最新-2018学年度高三摸底考试 精品

2018-2018学年度高三摸底考试
（潮州金山中学——揭阳一中联考）
理科数学
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，有且只有一项是符合题目要求的．
1、已知集合{}{}
2
|||2,|0M x x N x x x =<=->，则M
N = （ ）
A 、∅
B 、R
C 、M
D 、N 2
．在复平面内，复数 2
1i
+ 对应的点与原点的距离是（ ） A. 1
B.
C.2
D. 3．已知,a b R Î，则“33log log a b >”是 “11()(2
2
a
b
<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率（ ） A ．4
B ．
4
1
C ．－4
D ．－14
5．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李 的费用为：不超过50 kg 按0.53元/kg 收费，超过
50 kg 的部分按0.85元/kg 收费.相应收费系统的流
程图如右图所示，则①处应填（ ）
.A 0.85y x =
.B 500.53(50)0.85y x =⨯+-⨯ .C 0.53y x = .D 500.530.85y x =⨯+
6．若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，
的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ ） A. 2
4x y = B.2
12y x = C. 2
12x y = D.2
6x y =
7.若点y)x,（在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-≤-022010
2y x y x 表示的平面区域内运动，则y x t -=的取值范围是
（ ）
]1,2.[--A ]1,2.[-B ]2,1.[-C ]2,1.[D 8.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(1)0f =，则不等式()()
0f x f x x
--<的解集是
（ ） A 、()
()1,01,-+∞ B 、()(),10,1-∞-
C 、()(),11,-∞-+∞
D 、()()1,00,1-
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做
题两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答
9．函数2sin y x x =-在(0,)π上的单调递增区间为 10．若5)1(-ax 的展开式中3
x 的系数是80，则实数a 的值是 . 11.若关于x 的方程2
210ax x ++=只有负实根，则实数a 的取值范是 ；
12.设()y f x =是一次函数，若()01f =且()()()1,4,13f f f 成等比数列，则()()()242f f f n ++
+=
； 13.设11
,1,2a b a b a b
+=+为正数,且则
的最小值是 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14．已知直线的极坐标方程为2
2
)4
sin(=
+
π
θρ，则点（2，47π）到这条直线的距离为
15. 如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，
且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD= 。

三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步
骤．
16. （12分）设函数2
()2cos sin 2()f x x x a a R =++∈．
（1）求函数()f x 的最小正周期． （2）当[0,]6
x π
∈时，()f x 的最大值为2，求a 的值，
A
17．（ 12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格
就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为
12
，乙、丙面试合格的概率都是1
3，且面试是否合格互不影响．求：
（1）至少有1人面试合格的概率; （2）签约人数ξ的分布列和数学期望．
18．（ 14分）
如图，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上． （Ⅰ）求证：1BC A D ⊥；
（Ⅱ）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （Ⅲ）求三棱锥1A BCD -的体积．
19.（14分）
已知圆C 方程为：224x y +=.
（
1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程； （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+（O 为原点），求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
20、（14分）
数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足22 (2)21
n n n S a n S =≥-
（1）求证：数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式 （3）设存在正数k ，使()()(
)12111n S S S +++≥n N *∈都成立，求k 的
最大值。

21．（本题满分14分）
已知函数2()ln f x x a x =-(常数0)a >.
(Ⅰ) 当3a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数()f x 在区间(1,)a e 上零点的个数（e 为自然对数的底数）.
高三摸底考试数学（理科）答题卷
一、选择题
题号
一
二
三
总分
1
6
17
18
19
20
21
分数
___________学号__________
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二填空题
9．10．11．
12．13. （）
三、解答题
16．（12分）
17．（12分）
18．（14分）
A
A
19（14分）
20．（14分）21．（14分）
高三摸底考试数学（理科）参考答案
一、B B A A B C C D 二、9、(
,)3
π
π 10、2 11、[0，1] 12、n(2n+3)
13、3 14 1532
三、
16. 解(1)
2()2cos sin 21cos 2sin 2)14
f x x x a x x a x a π
=++=+++=+++ -2分
则()f x 的最小正周期2T π
πω=
=， ……………4分
2()4228
k x k x k Z ππ
ππ
π+
=+⇒=+∈为()f x 的对称轴．…………7分 （2）当[0,]6x π∈时724412x πππ
⇒≤+≤， ------ 9分
当242x ππ+=，即8x π=时sin(2)14
x π
+=．
所以max ()121f x a a =+=⇒=． 12分
17.解: 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，
且11
(),()()23
P A P B P C =
==. -----------------------2分 （1）至少有1人面试合格的概率是
1227
1()1()()()1.2339
P ABC P A P B P C -=-=-⨯⨯=-------------4分
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3. --------------- ------------5分 ∵ (0)()()()P P ABC P AB C P ABC ξ==++
＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ ＝
1121211224
.2332332339
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= -----------6分 (1)()()()P P A B C P A B C P A
B C ξ==++
=()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++
=1211121224
.2332332339
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=--------------------------------7分 1111
(2)()()()().23318P P A B C P A P B P C ξ====
⨯⨯=-------8分 1111
(3)()()()().23318
P P A B C P A P B P C ξ====⨯⨯=---------------9分 ∴ξ的分布列是
--10分
ξ的期望441113
0123.99181818
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------12分
18. 证明：（Ⅰ）∵ 1A 在平面BCD 上的射影O 在CD 上，
∴ 1AO ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ∴ 1BC AO ⊥……2分
又,,1O CO O A CO BC =⊥
∴ BC ⊥平面1ACD ，又11A D ACD ⊂平面，∴ 1BC A D ⊥ …4分 （Ⅱ）∵ ABCD 为矩形 ，∴ 11A D A B ⊥
由（Ⅰ）知B BC B A BC D A =⊥ 11, ∴ 1A D ⊥平面1A BC ，又1A D ⊂平面1A BD
∴ 平面1A BC ⊥平面1A BD ……………………8分 （Ⅲ）∵ 1A D ⊥平面 1A BC ， ∴ 11A D AC ⊥．…………10分
∵ 16,10A D CD ==， ∴ 1
8AC =， ………12分 ∴ 1111
(68)64832
A BCD D A BC V V --==
⋅⋅⋅⋅= …………14分 19. 解：（1）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()
3
,1和()
3,1-，其距离为32 满足题意 …1分
②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ……3分
∴1
|2|12++-=
k k ，3
4
k =
， 故所求直线方程为3450x y -+=
综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………7分 （2）设点M 的坐标为()00,y x （00y ≠），Q 点坐标为()y x ,
则N 点坐标是()0,0y …………9分
∵OQ OM ON =+，
∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，
2
0y
y =
…………11分 又∵420
2
=+y x ，∴2
2
4(0)4
y x y +=≠ ∴Q 点的轨迹方程是
22
1(0)416
x y y +=≠， …13分 轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去长轴端点。

……14分
20、解（1）因为2n ≥时，2
112 21
n n n n n n n S a S S S S S --=-∴-=-得 112n n n n S S S S ---=⋅
----------------2分
由题意 0 (2)n S n ≠≥ ()1
11 2 2n n n S S -∴
-=≥ 又111S a == 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭
是以111S =为首项，2为公差的等差数列 -- 4分
（2）由（1）有
1
1(1)221n
n n S =+-⨯=- ()1 21n S n N n *∴=
∈- --5分 2n ∴≥时，1112
212(1)1(21)(23)
n n n a S S n n n n -=-=
-=-
-------- 7分 又111a S == 1 (1)2
(2)(21)(23)n n a n n n =⎧⎪
∴=⎨-≥⎪--⎩
-- （8分） （3）设
111()S S S F n +++=
则
(1)4
1()F n F n +===>-11分
()F n ∴在n N *
∈上递增 故使()F n k ≥恒成立只需min ()k F n
≤
又min ()(1)3F n F == 又
0k > 03
k ∴<≤ -------13分
所以k . ---------------（14） 21．(本小题满分14分)
解：(Ⅰ)当 3a =时，2
()3ln f x x x =-3
()2f x x x
'∴=-
. …1分 (1)1f '∴=-. 又(1)1f =，
∴曲线()y f x =在点(1
(1))f ，处的切线方程为1(1)y x -=--.即20x y +-=.…3分 (Ⅱ)（1）下面先证明：> (0)a
a a ≥e ．
设 () (0)a g a a a =-≥e ，则0
() 1 10 (0)a g a a '=-≥-=≥e e ，
且仅当()00g a a '=⇔=，所以，()g a 在),0[+∞上是增函数，故()(0)10g a g ≥=>．
所以，0a
a ->e ，即> (0)a
a a ≥e ． …………………………5分
（2）因为2
()ln f x x a x =-，所以22()2a x a
f x x x x
-'=-
=
2(22x x x
+=.
因为当02x <<
时，()0f x '<
，当2
x >时，()0f x '>.
又2 (0,2)22a a a
a a a a a <<<≥<⇒<e e e ，所以()f x
在0,2⎛ ⎝⎦上是减函数，
在2⎫+∞⎪⎪⎣⎭
上是增函数.
所以，min ()(1ln ).22a a
f x f ==- …9分 （3）下面讨论函数()f x 的零点情况． ①当
(1ln )022a a
->，即02a e <<时，函数()f x 在(1,)a e 上无零点； ②)当
(1ln )022a a -=，即2a e =
时，2=
12
a e << 而(1)10f =>
，0f =()0,a f e >∴()f x 在(1,)a e 上有一个零点； ③当
(1ln )022a a -<，即2a e >
时，1a >>>e , 由于01)1(>=f
，(1ln )022
a a
f =-<， 2()ln a a a f e e a e =-22()()0a a a e a e a e a =-=-+>，
所以，函数()f x 在(1,)a
e 上有两个零点. ……………………………………13分
综上所述，()f x 在(1,)a
e 上，我们有结论：当02a e <<时，函数()
f x 无零点；当2a e =时，函数()f x 有一个零点；当2a e >时，函数()f x 有两个零点. ………………………………14分
解法二：(Ⅱ)依题意，可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
2
2()2a x a f x x x x
-'=-
=
2(22x x x
-
=. ………5分
∴当0x <<
()0f x '<
，当x >()0f x '>. ()f x ∴
在⎛ ⎝⎦
上是减函数，在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上是增函数.
min ()(
(1ln ).222
a a
f x f ∴==- ……………………6分 设()bx
x
g x e b
=-
（0x ≥，常数1)b ≥. 21()1
(),x b bx b e g x be b b
-'=-=∴当[)0,x ∈+∞时，()0,g x '≥
且仅当0,1x b ==时，()0,g x '=()g x ∴在[)0,+∞上是增函数. ∴当[)0,x ∈+∞时，()(0)1g x g ≥=，∴当1,0b x ≥>时，10bx
x
e b
-
>>
取2,b x a ==，得20,2a
a e -
>由此得a e >. …………9分 取1,b x a ==得0,a e a ->由此得2()ln a a a f e e a e =-22()()0a a a e a e a e a =-=-+>. …10分 (1)当
(1ln )022a a
->，即02a e <<时，函数()f x 无零点； ………………………11分
(2)当
(1ln )022
a a
-=，即2a e =时，2=，则12
a e << 而(1)10f =>，
(
02
f =()0,a f e >∴函数()f x 有一个零点； …12分
(3)当
(1ln )022a a -<即2a e >1>>.而(1)10,f =>0f <，()0,a f e >∴函数()f x 有两个零点. …13分 综上所述，当02a e <<时，函数()f x 无零点，当2a e =时，函数()f x 有一个零点，当2a e >时，函数()f x 有两个零点. …14分。