．12
9. 甲乙等4人参加4100⨯米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）
A ．29
B ．49
C ．23
D ．7
9
10. 下图是某桌球游戏计分程序框图，下列选项中输出数据不符合该程序的为（ ）
A ．15,120i S ==
B ．13,98i S ==
C ．11,88i S ==
D ．11,81i S ==
11. 已知函数()f x 满足()()f x f x '>，在下列不等关系中，一定成立的是（ ） A ．()()12ef f > B ．()()12ef f < C ．()()12f ef > D ．()()12f ef <
12. 在ABC ∆中，0
90,6C AB ∠==，
点P 满足2CP =，则P AP B ⋅u r u
r 的最大值为（ ）
A ．9
B ．16
C ．18
D ．25
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.261
()x x
+展开式的常数项为 ．（用数字作答）
14.曲线3y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．
15. 在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，
2SD AD ==，三棱柱111MNP M N P -的顶点都位于四棱锥
S ABCD -的棱上，已知,,M N P 分别是棱,,AB AD AS 的中点，则三棱柱111MNP M N P -的体积为 ． 16.数列{}n a 满足132n n n a a +=-，若n N +∈时，1n n a a +>，则1a 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 如图，在平面四边形ABCD 中，02,90AB AC ADC CAB ==∠=∠=,设
DAC θ∠=.
（1）若060θ=，求BD 的长度； （2）若030ADB ∠=，求tan θ.
18. 为了研究黏虫孵化的平均温度x （单位：0C ）与孵化天数y 之间的关系，某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据：
他们分别用两种模型①y bx a =+，②dx y ce =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：
经计算得21
1
17,13.5,1297,1774n
n
i i i i i x y x y x ======∑∑，
（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立y 关于x 的线性回归方程.（精确到0.1）
1
2
1
()()
ˆˆ,()
n
i
i
i n
i
i x x y y b a
y bx x x =---=
=--∑∑ ，. 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C
-
中，01
90ACB AAC ∠=∠=，平面11AACC ⊥平面ABC .
（1）求证：11CC A B ⊥；
（2）若12BC AC AA ==，求11A BC A --.
20. 已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，交y 轴于点,C O 为坐标原点.
（1）若4OA OB k k +=,求直线l 的方程；
（2）线段AB 的垂直平分线与直线,l x 轴，y 轴分别交于点,,D M N ，求NDC
FDM
S S ∆∆ 的最小值. 21.设()()2ln ,1
x x
f x
g x a x x =
=+- . （1）证明：()f x 在(0,1)上单调递减； （2）若01a x <<<，证明：()1g x >.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线1:2sin C ρθ=，曲线2:cos 3C ρθ=，点(1,)P π，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；
（2）过点P 的直线l 交1C 于点,A B ，交2C 于点Q ，若PA PB PQ λ+=，求λ的最大值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知220,0,0,0,1,1a b c d a b ab cd >>>>+=+>. （1）求证：2a b +≤；
（2
c d =+ 能否成立，并说明理由.
唐山市2017—2018学年度高三年级第二次模拟考试
理科数学参考答案
一．选择题：
A卷：BACDB CDBDC AB
B卷：BACDC CDBDB AB
二．填空题：
（13）15 （14）1
2
（15）1 （16）[2，＋∞)
三．解答题：
17．解：
（1）由题意可知，AD＝1．
在△ABD中，∠DAB＝150°，AB＝23，AD＝1，由余弦定理可知，
BD2＝(23)2＋12－2×23×1×(－
3
2
)＝19,
BD＝19．
（2）由题意可知，AD＝2cosθ，∠ABD＝60°－θ，在△ABD中，由正弦定理可知，
AD sin∠ABD ＝
AB
sin∠ADB
，
即
2cosθ
sin(60°－θ)
＝43，
整理得ｔａｎθ＝23 3
．
18．解：
（1）应该选择模型①．
（2）剔除异常数据，即组号为4的数据，
剩下数据的平均数x－＝1
5
(18×6－18)＝18；
y－＝1
5
(12.25×6－13.5)＝12．
5
i ＝1
∑x i y i ＝1283.01－18×13.5＝1040.01；
5i ＝1
∑x 2i ＝1964.34－182
＝1640.34．
b ˆ＝n
i ＝1
∑x i y i －n ·x -y
-n i ＝1
∑x 2i －nx
-2＝1040.01－5×18×121640.34－5×182
≈－1.97，
a ˆ＝y -－
b ˆx -＝12＋1.97×18≈47.5，
所以y 关于x 的线性回归方程为：y ˆ＝－2.0x ＋47.5．
19．解：
（1）因为平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，交线为AC ，又BC ⊥AC ， 所以BC ⊥平面AA 1C 1C ， 因为C 1C
平面AA 1C 1C ，
从而有BC ⊥C 1C ．
因为∠A 1CC 1＝90°，所以A 1C ⊥C 1C ， 又因为BC ∩A 1C ＝C ， 所以C 1C ⊥平面A 1BC ，
A 1
B 平面A 1B
C ， 所以CC 1⊥A 1B ．
（2）如图，以C 为坐标原点，分别以CB →，CA →的方向为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系ｃ－ｘｙｚ．
由∠A 1CC 1＝90°，AC ＝2AA 1得
A 1C ＝AA 1．
不妨设BC ＝AC ＝2AA 1＝2，
则B (2，0，0)，C 1(0，－1，1)，A (0，2，0)，A 1(0，1，1)，
所以A 1C 1→＝(0，－2，0)，BC 1→＝(－2，－1，1)，AB →＝(2，－2，0)， 设平面A 1BC 1的一个法向量为m ，
由A 1C 1→·m ＝0，BC 1→·m ＝0，可取m ＝(1，0，2)．
设平面ABC 1的一个法向量为n ，
由BC 1→·n ＝0，AB →·n ＝0，可取n ＝(1，1，3)．
cos
m ，n ＝
m ·n |m ||n |＝755
55
，
又因为二面角A 1-BC 1-A 为锐二面角， 所以二面角A 1-BC 1-A 的余弦值为755
55
．
20．解：
（1）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0，
y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．
所以ｋｏａ＋ｋｏｂ＝
4 y 1＋
4 y 2＝
4(y 1＋y 2)
y 1y 2
＝－4m ＝4．
所以m ＝－1，
所以l 的方程为x ＋y －1＝0．
（2）由（1）可知，m ≠0，C (0，－
1
m
)，D (2m 2＋1，2m )．
则直线MN 的方程为y －2m ＝－m (x －2m 2－1)，则
M (2m 2＋3，0)，N (0，2m 3＋3m )，F (1，0)，
S △NDC ＝
1 2·|NC |·|ｘｄ|＝ 1 2·|2m 3＋3m ＋ 1 m |·(2m 2
＋1)＝(m 2＋1)(2m 2＋1)22|m |
，
S △FDM ＝
1 2
·|FM |·|ｘｄ|＝
1 2
·(2m 2＋2)·2|m |＝2|m | (m 2＋1)，
则
S △NDC S △FDM
＝(2m 2＋1)24m 2＝m 2＋ 1 4m
2＋1≥2，
当且仅当m2＝
1
4m2
，即m2＝
1
2
时取等号．
所以，
S△NDC
S△FDM
的最小值为2．
其它解法参考答案给分．21．解：
（1）f(x)＝1－
1
x
－ln x
(x－1)2
．
令h(x)＝1－1
x
－ｌｎｘ，则h(x)＝
1
x2
－
1
x
＝
1－x
x2
，x＞0，
所以0＜x＜1时，h(x)＞0，h(x)单调递增，
又h(1)＝0，所以h(x)＜0，
即f(x)＜0，所以f(x)单调递减．
（2）g(x)＝ａｘｌｎａ＋ａｘａ－１＝a(a x－1ln a＋ｘａ－１)，
当0＜a≤1
e
时，ｌｎａ≤－1，所以a x－1ln a＋ｘａ－１≤ｘａ－１－a x－1．
由（Ⅰ）得ln x
x－1
＜
ln a
a－1
，所以(a－1)ｌｎｘ＜(x－1)ｌｎａ，即ｘａ－１＜a x
－1，
所以g(x)＜0，g(x)在(a，1)上单调递减，即g(x)＞g(1)＝a＋1＞1．
当1
e
＜a＜1时，－1＜ｌｎａ＜0．
令t(x)＝a x－ｘｌｎａ－1，0＜a＜x＜1，则t(x)＝a x ln a－ｌｎａ＝(a x －1)ｌｎａ＞0，
所以t(x)在(0，1)上单调递增，即t(x)＞t(0)＝0，
所以a x＞ｘｌｎａ＋1．
所以g (x )＝a x ＋x a ＞x a ＋ｘｌｎａ＋1＝x (x a －1＋ｌｎａ＋1＞x (1＋ｌｎａ)＋1＞1．
综上，g (x )＞1．
22．解：
（1）曲线C 1的直角坐标方程为：x 2＋y 2－2y ＝0；
曲线C 2的直角坐标方程为：x ＝3．
（2）P 的直角坐标为(－1，0)，设直线l 的倾斜角为α，(0＜α＜ π
2
)， 则直线l
的参数方程为：⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝－1＋t cos α
，
y ＝t sin α，
(t 为参数，0＜α＜
π
2
) 代入C 1的直角坐标方程整理得，
t 2－2(ｓｉｎａ＋ｃｏｓａ)t ＋1＝0， t 1＋t 2＝2(ｓｉｎａ＋ｃｏｓａ)
直线l 的参数方程与x ＝3联立解得，t 3＝4
cos α，
由t 的几何意义可知，
|PA |＋|PB |＝2(ｓｉｎａ＋ｃｏｓａ)＝λ|PQ |＝
4λ
cos α
，整理得， 4λ＝2(ｓｉｎａ＋ｃｏｓａ)ｃｏｓａ＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2sin (2α＋ π
4
)＋1， 由0＜α＜ π 2， π 4＜2α＋ π 4＜5π
4，
所以，当2α＋ π 4＝ π 2，即α＝ π 8时，λ有最大值 1
4
(2＋1)．
23．解：
（1）由题意得(a ＋b )2
＝3ab ＋1≤3(a ＋b 2
)2＋1，当且仅当a ＝b 时，取等号．
解得(a ＋b )2
≤4，又a ，b ＞0， 所以，a ＋b ≤2．
（2）不能成立．
唐山市2017—2018学年度高三年级二模数学理科试卷及解析
ac＋bd≤a＋c
2
＋
b＋d
2
，
因为a＋b≤2，
所以ac＋bd≤1＋c＋d 2
，
因为c＞0，d＞0，ＣＤ＞1，
所以c＋d＝c＋d
2
＋
c＋d
2
≥
c＋d
2
＋cd＞
c＋d
2
＋1，
故ac ＋bd ＝c＋d不能成立．。