最新人教版高中数学必修五《一元二次不等式及其解法》课件

2
得，m的取值范围时
m
|

1 5

m

3
小结
含参不等式恒成立的问题
（1）一元二次不等式 ax2 bx c 0 恒成立.
a 0,
y
b2 4ac 0. O
x
（2）一元二次不等式ax2 bx c 0 恒成立.
解：x2 -(a +1)x + a < 0可化为
x - a x -1 < 0
方程 x - a x -1=0的根分别为x1 a和x2 1
①a＞1时，
不等式的解集为x |1＜x＜a
1
a
②a＝1时，
x1 x2
不等式的解集为
③a＜1时， a 1
不等式的解集为x | a＜x＜1
练1 解关于x的不等式x2 - ax - 6a2 < 0
练2 解关于x的不等式ax2 -(a +1)x +1 < 0
练1 解关于 x 的不等式 x2 - ax - 6a2 < 0.
解：原不等式可化为(x - 3a)(x + 2a)< 0
它所对应的二次方程的两根为- 2a,3a
a < 0时，- 2a > 3a
二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间的关系
b2 4ac
＞0
0
＜0
y ax2 bx c (a＞ 0)的图像
ax2 bx c=0 (a＞0)的根
有两个相异的实根 有两个相等的实根
x1, x2 x1＜x2
x1

x2


b 2a
ax2 bx c＞0 (a＞0)的解集
m 3时，原不等式为0 x2 -0 x 1 0, 恒成立
2当m2 2m 3 0时，需满足
m2 2m 3 0



m

32
+4
m2 2m 3

1 m 3
0，解得
1 5

m

,即 3
1 5

m

3
综上，由1
x
|
x＜x1或x＞x2
ax2 bx c＜0 (a＞0)的解集
x | x1＜x＜x2
x
|
x


b 2a


无实根
R

探究一 含参一元二次不等式解法
例1 解关于x的不等式
1 x2 - 2m 1 x + m2 m < 0 2 x2 -(a +1)x + a < 0
当0
<
a
<
1时，x
1
<
x
<
1 a

；
当a = 1时,；
当a
> 1时，x
1 a
<
x < 1.
小结：
在解含参数的不等式时，往往要进行分类讨论： （1）对二次项系数分是否为0，是正还是负进行讨论， 以确定解集的形式； （2）解对应的一元二次方程 （3）对相应的一元二次方程根的大小进行讨论，以确 定解集.
一元二次不等式及其解法 第2课时
学习目标 1.复习巩固一元二次不等式的解法，一元二次不等式、一 元二次方程与二次函数的关系 2.掌握解含参数的一元二次不等式的方法 3.会利用三个“二次”之间的关系解决恒成立问题
复习回顾 解一元二次不等式的基本步骤：
• 1 化不等式为一般形式 • 2 求相应方程的根 • 3 画出相应二次函数的图像 • 4 根据图像写出不等式的解集
解：原不等式可化为(ax - 1)(x - 1)< 0.
(1)当a = 0时,x > 1
2当a 0时，
①当a < 0时，不等式可化为(x - 1)(x - 1)> 0. a
因为1 < 1,所以x < 1 或x > 1.
1 a
1
a
a
②当a > 0时，不等式化为(x - 1)(x - 1)< 0. a
1 x2 - 2m 1x + m2 m < 0
解：原不等式可化为x m x m 1 < 0
相应方程的根为x1 m, x2 m 1
m m1
不等式的解集为x | m x m 1
m
m 1
2 x2 -(a +1)x + a < 0
的图像恒在x轴上方时，才满足题意。
此时其对应方程x2 2a 2 x 4 0应满足＜0 即 4 a 22 16＜0,解得0＜a＜4 a的取值范围是a | 0＜a＜4
2若关于x的不等式ax2 2ax 2＞0在R上恒成立，求
实数a的取值范围。
解：①a=0时，不等式为0 x2 2 0 x 2＞0,恒成立
解集为x 3a < x < -2a
3a
2a
a = 0时，-2a = 3a
解集为
a>0时，-2a<3a
解集为x -2a < x <3a
2a
3a
综上所述，原不等式的解集为：
当a>0时， x -2a < x < 3a；
当a=0时， ；
当a<0时， x 3a < x < -2a
练习2 解关于x的不等式 ax2 -(a +1)x f x x2 2a 2 x 4,如果对一切x R, f x＞0恒成立，求实数a的取值范围。 2若关于x的不等式ax2 2ax 2＞0在R上恒成立，求
实数a的取值范围。
1 已知f x x2 2a 2 x 4,如果对一切x R, f x＞0恒成立，求实数a的取值范围。 析：由题意可知，只有当二次函数f x x2 2a 2 x 4
若 1 < 1,即a > 1时, 1
a
a
1
若 1 = 1,即a = 1时, a
则 1 < x < 1； a
则解集为;
若 1 > 1,即0 < a < 1时,
a
1
1 a
则1 < x < 1 . a
综上所述，原不等式的解集为：
当a
<
0时，x
x
<
1 a
或x
>
1；
当a = 0时，x x > 1；
②a

0时，需满足
a＞0 ＜0
即4a＞a20 8a＜0,解得0＜a＜2
综上，实数a的取值范围是0，2
练 关于x的不等式 m2 2m 3 x2 m 3 x 1 0
恒成立，求m的范围
解：1当m2 2m 3=0时，m 1或3
m 1时，原不等式为4x 1 0，不恒成立