2018年上海市青浦区高三二模数学卷(含答案)

青浦区 2018 届高三年级第二次学业质量调研测试
数学试卷
（满分 150 分，答题时间 120 分钟）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生应在答题纸的
相应地点直接填写结果．
1．不等式 | x
3| 2 的解集为 __________________ ．
2．若复数 z 知足 2z 3 1 5i （ i 是虚数单位），则 z _____________．
3．若 sin
1 cos
_______________ ．
，则
3
2
uuur
uuur
uuur uuur
4．已知两个不一样向量
OA (1,m) ，
OB (m 1,2) ，若 OA
AB ，则实数 m ____________．
5．在等比数列
a n 中，公比 q 2 ，前 n 项和为 S n ，若 S 5
1 ，则 S 10
．
x 2,
6 ． 若 x, y
满 足
x y 1 0, 则 z 2x y 的 最 小 值 为
x y 2 0,
____________．
7．如下图，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为
1的正方形，
主视图
左视图
俯视图是一个直径为 1 的圆，那么这个圆柱的体积为 __________ ．
．
1
6
睁开式中 x 2 的系数为
．
（第 7 题图）
8 (1
x 2 )(1
x) ______________
俯视图
9．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同
学在物理、化学、政治科目考试中达
A 的概率分别为 7、3、
5 ，
8
4
12
这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生起码得
2 个 A 的概率是
．
10．已 知 f (x) 是 定 义 在 [ 2,2] 上 的 奇 函 数 ， 当 x
(0,2] 时 ， f ( x) 2x 1， 函 数
g(x) x 2
2x m . 假如对于随意的 x 1 [ 2,2] ，总存在 x 2
[ 2,2] ，使得 f (x 1)
g (x 2 ) ，
则实数 m 的取值范围是
.
11．已知曲线 C y
9 x
2
，直线 l ： y 2 ，若对于点 A(0, m) ，存在 C 上的点 P
和 l 上的 ：
uuur uuur r
点 Q ，使得 AP AQ 0 ，则 m 取值范围是
．
12．已知M a2 a sin 1
(a,R , a 0) ，则
M
的取值范围是．
a2 a cos1
二、选择题（本大题共有 4 题，满分20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应地点，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．设,是两个不一样的平面， b 是直线且b．则“ b”是“”的（）．（ A）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件
（ C）充要条件（D）既不充足又不用要条件
14．若已知极限lim sin n
0 ，则 lim
n 3sin n
的值为（）．
n n n sin n 2n
（A）3（ B）3
（ C）1
1 2
（ D）
2
15．已知函数f ( x)是R上的偶函数，对于随意x R 都有 f (x6) f (x) f (3) 成立，当 x1 , x20,3 ，
且 x1 x2
f (x1) f ( x2 )
时，都有x1x20 ．给出以下三个命题：
①直线 x 6 是函数 f ( x) 图像的一条对称轴；
②函数 f ( x) 在区间9,6上为增函数；
③函数 f ( x) 在区间9,9上有五个零点．
问：以上命题中正确的个数有（）．
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
16．如下图，将一圆的八个平分点分红相间的两组，连结每组的四个点获得两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后能够形成一正八角星.设正八角星的中心为O ，而且
uuur ur uuur uur
16个极点的向量都写成
OA e1,OB e2．若将点O到正八角星
B
ur uur
e1e2，、R 的形式，则的取值范围为（）．e2
e1 22, 2A
（ A）（B）22,12O
（ C）12,12（D）12, 2
（第16 题图）
三、解答题（本大题共有5题，满分76 分）解答以下各题一定在答题纸的相应地点写出必需的步骤．
17．（此题满分 14 分，第 1 小题满分
如图，在正四棱锥 P ABCD 中， 6 分，第
PA AB 2 小题满分 8 分）
2 2，E ，F 分别为
PB ， PD 的中点．
（ 1）求正四棱锥 P ABCD 的全面积；
（ 2）若平面 AEF 与棱 PC 交于点 M ，求平面
AEMF
与平
面
ABCD 所
成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）
．
18．（此题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
ur (cos x , r ( 3 sin x
ur r
1 ．
已知向量 m 1)， n ,cos 2 x ) ，设函数 f (x) m n
2 2 2
（ 1）若 x
11 ，求 x 的值；
[0, ] ， f ( x)
2
10
（ 2）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a,b, c 且知足 2bcos A
2c 3a, 求 f ( B) 的取值范
围．
19．（此题满分 14 分，第 1 小题满分
6 分，第 2 小题满分 8 分）
x 2
y 2
已知椭圆
C ：a 2
b 2
1 (a b 0) 的一个极点坐标为 A(2,0) ，且长轴长是短轴长的两倍．
（ 1）求椭圆 C 的方程；
（ 2）过点 D (1,0) 且斜率存在的直线交椭圆于 G 、H ， G 对于 x 轴的对称点为 G ，求证： 直线 G H 恒
过定点
4,0 ．
20.(此题满分 16 分）此题共 3 小题，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 6 分 .
设函数 f ( x)
2 a R ．
ax 5
x
（ 1）求函数的零点；
（ 2）当 a
3 时，求证： f ( x) 在区间 , 1 上单一递减；
（ 3）若对随意的正实数
a ，总存在 x
1,2 ，使得 f ( x 0 ) m ，务实数 m 的取值范围．
21.(此题满分 18 分）此题共 3 小题，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 8 分 .
给定数列 a n ，若数列 a n 中随意 （不一样） 两项之和还是该数列中的一
项，
则称该数列是 “关闭数列” . （ 1）已知数列 a n 的通项公式为 a n 3n ，试判断 a n 能否为关闭数列，并说明原因；
（ 2）已知数列
a n 知足 a n 2 a n
2a n 1 且 a 2
a 1 2 ，设 S n 是该数列 a n 的前 n 项和，试问：能否
存在这样的“关闭数列”
a n ，使得对随意 n N *
都有 S n 0 ，且
1 1 1 L
1 11 ，若存在，
8 S 1 S 2
S n 18
求数列 a n 的首项 a 1 的全部取值；若不存在，说明原因；
（ 3）证明等差数列
a n 成为“关闭数列”的充要条件是：存在整数
m 1 ，使 a 1 md ．
青浦区 2017 学年高三年级第二次学业质量调研测试
数学参照答案及评分标准
一. 填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分考生应在答题纸相应编号
的空格内直接填写结果
.
1． x 1
x 5 或 (1,5) ； 2．
5 ； 1 ；
4． ；
2 i
3．
1
2
3
5． 33；
6．
1 ； 7．
π
；
8． 30；
2
4
9. 151 ；
10. m
5 ；
11． [ 1
,1]；12.
47 M 47 .
192
2
3
3
二. 选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编
号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，不然一律得零分 .
13. A ；14. D ；15．B ； 16. C .
三、解答题（本大题共有
5 题，满分 7
6 分） 解答以下各题一定在答题纸的相应地点写出必需的步骤． 17．（此题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
解：（ 1）因为正四棱锥
P ABCD ，取 AB 中点 G ，连结 PG ，
QPA AB 2 2
，
PG
6
，
S 全 =S 底 S
侧
(2 2)
2
41
22 6883
2
（2）连结 AC ，连结 BD ，记 AC I BD O
，因为 OA ， OB ， OP 两两相互垂直，如图成立空间直角坐
标系
O - xyz
．因为 PB AB 2 2 ，因此
Rt △
POB
Rt △ AOB ．
因此 OA OP 2 ．
因此 A(2,0,0) ， B(0,2,0) ， C ( 2,0,0) ， D(0, 2,0) ， P(0,0,2) ， E(0,1,1) ， F (0, 1,1)．
uuur
uuur
因此
AE ( 2,1,1)
，
AF ( 2,
．
1,1)
r
r uuur
( x, y, z) ，因此 n AE 0, 2x y z 0, 设平面 AEMF 的法向量为 n
r uuur
0,
即
y
z 0.
n AF
2x
因此 y
0 ．令 x
1， z 2
r
(1,0,2) ．
，因此 n
ur
(0,0,1)
因为平面平面
ABCD 的一个法向量为 m
ur
r
ur r 2 2 5
2 5
， cos
m n
arccos
设 m 与 n 的夹角为
ur r
1
5
5
5
m n
因此平面 AEM F 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小是
arccos
2
5 ．
5
18．（此题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
解：（ 1） f ( x)
3 sin x cos
x
cos 2
x
1
3
sin x
1 cos x
1
2
2
2
2
2
3
sin x
1
cos x 1 sin( x 6)
1
2
2
2 2
∵ f ( x)
11 sin(x
) 3 ; 又 Q x [0, ]
10
6 5 2
∴ x
arcsin
3
x
6
arcsin 3
6
5
5
（2）由 2b cos A
2c
3a 得 2sin B cos A 2sin C
3 sin A
2sin B cos A 2sin( A B) 3 sin A
2sin B cos A 2[sin Acos B cos A sin B) 3 sin A
3 B(0,]
2sin Acos B3 sin A cos B
2
6
∴ sin(B
)
1
sin(B
) 1
f ( B) (0, 1
( ,0], 即f (B)
2
]
6
2
6
2 19．（此题满分 14 分，第 1 小题满分
6 分，第 2 小题满分 8 分）
x 2
y 2 (a b
0) 的一个极点坐标为 A(2,0) ，即 a
2
解：（ 1）因为椭圆 C ：
2
b 21
a
又长轴长是短轴长的两倍，即 2a
4b
b
1 ，
因此椭圆方程 x 2
y 2
1；
4
（2）解一：设直线
GH 的方程为 y
k (x 1) ,点 G （x 1, y 1） ,H( x 2 , y 2 ) 则 G( x 1 , y 1）
y k (x 1) 4k 2
) x 2
8k 2
x
4k
2
4 0 联立方程组
x 2
4 y 2
消去 y 可得 (1
4
由韦达定理可得 x 1 x 2
1 8k
2 2 , x 1 x 2 4k
2
4
2 ,
4k
1 4k
，
y 2
y 1
(x x 1 ),
直线 GH ： y y 1
x 2 x 1
当 x
4时， y
y 1
y 2
y 1
(4 x 1)= y 1x 2
x 1 y 2 4( y 2 y 1 )
x 2 x 1
x 2 x 1
k[5( x 1 x 2 )
2x 1x 2
8] k[5
1 8k 2
2 4k 2 4
8]
4k
2
1 4k
2 =
x 2 x 1
x 2 x 1
k[ 40 k 2 8k 2 8 8]
= 1 4k 2 1 4k 2
=0
x 2
x 1
因此直线则 GH 过定点（ 4,0）
20.(此题满分 16 分）此题共 3 小题，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题
6 分，第（ 3）小题 6 分 .
解：（ 1）①当 a
0 时，函数的零点为 x
2 ；
5
②当 a
25 且a 0 时，函数的零点是 x
5
25
8a ；
8
2a
③当 a
25
时，函数无零点；
8
（2）当 a
3 时， f (x)
2 ，令 g (x)
2 3x+5
3x+5 x
x
任取 x 1 , x 2
( , 1) ，且 x 1
x 2 ，
则 g( x 1) g( x 2 ) 2 5
2
3x 2 5
(x 2
x 1) 2 3x 1 x 2
3x 1
x 2 x 1x 2
x 1
因为 x 1 x 2 ， x 1 , x 2
(
, 1) ，因此 x 2 x 1 0 ， x 1 x 2 1 ，进而 ( x 2 x 1) 2 3x 1 x 2
x 1x 2
即 g( x 1 )
g( x 2 ) 0 g( x 1 ) g( x 2 ) 故 g( x) 在区间
, 1 上的单一递减
当 x
, 1 时， g(x)
6,
f (x)
2 3x+5 =
2
3x+5 g(x)
x
x
即当 a 3 时， f ( x) 在区间 , 1 上单一递减；
（3）对随意的正实数
a ，存在 x 0
1,2 使得 f ( x 0 )
m ，即 f ( x 0 )max m ，
当 x
0,
时，
2
5, 0 5 25 8a
2
ax
x
2a
f ( x)
ax+5 x
x 2
5
25 8a
ax 5, x
x
2a
即 f (x) 在区间
0,
5
25 8a 上单一递减，在区间 5
25
8a ，
上单一递加；
2a
2a
因此 f ( x 0 )max
max f (1), f (2)
max 7 a , 6 2a ，
又因为 a 0 ， max 7 a , 6
2a 8 8
，因此 m
．
3
3
21.(此题满分 18 分）此题共 3 小题，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 8 分 .
解：（ 1） n
a 不是关闭数列．
因为取 n
1,n 2 ，则 a 1 a 2 3 9 12 ，32 12 33 即 a 1 a 2 3m , m N * 进而 a 1 a 2 a n ，因此
a n 不是关闭数列；
（2）因为 a n2a n2a n 1，因此 a n是等差数列，又a 2a1 2 ，因此 a n a1 2 n 1 ，
若 a n是“关闭数列” ，因此对随意s,t N*，必存在p N*，使得
a1 2 s 1a1 2 t1a1 2 p1，即 a12p s t 1 ，故a1是偶数，又对随意n N*都有
S n
111
L
111111118
8 ，故a1可取的值为2,4,6经检0 ，且
S2S n18
，因此
S118
，故a1
8 S1811
验得： a1 4 或 a1 6 ；
（3）证明：（必需性）任取等差数列的两项a s, a t (s t ) ，若存在 a k，使 a s a t a k，则
2a1(s t2)d a1(k1)d a1(k s t1)d ，故存在 m k s t 1Z ，使 a1md
下边证明 m1
①当 d0 时，明显成立
②当 d0 时，若m 1 时则取 p m 2 ，对不一样的两项a1 , a p，存在a q，使a1 a p a q，即2md( m1)d md(q1)d qd0，这与 q0, d0矛盾，故存在整数 m1，使 a1md （充足性）若存在整数m1，使 a1md ，则任取等差数列的两项a s , a t ( s t ) ，于是
a s +a t a1(s 1)d a1(t1)d a1( s1)d md(t1)d a1 (s m t 2)d a s m t 1，因为s t3,m 1 ，s t m1为正整数，即 a s m t 1a n证毕．。