课件4：2.1.1 数轴上的基本公式
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2.1.1 数轴上的基本公式
知能自主梳理 1．一条给出了___原__点___、____度__量__单__位___和_正__方__向___ 的 直 线 叫 做 __数__轴____ ， 或 称 在 这 条 直 线 上 建 立 了 __直__线__坐__标__系___，在数轴上，若点 P 与 x 对应，称 P 的 坐标为 x，记作 P(x)． 2．位移是一个既有大小，又有方向的量，通常称作位 移向量，本书中叫做___向__量___．
B．A(3)和B(4)
C．A(－3)和B(4)
D．A(－4)和B(－3)
【解析】点A(－3)位于点B(－4)的右侧．
【答案】A
2．A、B是数轴上两点，B点的坐标xB＝－6，且BA＝－4， 那么点A的坐标为( )
A．－10
B．－2
C．－10或－2 D．10
【解析】∵BA＝xA－xB，∴－4＝xA－(－6)， ∴xA＝－10. 【答案】A
4．设A→B是数轴上的任一个向量，O 为原点，点 A(x1)、 B(x2)，则 AB＝OB－OA＝____x_2_－__x_1 _____，A、B 两 点的距离 d(A，B)＝|AB|＝____|x_2_－__x_1|_______.
预习效果展示
1．下列各组点中A点位于B点右侧的是( )
A．A(－3)和B(－4)
跟踪练习1 下列各组点中，点M位于点N左侧的是( )
A．M(－2)、N(－3)
B．M(2)、N(－3)
C．M(0)、N(6)
D．M(0)、N(－6)
【解析】点M(0)在点N(6)的左侧，故选C.
【答案】C
题型二 数轴上的向量和基本公式 例 2 已知数轴上有 A、B 两点，A、B 之间的距离为 1， 点 A 与原点 O 的距离为 3，求向量O→A、A→B的坐标．
跟踪练习 2 已知数轴上的三点 A(－1)、B(5)、C(x)． (1)当|AB|＋d(B，C)＝8 时，求 x； (2)当 AB＋CB＝0 时，求 x； (3)当A→B＝B→C时，求 x.
[解] (1)由题意可知，|AB|＝|5－(－1)|＝6，d(B，C)＝ |x－5|. 当|AB|＋d(B，C)＝8 时，有 6＋|x－5|＝8， 解得 x＝3 或 x＝7. (2)由 AB＋CB＝0 可知，5－(－1)＋5－x＝0，解得 x＝11. (3)由A→B＝B→C可知 AB＝BC，故 5－(－1)＝x－5， 所以 x－5＝6，解得 x＝11.
3．一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2)， 则另一个端点B的坐标是( )
A．－3
B．5
C．－3或7
D．－3或－7
【解析】设B(x)，则|x－2|＝5，∴x＝7或－3.
【答案】C
4．已知点N的坐标为2，|MN|＝1，则点M的坐标为 ________． 【解析】设M点坐标为x，∵|MN|＝|2－x|＝1，∴x＝1或3. 【答案】1或3
5．已知数轴上一点P(x)，它到点A(－8)的距离是它到 点B(－4)的距离的2倍，则x＝________.
【解析】由题意，得 d(P，A)＝2d(P，B)， ∴|－8－x|＝2|－4－x|，解得 x＝0 或 x＝－136. 【答案】0 或－136
6．已知数轴上两点A(a)，B(5)，当a为何值时， (1)两点间距离为5；(2)两点间距离大于5； (3)两点间距离小于5. [解] d(A，B)＝|a－5|，画出数轴可见与B点距离为5的点 有两个，原点O(0)和C(10)．∴(1)当a＝0或a＝10时， |a－5|＝5. (2)当a>10或a<0时，|a－5|>5.(3)当0<a<10时，|a－5|<5.
易错疑难辨析
例 3 数轴上任意三点 A、B、C 的坐标分别为 a、b、 c，那么有下列关系：①AB＋AC＝BC；②A→B＝A→C＋ C→B；③|AB|＝|AC|＋|CB|；④BC＝b－c；⑤A、C 两点 的中点坐标为c－2 a.其中正确的有________．(填序号)
[错解] ①②③④⑤ [辨析] 由于对向量的坐标及长度的概念理解不到位， 导致判断错误． [正解] ② AB、AC、BC 的关系为 AB＋BC＝AC，故 ①错误；根据向量的和可知A→B＝A→C＋C→B，故②正确； 因为 A、B、C 三点在数轴上的位置关系共有六种情况，
所以|AB|、|AC|、|CB|的关系有三种情况，而|AB|＝|AC| ＋|CB|是其中一种情况，故③错误；向量B→C的坐标是终 点 C 的坐标 c 减去起点 B 的坐标 b，即 BC＝c－b， 故④错误；A、C 两点的中点坐标为a＋2 c，故⑤错误．
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[解] ∵点 A 与原点 O 的距离为 3，∴点 A 的坐标 为 3 或－3.当点 A 的坐标为 3 时， ∵A、B 之间的距离为 1，∴点 B 的坐标为 2 或 4. 此时O→A的坐标为 3，A→B的坐标为－1 或 1. 当点 A 的坐标为－3 时， ∵A、B 之间的距离为 1，∴点 B 的坐标为－4 或－2. 此时O→A的坐标为－3，A→B的坐标为－1 或 1.
题型一 数轴上的点与实数间的关系 例1 (1)若点P(x)位于点M(－2)、N(3)之间，求x的取 值范围； (2)试确定点A(a)、B(b)的位置关系．
[解] (1)由题意可知，点M(－2)位于点N(3)的左侧，且点 P(x)位于点M(－2)、N(3)之间，∴－2<x<3.
(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a、b的大小关系： 当a>b时，点A(a)位于点B(b)的右侧；当a<b时，点A(a)位于 点B(b)的左侧；当a＝b时，点A(a)与点B(b)重合．
从点 A 到点 B 的向量，记作A→B，A 为A→B的起点，B 为A→B 的终点，线段 AB 的长度称作A→B的___长__度___， 记作|A→B|.数轴上____同__向__且__等__长_______的向量叫做相．等． 的．向．量．．
3．在数轴上，点 A 作一次位移到点 B，再由点 B 作 一次位移到点 C，则位移A→C称作位移A→B与位移B→C的 和．，记作A→C＝A→B＋___B→_C____. 在数轴上，任意三点 A、B、C，向量A→B、B→C、A→C的 坐标都具有关系：AC＝AB＋___B_C____.
知能自主梳理 1．一条给出了___原__点___、____度__量__单__位___和_正__方__向___ 的 直 线 叫 做 __数__轴____ ， 或 称 在 这 条 直 线 上 建 立 了 __直__线__坐__标__系___，在数轴上，若点 P 与 x 对应，称 P 的 坐标为 x，记作 P(x)． 2．位移是一个既有大小，又有方向的量，通常称作位 移向量，本书中叫做___向__量___．
B．A(3)和B(4)
C．A(－3)和B(4)
D．A(－4)和B(－3)
【解析】点A(－3)位于点B(－4)的右侧．
【答案】A
2．A、B是数轴上两点，B点的坐标xB＝－6，且BA＝－4， 那么点A的坐标为( )
A．－10
B．－2
C．－10或－2 D．10
【解析】∵BA＝xA－xB，∴－4＝xA－(－6)， ∴xA＝－10. 【答案】A
4．设A→B是数轴上的任一个向量，O 为原点，点 A(x1)、 B(x2)，则 AB＝OB－OA＝____x_2_－__x_1 _____，A、B 两 点的距离 d(A，B)＝|AB|＝____|x_2_－__x_1|_______.
预习效果展示
1．下列各组点中A点位于B点右侧的是( )
A．A(－3)和B(－4)
跟踪练习1 下列各组点中，点M位于点N左侧的是( )
A．M(－2)、N(－3)
B．M(2)、N(－3)
C．M(0)、N(6)
D．M(0)、N(－6)
【解析】点M(0)在点N(6)的左侧，故选C.
【答案】C
题型二 数轴上的向量和基本公式 例 2 已知数轴上有 A、B 两点，A、B 之间的距离为 1， 点 A 与原点 O 的距离为 3，求向量O→A、A→B的坐标．
跟踪练习 2 已知数轴上的三点 A(－1)、B(5)、C(x)． (1)当|AB|＋d(B，C)＝8 时，求 x； (2)当 AB＋CB＝0 时，求 x； (3)当A→B＝B→C时，求 x.
[解] (1)由题意可知，|AB|＝|5－(－1)|＝6，d(B，C)＝ |x－5|. 当|AB|＋d(B，C)＝8 时，有 6＋|x－5|＝8， 解得 x＝3 或 x＝7. (2)由 AB＋CB＝0 可知，5－(－1)＋5－x＝0，解得 x＝11. (3)由A→B＝B→C可知 AB＝BC，故 5－(－1)＝x－5， 所以 x－5＝6，解得 x＝11.
3．一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2)， 则另一个端点B的坐标是( )
A．－3
B．5
C．－3或7
D．－3或－7
【解析】设B(x)，则|x－2|＝5，∴x＝7或－3.
【答案】C
4．已知点N的坐标为2，|MN|＝1，则点M的坐标为 ________． 【解析】设M点坐标为x，∵|MN|＝|2－x|＝1，∴x＝1或3. 【答案】1或3
5．已知数轴上一点P(x)，它到点A(－8)的距离是它到 点B(－4)的距离的2倍，则x＝________.
【解析】由题意，得 d(P，A)＝2d(P，B)， ∴|－8－x|＝2|－4－x|，解得 x＝0 或 x＝－136. 【答案】0 或－136
6．已知数轴上两点A(a)，B(5)，当a为何值时， (1)两点间距离为5；(2)两点间距离大于5； (3)两点间距离小于5. [解] d(A，B)＝|a－5|，画出数轴可见与B点距离为5的点 有两个，原点O(0)和C(10)．∴(1)当a＝0或a＝10时， |a－5|＝5. (2)当a>10或a<0时，|a－5|>5.(3)当0<a<10时，|a－5|<5.
易错疑难辨析
例 3 数轴上任意三点 A、B、C 的坐标分别为 a、b、 c，那么有下列关系：①AB＋AC＝BC；②A→B＝A→C＋ C→B；③|AB|＝|AC|＋|CB|；④BC＝b－c；⑤A、C 两点 的中点坐标为c－2 a.其中正确的有________．(填序号)
[错解] ①②③④⑤ [辨析] 由于对向量的坐标及长度的概念理解不到位， 导致判断错误． [正解] ② AB、AC、BC 的关系为 AB＋BC＝AC，故 ①错误；根据向量的和可知A→B＝A→C＋C→B，故②正确； 因为 A、B、C 三点在数轴上的位置关系共有六种情况，
所以|AB|、|AC|、|CB|的关系有三种情况，而|AB|＝|AC| ＋|CB|是其中一种情况，故③错误；向量B→C的坐标是终 点 C 的坐标 c 减去起点 B 的坐标 b，即 BC＝c－b， 故④错误；A、C 两点的中点坐标为a＋2 c，故⑤错误．
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[解] ∵点 A 与原点 O 的距离为 3，∴点 A 的坐标 为 3 或－3.当点 A 的坐标为 3 时， ∵A、B 之间的距离为 1，∴点 B 的坐标为 2 或 4. 此时O→A的坐标为 3，A→B的坐标为－1 或 1. 当点 A 的坐标为－3 时， ∵A、B 之间的距离为 1，∴点 B 的坐标为－4 或－2. 此时O→A的坐标为－3，A→B的坐标为－1 或 1.
题型一 数轴上的点与实数间的关系 例1 (1)若点P(x)位于点M(－2)、N(3)之间，求x的取 值范围； (2)试确定点A(a)、B(b)的位置关系．
[解] (1)由题意可知，点M(－2)位于点N(3)的左侧，且点 P(x)位于点M(－2)、N(3)之间，∴－2<x<3.
(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a、b的大小关系： 当a>b时，点A(a)位于点B(b)的右侧；当a<b时，点A(a)位于 点B(b)的左侧；当a＝b时，点A(a)与点B(b)重合．
从点 A 到点 B 的向量，记作A→B，A 为A→B的起点，B 为A→B 的终点，线段 AB 的长度称作A→B的___长__度___， 记作|A→B|.数轴上____同__向__且__等__长_______的向量叫做相．等． 的．向．量．．
3．在数轴上，点 A 作一次位移到点 B，再由点 B 作 一次位移到点 C，则位移A→C称作位移A→B与位移B→C的 和．，记作A→C＝A→B＋___B→_C____. 在数轴上，任意三点 A、B、C，向量A→B、B→C、A→C的 坐标都具有关系：AC＝AB＋___B_C____.