人教版A数学选修2-2第一章 导数及其应用 知识整合与章末复习1

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例 7►计算由曲线 y＝x2＋1，直线 x＋y＝3 以及两坐标轴所围的阴影图形的 面积 S.
【解】 如图： y＝x2＋1，
解：由x＋y＝3， x＝1， x＝－2，
得y＝2， 或y＝5， 且 x＋y＝3 与 x 轴交于点(3,0)，
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∴航
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(2)当 a＝－3 时，f(x)＝－3x3＋3x2－x＋1＝－3x－133＋89，由函数 y＝x3 在 R 上的单调性，可知
当 a＝－3 时，f(x)(x∈R)是减函数． (3)当 a>－3 时，在 R 上存在一个区间，其上有 f′(x)>0，所以，当 a>－3 时，函数 f(x)(x∈R)不是减函数． 综上，所求 a 的取值范围是(－∞，－3]．
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例 1►求曲线 C：y＝3x4－2x3－9x2＋4 在点(1，－4)处的切线方程． 【解】 检验知点 (1，－4)是曲线 C 上一点， f′(x)＝12x3－6x2－18x，f′(1)＝－12. ∴切线方程为 y＋4＝－12(x－1)． 即 y＝－12x＋8.
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②若1－ 2aa＜1，即31＜a＜1 时，g(x)在 x＝1－ 2aa处取得最大值 g12－aa＝ 2ae1－ 2aa，在 x＝0 或 x＝1 处取得最小值．
而 g(0)＝1＋a，g(1)＝(1－a)e， 则当13＜a≤ee－ ＋11时，g(x)在 x＝0 处取得最小值 g(0)＝1＋a；当ee－ ＋11＜a＜1 时，g(x)在 x＝1 处取得最小值 g(1)＝(1－a)e.
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②若点 P(x0，y0)不是切点，则设切点为 Q(x1，y1)，则切线方程为 y－y1＝ f′(x1)(x－x1)，再由切线过点 P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)① 又 y1＝f(x1)② 由①②求出 x1，y1 的值， 即求出了过点 P(x0，y0)的切线方程．
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例 2►对正整数 n，设曲线 y＝xn(1－x)在 x＝2 处的切线与 y 轴交点的纵坐 标为 an，则数列n＋an1的前 n 项和为_2_n_＋_1_－__2_．
【解】 y′＝nxn－1－(n＋1)xn， 曲线 y＝xn(1－x)在 x＝2 处的切线的斜率为 k＝n·2n－1－(n＋1)2n. 又因为切点为(2，－2n)，所以切线方程为 y＋2n＝k(x－2)．
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(2)因为 g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，所以 g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex. (ⅰ)当 a＝0 时，g′(x)＝ex＞0，g(x)在 x＝0 处取得最小值 g(0)＝1，在 x ＝1 处取得最大值 g(1)＝e. (ⅱ)当 a＝1 时，对于任意 x∈(0,1)有 g′(x)＝－2xex＜0，g(x)在 x＝0 取得 最大值 g(0)＝2，在 x＝1 取得最小值 g(1)＝0. (ⅲ)当 0＜a＜1 时，由 g′(x)＝0 得 x＝1－2aa＞0. ①若1－2aa≥1，即 0＜a≤13时，g(x)在[0,1]上单调递增，g(x)在 x＝0 处取得 最小值 g(0)＝1＋a，在 x＝1 取得最大值 g(1)＝(1－a)e.
故一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米．
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突破六 定积分的应用 在利用定积分解决实际问题时要注意找清被积函数和积分上下限；用定
积分求平面图形的面积是定积分的一个重要应用，解题步骤如下：①画出图 形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限．③ 确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置．④写出平面图形面积的 定积分表达式．⑤运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．
依题意需对任意 x∈(0,1)，有 f′(x)＜0.
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当 a＞0 时，因为二次函数 y＝ax2＋(a－1)x－a 的图象开口向上，而 f′(0) ＝－a＜0，所以需 f′(1)＝(a－1)e＜0，即 0＜a＜1.
当 a＝1 时，对任意 x∈(0,1)有 f′(x)＝(x2－1)ex＜0，f(x)符合条件； 当 a＝0 时，对任意 x∈(0,1)，f′(x)＝－xex＜0，f(x)符合条件； 当 a＜0 时，因为 f′(0)＝－a＞0，f(x)不符合条件． 故 a 的取值范围为 0≤a≤1.
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突破四 恒成立的问题 一些求题中参数取值范围的问题，常转化为恒成立问题．
例 5►已知函数 f(x)＝ax3＋3x2－x＋1 在 R 上是减函数，求 a 的取值范围．
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【解】 求函数 f(x)的导数：f′(x)＝3ax2＋6x－1. (1)当 f′(x)<0(x∈R)时，f(x)是减函数． 3ax2＋6x－1<0(x∈R)⇔a<0， 且 Δ＝36＋12a<0⇔a<－3.所以，当 a<－3 时， 由 f′(x)<0，知 f(x)(x∈R)是减函数．
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例 4►已知函数 f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex 在[0,1]上单调递减且满足 f(0)＝1，f(1) ＝0.
(1)求 a 的取值范围； (2)设 g(x)＝f(x)－f′(x)，求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．
【解】 (1)由 f(0)＝1，f(1)＝0，得 c＝1，a＋b＝－1，则 f(x)＝[ax2－(a＋ 1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，
(1)求导数 f′(x)； (2)解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0； (3)确定并指出函数的单调增区间、减区间． 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用 “∪”连结．
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例 3►已知实数 a>0，函数 f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)的极大值为 32，求函数 f(x) 的单调区间．
【解】 f(x)＝ax3－4ax2＋4ax， f′(x)＝3ax2－8ax＋4a， 令 f′(x)＝0 得 3ax2－8ax＋4a＝0， ∵a＝/ 0，∴3x2－8x＋4＝0，∴x＝23或 x＝2. ∵a>0，∴当 x∈－∞，23或 x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0， ∴函数 f(x)的单调递增区间为－∞，23和[2，＋∞)；
例 8►设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等的实根，且 f′(x)＝ 2x＋2.
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当 x∈32，2时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)的单调递减区间为23，2.
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突破三 利用导数，求函数的极值和最值 1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)解方程 f′(x)＝0 的根； (3)检验 f′(x)＝0 的根的两侧 f′(x)的符号． 若左正右负，则 f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则 f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是 f(x)的极值点．
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突破五 导数在实际中的应用问题 利用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利
用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使 复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点．
1．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法． (1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值 的变量 y 与自变量 x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系 y＝f(x)， 根据实际问题确定 y＝f(x)的定义域． (2)求 f′(x)，令 f′(x)＝0，得出所有实数的解． (3)比较函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义 确定函数的最大值或最小值．
0
x2＋1， 0≤x≤1， f(x)＝3－x 1<x≤3.
∴S＝1(x2＋1)dx＋3(3－x)dx
0
1
＝x33＋x10＋3x－x2231
＝13＋1＋9－92－3－12＝130.
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2．求函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求 f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)求得的极值与 f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最 小的一个值为最小值． 特别地，①当 f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得； ②当 f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处 f(x)有极大(或极小)值， 则可以断定 f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e＝2.7 计算)．
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【解】 (1)①当 0<t≤10 时，
V(t)＝(－t2＋14t－40)e41t＋50<50，
化简，得 t2－14t＋40>0，解得 t<4 或 t>10.
又 0<t≤10，故 0<t<4.
②当 10<t≤12 时，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋50<50，
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例 6►水库的蓄水量随时间而变化．现用 t 表示时间，以月为单位，年初为 起点．根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于 t 的近似函数关 系式为
(1)该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期，以 i－1<t<i 表示第 i 月份 (i＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？
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令 x＝0，得 an＝(n＋1)2n， 令 bn＝n＋an1＝2n，∴{bn}是等比数列，b1＝q＝2. 数列n＋an1的前 n 项和为 2＋22＋23＋…＋2n＝211－－22n＝2n＋1－2.
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突破二 利用导数确定函数的单调区间 应用导数求函数的单调区间的步骤：
化简，得(t－10)(3t－41)<0，解得
41 10<t< 3 .
又 10<t≤12，故 10<t≤12.
综上得 0<t<4，或 10<t≤12 时，水库的蓄水量小于 50.
故知枯水期为 1 月、2 月、3 月、4 月、11 月、12 月共 6 个月．
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(2)由(1)知，V(t)的最大值只能在[5,10]内达到，
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2．利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题： (1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合 实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，由 f′(x)＝0 常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小) 值在 x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．
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突破一 导数的几何意义 利用导数求曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线方程时，应注意：
(1)判断点 P(x0，y0)是否在曲线 y＝f(x)上； (2)①若点 P(x0，y0)为切点，则曲线 y＝f(x)在点 P 处的切线的斜率为 f′(x0)， 切线的方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
由 V′(t)＝e14t－14t2＋32t＋4 ＝－14e14t(t＋2)(t－8)， 令 V′(t)＝0，解得 t＝8(t＝－2 舍去)．
当 t 变化时，V′(t)与 V(t)的变化情况如下表：
t (5,8) 8 (8,10)
V′(t) ＋
0
－
V(t)
极大值
由上表知，V(t)在 t＝8 时取得最大值 V(8)＝8e2＋50≈108.32(亿立方米)．