2022-2023学年河南省洛阳市新安县第一高级中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年河南省洛阳市新安县第一高级中学高二上学期9月月
考数学试题
一、单选题
1．直线tan120x =︒的倾斜角是（ ） A ．60° B ．90°
C ．120°
D ．不存在
【答案】B
【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】解：因为直线tan120x =︒= 所以直线的倾斜角是90°， 故选：B
2．平面α的斜线l 与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为()1,0,1a =，()0,1,1b =，则斜线l 与平面α所成的角为（ ） A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．90°
【答案】C
【分析】由题意结合线面角的概念可得a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角，由
cos ,||||
a b
a b a b ⋅<>=
⋅即可得解. 【详解】由题意a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角， 因为11
cos ,,,[0,]2
||||2a b a b a b a b π⋅<>=
==<>∈⋅⨯， 所以,60a b <>=，所以斜线l 与平面α所成的角为60°. 故选：C.
【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．如图，空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，MN xOA yOB zOC =++，则x ，y ，z 的值分别为（ ）
A ．1
2，23
-，12
B ．23
-，12，1
2
C ．12，1
2，23
-
D ．23，2
3，12
-
【答案】B
【分析】利用空间向量的基本定理求解.
【详解】因为12
()23MN ON OM OB OC OA =-=+-，
211
322
a b c =-++，
所以2
3x =-，12
y =，12z =.
故选：B.
4．下列条件使M 与A ､B ､C 一定共面的是（ ） A ．2OM OA OB OC =-+ B ．0OM OA OB OC +++= C ．121
532
OM OA OB OC =++
D ．0MA MB MC ++=
【答案】D
【分析】利用共面向量定理判断.
【详解】A 选项：MA MB MC OA OM OB OM OC OM ++=-+-+-，
30OA OB OC OM =++-≠，∴M ，A ，B ，C 四点不共面；
B 选项：由0OM OA OB O
C +++=，得()OM OA OB OC =-++，系数和不为1， ∴M ，A ，B ，C 四点不共面；
C 选项：121
1532
++≠，∴M ，A ，B ，C 四点不共面；
D 选项：0MA MB MC OA OM OB OM OC OM ++=-+-+-=， 即()
1
3
OM OA OB OC =
++， 所以能使M 与A ､B ､C 一定共面.
故选：D.
5．直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题： ①若l 1∥l 2，则斜率k 1=k 2； ②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2； ③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2； ④若l 1∥l 2，则倾斜角α1=α2. 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【分析】①若l 1∥l 2，则分当斜率存在时、当斜率不存在时两种情况，判断命题①错误；②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2，判断命题②正确；③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2，判断命题③正确；④若l 1∥l 2，则倾斜角
12αα=，判断命题④正确即可得到答案.
【详解】解：直线l 1与l 2为两条不重合的直线：
①若l 1∥l 2，当斜率存在时，则斜率k 1=k 2，当斜率不存在时，两条直线都垂直与x 轴，所以命题①错误；
②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2，所以命题②正确； ③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2，所以命题③正确；
④若l 1∥l 2，则倾斜角12αα=，所以命题④正确，所以正确的命题个数共3个. 故选：C.
【点睛】本题考查两条直线的位置关系，是基础题.
6．经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直的直线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．260x y +-= C ．230x y --= D ．230x y +-=
【答案】C
【分析】由于所求直线与直线250x y +-=垂直，从而可求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】因为直线250x y +-=的斜率为2-， 所以与直线250x y +-=垂直的直线的斜率为1
2，
因为所求直线经过点()3,0B ，
所以所求直线方程为1
(3)2
y x =-，即230x y --=，
故选：C
7．“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两直线平行可知：12120A B B A +=求出a ，代入验证，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】解：当两直线平行，∴12(1)0a a ⨯--=，解得2a =或1a =-， 当2a =，两直线重合，舍去； 当1a =-时，两直线平行．
所以“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的充要条件． 故选：C
8．下列说法正确的是（ ）
A ．斜率和倾斜角具有一一对应的关系
B ．直线的截距式方程适合于不过原点的所有直线
C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=
D ．()()()()121121y y x x x x y y --=--表示经过()11,P x y ，()22,Q x y 的直线方程 【答案】D
【分析】根据倾斜角和斜率的定义，以及两点式和截距式的定义，逐个选项进行判断即可. 【详解】对于A ，倾斜角为90时，没有对应斜率，故A 错误；
对于B ，直线的截距式方程适合于不过原点，不垂直于x 轴，不垂直于y 轴的所有直线，故B 错误； 对于C ，经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线，还包括y x =这条直线，故C 错误； 对于D ，根据两点式的定义，选项D 明显正确； 故选：D
9．若直线l ：20(0,0)ax by a b -+=>>过点(1,2)-，当21
a b
+取最小值时直线l 的斜率为
A ．2
B ．1
2
C D ．
【答案】A
【分析】将点带入直线可得
212
a b
+=，利用均值不等式“1”的活用即可求解． 【详解】因为直线l 过点()1,2-，所以220a b --+=，即
212
a b
+=，
所以21212141()
(4)(44222a b b a a b a b a b ++=+=++≥+= 当且仅当
4b a
a b
=，即2a b =时取等号 所以斜率
2a
b
=，故选 A 【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题．
10．已知{}
,,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量23p a b c =++，{}
,,a b a b c +-是空间的另一个基底，向量p 在基底{}
,,a b a b c +-下的坐标为（ ） A ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭
【答案】A
【分析】设()()
p x a b y a b zc =++-+，根据空间向量基本定理建立关于,,x y z 的方程，解之即可得解.
【详解】解：设()()
p x a b y a b zc =++-+
()()23c a b y a x c x y b z =++-+=++，
所以123x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得32123
x y z ⎧=⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
=⎪⎪⎩
，
所以向量p 在基底{}
,,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
故选：A.
11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论不正确的是（ ）
A ．直线1BD ⊥平面11AC D
B ．三棱锥11P A
C
D -的体积为定值
C ．异面直线AP 与1A
D 所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为6
3
【答案】C
【分析】对于A ，根据线面垂直的判定定理，结合正方体的性质以及线面垂直的性质定理，可得答案；
对于B ，根据三棱锥的体积公式，证明底面11AC D 上的高为定值，利用线面平行判定以及性质定理，可得答案；
对于C ，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；
对于D ，由题意，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，根据公式，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】对于A ，连接11B D ，记11
11AC B D E =，如下图：
在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，
11A C ⊂平面1111D C B A ，111BB AC ∴⊥，
在正方形1111D C B A 中，11
11AC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，
1BD ⊂平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理可得：11DC BD ⊥，
1111AC DC C ⋂=，111,A C DC ⊂平面11AC D ，1BD ∴⊥平面11AC D ，故A 正确；
对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CB DA ，1DA ⊂平面11AC D ，1CB ⊄平面11AC D ，1//CB ∴平面11AC D ，则1P CB ∀∈，P 到平面11AC D 的距离相同，
即三棱锥11P AC D -中底面11AC D 上的高为一个定值，故B 正确； 对于C ，连接1AB ，AC ，AP ，作图如下：
在正方体1111ABCD A B C D -中，易知1ACB 为等边三角形，则1π
3
APC AB C ∠≥∠=
， 11//DA CB ，APC ∴∠为异面直线1DA 与AP 所成角或者补角，则异面直线1DA 与AP 所成角的取值范围ππ,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，故C 错误； 对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：
设该正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,2,2B ，()10,2,2C ，
设()1,01CP CB λλ=≤≤，且(),,P x y z ，则()12,0,2CB =，(),2,CP x y z =-，即2202x y z λλλ=⎧⎪
-=⋅⎨⎪=⎩
，可得
()2,2,2P λλ，则()12,0,22C P λλ=-，
由A 可知1BD ⊥平面11AC D ，则平面11AC D 的一个法向量为()12,2,2BD =--， 设直线CP 与平面11AC D 所成角为θ，则
1222
140444
4
sin 88412
43221
1143222BD CP BD CP
λλθλλλλλ⋅-++-=
=
=
=
⋅-+⋅⋅-+⎛
⎫⋅-+
⎪⎝
⎭， 由[]0,1λ∈，则当12λ=时，sin θ取得最大值为6
3
，故D 正确. 故选：C.
12．如图，在三棱锥-P ABC 中，5AB AC PB PC ====，4PA =，6BC =，点M 在平面PBC 内，且15AM =，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（ ）
A 2
B 3
C ．25
D 5【答案】D
【分析】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，证明出PO ⊥平面ABC ，然后以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设BM mBP nBC =+，其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，求出363m n +-的最大值，利用空间向量法可求得cos α的最大值.
【详解】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，
5AB AC ==，D 为BC 的中点，则AD BC ⊥，
6BC =，则3BD CD ==，224AD AB BD ∴=-=，同理可得4PD =，PD BC ⊥，
PD
AD D =，BC ∴⊥平面PAD ，
过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，
因为4PA PD AD ===，所以，PAD 为等边三角形，故O 为AD 的中点，
BC ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，则BC PO ⊥，
PO AD ⊥，AD BC D =，PO ∴⊥平面ABC ，
以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，
因为PAD 是边长为4的等边三角形，O 为AD 的中点，则sin 6023OP PA == 则()0,2,0A -、()3,2,0B 、()3,2,0C -、(0,0,23P ， 由于点M 在平面PBC 内，
可设(()()
3,2,236,0,036,2,23BM mBP nBC m n m n m m =+=--+-=---， 其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，
从而()()()
3,4,036,2,23336,42,23AM AB BM m n m m m n m m =+=+---=---， 因为15AM =()()2
2
2336421215m n m m --+-+=， 所以，()()2
2
233616161423m n m m m --=-+-=--+， 故当12
m =
时，216161m m -+-有最大值3，即()2
3633m n +-≤， 故33633m n -+-363m n +-3 所以，()6336635
cos cos ,615
615
AM BC m n AM BC AM BC
α⋅--=<>==
≤
=⋅. 故选：D.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
二、填空题
13．若()1,1,0a =，()1,0,2b =-，则与a b +反方向的单位向量是______．
【答案】0,⎛ ⎝⎭
【分析】由与a b +反方向的单位向量为||
a b
a b +-
+代入可得结果. 【详解】∵(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-
∴(0,1,2)a b +=，2||01a b +=+=
∴a b +反方向的单位向量为(0,1,2)(0,
||a b a b +-
=-=+
故答案为：(0,. 14．有一光线从点()3,5A -射到x 轴以后，再反射到点()2,15B ，则这条光线的入射光线所在直线的方程为______． 【答案】4+70x y +=
【分析】根据对称性可知：点()2,15B 关于x 轴对称的点在入射光线所在的直线上，求出点()2,15B 关于x 轴对称的点的坐标即可求解.
【详解】因为点()2,15B 关于x 轴对称的点的坐标为()2,15B '-，
由直线的对称性可知：这条光线的入射光线经过点()3,5A -和()2,15B '-， 所以条光线的入射光线所在直线的方程为515
15(2)32
y x ++=---， 也即4+70x y +=， 故答案为：4+70x y +=.
15．若直线10ax y +-=与连接()()2,3,3,2A B -的线段总有公共点，则a 的取值范围是______.
【答案】(]1,1,3⎡⎫
-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】画出图形，由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤，从而可求得答案
【详解】得直线10ax y +-=的斜率为a -，且过定点()0,1P ，
则由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤， 1
1,3PA PB k k ==-，
1a -≥或1
3
a -≤-，
1a ∴≤-或13
a ≥
. 故答案为：(]1,1,3⎡⎫
-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
16．点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是__.
【答案】[﹣1
2，0]
【分析】建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标为（x ，y ，z ），则由题意可得0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1，计算PA •1PC =x 2﹣x ，利用二次函数的性质求得它的值域即可．
【详解】解：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示； 则点A （1，0，0），C 1（0，1，1），
设点P 的坐标为（x ，y ，z ），由题意可得 0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1； ∴PA =（1﹣x ，﹣y ，﹣1），1PC =（﹣x ，1﹣y ，0），
∴PA •1PC =-x （1﹣x ）﹣y （1﹣y ）+0＝x 2
﹣x +y 2
﹣y 22
111222x y ⎛
⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
由二次函数的性质可得，当x ＝y 1
2
=
时，PA •1PC 取得最小值为12-；
当x ＝0或1，且y ＝0或1时，PA •1PC 取得最大值为0， 则PA •1PC 的取值范围是[1
2-，0]．
故答案为：[1
2
-，0]．
【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．
三、解答题
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP =.
(1)试用,,a b c 表示向量BM ； (2)求BM 的长.
【答案】(1)111222
b a
c -+
6
【分析】利用空间向量基本定理用基底表示BM ；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.
【详解】（1）()
1122
BM BC CM AD CP AD CB BA AP =+=+=+++
111111
222222
AD AD AB AP b a c =-
-+=-+ （2）2
2
2221
111111112
22444222BM b a c b a c a b c b a c ⎛⎫=-+=++-⋅+⋅-⋅ ⎪⎝⎭
11111131021214422222=
++-+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以6
2BM =BM
18．已知ABC 的三个顶点(,)A m n ､(2,1)B ､(2,3)C -. (1)求BC 边所在直线的方程；
(2)BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，BC 边上高线AE 过原点，求点A 的坐标. 【答案】(1)240x y +-=
(2)3,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；
（2）由题意可得2360-+=m n ，求出BC 边上高线AE 的方程，将点(,)A m n 代入AE 的方程，解关于,m n 的方程组即可求解.
【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -可得311
222
BC k -==---， 所以BC 边所在直线方程为()1
122
y x -=-
-，即240x y +-=. （2）因为BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=， 所以点(,)A m n 在直线2360x y -+=上，可得2360-+=m n ， 因为1
2
BC k =-，所以BC 边上高线AE 的斜率2AE k =，
因为BC 边上高线AE 过原点，所以AE 的方程为2y x =，可得2n m =， 由23602m n n m -+=⎧⎨=⎩可得：323
m n ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，所以点A 的坐标为3,32⎛⎫
⎪⎝⎭.
19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥
BC ，且
12AB AD AA BD DC =====，
(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;
(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)
66
【解析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.
(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，
()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.
【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故1AA AB ⊥.
2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.
1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .
(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .
设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则1110
0n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，
取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ 故26sin cos ,6
26
n AB n AB n AB
θ⋅==
==⋅. 【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．已知直线l ：5530ax y a --+=．
(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)若直线l 的横截距和纵截距绝对值相等，求a 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1a =±或3
【分析】（1）将直线l 的方程化为点斜式，求出直线所过定点，即可证明结论成立；
（2）直线l 的横截距和纵截距绝对值相等，分三种情况讨论：①横截距和纵截距为0，②横截距和纵截距相反，③横截距和纵截距相等，分别求出此时a 的值即可. 【详解】（1）解：直线l 的方程可整理为：3155y a x ⎛
⎫-
=- ⎪⎝
⎭， 则l 的斜率为a ，且过定点13,55A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
∵13,55A ⎛⎫
⎪⎝⎭在第一象限，
所以不论a 取何值，直线l 总经过第一象限． （2）解：由（1）知，直线过定点1355A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，
当直线过原点时，此时，3a =；
当直线截距相反且不过原点时，1k =，此时1a =； 当直线截距相等且不过原点时，1k =-，此时1a =-； 综上所述，1a =±或3．
21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．
(1)求BC ；
(2)求点B 到平面P AM 的距离． 【答案】(1)2 (2)77
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设2BC a =，写出各点坐标，利用0PB AM ⋅=列出方程，求出2
2a =
，从而得到BC 的长； （2）求出平面P AM 的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解.
【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，
设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ， 则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，
∵PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得2a = 故22BC a ==；
（2）设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则2
AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，()
2,0,1AP =-， 由11112
0220
m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩
，取12x =，可得(
)
2,1,2m =
，
()0,1,0AB =，
∴点B 到平面P AM 的距离17
7
AB m d m
⋅=
=
=22．如图①，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===.将ADC △沿AC 折起，使得
AD BC ⊥，如图②.
（1）求证：平面ADC ⊥平面ABC .
（2）在线段BD 上是否存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π
4？若存在，指出点E
的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处.
【分析】（1）先证明AC BC ⊥，再由线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面ADC ，由面面垂直的判定定理即可证明；
（2）以C 为原点，以CA ，CB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后用坐标法求解即可
【详解】（1）在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===， ∴由平面几何知识易得π
3
ABC ∠=
， ∴在ACB △中，222π
21221cos 33
AC =+-⨯⨯⨯=. 又222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥. 在题图②中，∵AD BC ⊥，AD
AC A =，∴BC ⊥平面ADC .
又BC ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC .
（2）在线段BD 上存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为
π4
. 以C 为原点，以CA ，CB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，如图.
由平面ADC ⊥平面ABC ，ADC △是顶角为2π
3
的等腰三角形，知z 轴与ADC △底边上的中线平行，
又由（1）易得3AC =∴()0,0,0C ，()
3,0,0A
，()0,1,0B ，312D ⎫
⎪⎪⎝⎭
，
∴(
)
3,0,0CA =
，112,23BD ⎛⎫
⎪ ⎪⎝=⎭
-. 令()
01BE tBD t =≤≤，则,,12t E t ⎫⎝-⎪⎪⎭， ∴3,1,22t CE t =-⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
. 设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，
则00
CA m CE m ⎧⋅=
⎨⋅=⎩，即()0
10
2t t y z =+-+=， ∴()0
210x t y tz =⎧⎨-+=⎩
，
令y t =，则()21z t =-，∴()()0,,21m t t =-. 由（1）知，平面ADC 的一个法向量为()0,1,0n =.
要使二面角E AC D --的平面角的大小为π4，
则2πcos 4m n m n t ⋅=== 解得2
3
t =
或2t =（舍去）. ∴在线段BD 上存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π
4，此时点E 在线段BD 上靠近
点D 的三等分点处.。