初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解11 一次函数

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解
专题11 一次函数
【知识要点】
考点知识一变量与函数
变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。

常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。

【注意】
1、变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。

2、区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。

函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

【函数概念的解读】
1、有两个变量。

2、一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。

3、对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。

函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。

函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

画函数图像的一般步骤：1、列表2、描点3、连线
函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：
1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。

2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。

函数的三种表示法及其优缺点
1、解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。

缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。

3、列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种
表示法叫做列表法。

优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。

缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。

3、图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。

缺：图像中只能得到近似的数量关系。

考点知识二一次函数的图形与性质
正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k 叫做比例系数。

一次函数定义：如果y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。

注意：当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。

待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定系数法。

待定系数法求函数解析式的一般步骤：
1、设函数解析式
2、将已知条件带入到解析式中
2、解方程（组） 4、将求出的数值代入到解析式中
正比例函数图像与一次函数图像特征
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
总结如下：
k>0时，y随x增大而增大，必过一、三象限。

k>0，b>0时, 函数的图象经过一、二、三象限；（一次函数）
k>0，b<0时, 函数的图象经过一、三、四象限；（一次函数）
k>0，b=0时, 函数的图象经过一、三象限。

（正比例函数）
k<0时, y随x增大而减小，必过二、四象限。

k<0，b>0时，函数的图象经过一、二、四象限；（一次函数）
k<0，b<0时，函数的图象经过二、三、四象限；（一次函数）
k<0，b=0时，函数的图象经过二、四象限。

（正比例函数）
直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：
1、当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．
2、当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y2=kx＋b的图象．k，b符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
正比例函数的图像：y=kx（k≠0）是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线。

一次函数的图象：y=kx+b（k≠0）是经过点（0，b）和的一条直线。

1、当,则k，b异号，直线与x轴交与正半轴
2、当,则b=0，直线过原点
3、当,则k ，b 同号，直线与x 轴交与负半轴
在两个一次函数表达式中：直线l 1：y 1=k 1x ＋b 1与l 2：y 2=k 2x ＋b 2的位置关系
k 相同，b 也相同时，两一次函数图像重合；
k 相同， b 不相同时，两一次函数图像平行；
k 不相同，b 不相同时，两一次函数图像相交；
k 不相同，b 相同时，两一次函数图像交于y 轴上的同一点（0，b ）。

特殊位置关系：直线l 1：y 1=k 1x ＋b 1与l 2：y 2=k 2x ＋b 2
两直线平行，其函数解析式中K 值（即一次项系数）相等。

即：b k k 2121b ≠=且 两直线垂直，其函数解析式中K 值互为负倒数（即两个K 值的乘积为-1）。

即:121-=•k k 直线l 1与坐标原点构成的三角形面积为s=
考点知识三一次函数与方程（组）、不等式 一次函数与一元一次方程的关系：因为任何一个以x 为未知数一元一次方程都可以转化为kx+b=0（k ≠0 ）的形式.求方程kx+b=0(k ≠0)的解，就是求函数y=kx+b(k ≠0)函数值为0时，自变量x 的值.
一次函数与二元一次方程组的关系：一般因为每个含有未知数x 和y 的二元一次方程，都可以写成y=kx+b （k ≠0，k ，b 为常数）的形式。

所以每个这样的方程都对应一个一次函数，即对应一条直线。

直线上每个点的坐标（x ，y ），都是这个二元一次方程的解。

由上可知，含有未知数x 和y 的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。

从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少。

从“形”的角度看，
解这样的方程组，相当于确定两条直线的交点坐标。

因此可以通过画一次函数图像的方法得到方程组的解
一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x 为未知数一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 （a ≠0 ）的形式。

求不等式的解，就是求不等式y=ax+b 函数值大于或小于0时，自变量x 的取值范围。

【考点题型】
考点题型一正比例函数的定义
【解题思路】正比例函数的定义
典例1．（2021·天津中考模拟）已知函数y ＝（m ﹣1）x+m 2﹣1是正比例函数，则m ＝_____．
变式1-1．（2021·吉林中考模拟）若y=（m ﹣1）x |m|是正比例函数，则m 的值为_____. 变式1-2．（2021·柳州市龙城中学中考模拟）若一次函数y=(m ﹣3)x+m 2﹣9是正比例函数，则m 的值为_______．
考点题型二正比例函数的图像与性质
【解题思路】熟知函数图象上点的坐标满足其解析式是解决此题的关键．
典例2．（2021·陕西模拟）下列四个点，在正比例函数y=25
x 的图象上的点是（ ） A ．（2，5） B ．（5，2） C ．（2，﹣5） D ．（5，﹣2）
变式2-1．（2021·陕西模拟）若一个正比例函数的图象经过A (3，m ﹣1)，B (4，2m ﹣1)两点，则m 的值为（）
A ．﹣0.5
B ．0.5
C ．2
D ．﹣2
变式2-2．（2021·西安市模拟）若正比例函数12y x
经过两点（1，1y ）和（2，2y ），则1y 和2y 的大小关系为（）
A ．12y y <
B ．12y y >
C ．12y y =
D ．无法确定
变式2-3．（2021·湖南株洲市一模）如图，在同一直角坐标系中，正比例函数1y k x =，
2y k x =，3y k x =，4y k x =的图象分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则下列关系中正确的是（）
A ．1234k k k k <<<
B ．2143k k k k <<<
C ．1243k k k k <<<
D ．2134k k k k <<<
考点题型三根据一次函数的定义求参数
【解题思路】熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
典例3（2021·海口市模拟）一次函数y ＝（k ﹣1）x +3的图象经过点（﹣2，1），则k 的值是（ ）
A ．﹣1
B ．2
C ．1
D ．0
变式3-1．（2021·安徽中考真题）已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（）
A ．()1,2-
B ．()1,2-
C ．()2,3
D ．()3,4
变式3-2．（2021·浙江杭州市·中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y ＝ax +a （a ≠0）的图象过点P （1，2），则该函数的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点题型四一次函数的图像
【解题思路】解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
典例4（2021·四川广安市·中考真题）一次函数7y x =--的图象不经过的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
变式4-1．（2021·山东济南市·中考真题）若m <﹣2，则一次函数()11y m x m =++-的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
变式4-2．（2021·山东日照市·中考真题）将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ）
A ．y ＝2x +3
B ．y ＝2x ﹣3
C ．y ＝2（x +3）
D ．y ＝2（x ﹣3）
变式4-3．（2021·辽宁沈阳市·中考真题）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(3,0)A -，点(0,2)B ，那么该图象不经过的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
变式4-4．（2021·湖南益阳市·中考真题）一次函数y kx b =+的图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A ．0k <
B ．1b =-
C ．y 随x 的增大而减小
D ．当2x >时，0kx b +<
考点题型五一次函数的性质 【解题思路】解题的关键是熟知一次函数的性质特点．
典例5（2021·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）对于一次函数2y x =+，下列说法不正确的是（）
A ．图象经过点()1,3
B ．图象与x 轴交于点()2,0-
C ．图象不经过第四象限
D ．当2x >时，4y <
变式5-1．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知一次函数y =（2m +1）x +m -3的图像不经过第二象限，则m 的取值范围（）
A ．m>-12
B ．m<3
C ．-12<m<3
D ．-12
<m≤3 变式5-2．（2021·浙江九年级二模）设k 0<，关于x 的一次函数2y kx =+，当12x ≤≤时的最大值是（）
A ．2k +
B ．22k +
C ．22k -
D ．2k -
变式5-3．（2021·河南安阳市模拟）点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)都在直线y ＝kx+2（k ＜0）上，且x 1＜x 2则y 1、y 2的大小关系是（）
A ．y 1 ＝y 2
B ．y 1 ＜y 2
C ．y 1 ＞y 2
D ．y 1 ≥y 2
考点题型六求一次函数解析式
【解题思路】一次函数图像上点的坐标特点，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键．
典例6（2021·广西中考真题）直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），则k 的值是（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1 D ．2
变式6-1．（2021·湖南邵阳市·中考真题）已知正比例函数(0)y kx k =≠的图象过点()2,3，把正比例函数(0)y kx k =≠的图象平移，使它过点()1,1-，则平移后的函数图象大致是（） A ． B ． C ． D ．
变式6-2．（2021·四川乐山市·中考真题）直线y kx b =+在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式2kx b +≤的解集是（）
A ．2x -≤
B ．4x ≤-
C ．2x ≥-
D ．4x ≥-
考点题型七一次函数与一元一次方程
【解题思路】考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a ，b 为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值．
典例7（2021·山东济宁市·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思思方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b ,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b 的解是（）
A ．x=20
B ．x=5
C ．x=25
D ．x=15
变式7-1．（2021·陕西渭南市模拟一次函数3y kx =+（k 为常数且0k ≠）的图像经过点（－2，0），则关于x 的方程()530k x -+=的解为（）
A ．5x =-
B ．3x =-
C ．3x =
D ．5x =
变式7-2．（2021·湖北襄阳市模拟）如图，直线(0)y kx b k =+≠过点A(0，5)，B(－4，0)，则关于x 的方程0kx b +=的解是( )
A ．4x =-
B ．5x =
C ．54x =-
D ．45
x =- 变式7-3．（2021·河北九年级其他模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数25y x =-+的图象1l 与正比例函数的图象2l 交于点(,3)M m ，一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 能围成三角形，则在下列四个数中，k 的值能取的是（ ）
A ．﹣2
B ．1
C ．2
D ．3
考点题型八一次函数与一元一次不等式
典例8（2021·湖南湘潭市·中考真题）如图，直线(0)y kx b k =+<经过点(1,1)P ，当kx b x +≥时，则x 的取值范围为（）
A ．1x ≤
B ．1≥x
C ．1x <
D ．1x >
变式8-1．（2021·陕西模拟）如图，函数y 1＝﹣2x 与y 2＝ax +3 的图象相交于点A （m ，2），
则关于x 的不等式﹣2x ＞ax +3 的解集是（）
A ．x ＞2
B ．x ＜2
C ．x ＞﹣1
D ．x ＜﹣1
变式8-2．（2021·山西模拟）如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于A(m ，3),则不等式2x ax+4<的解集为（）
A ．3
x 2> B ．x 3> C ．3
x 2< D ．x 3<
考点题型九一次函数与二元一次方程（组）
典例9（2021·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．若直线y ＝x +3分别与x 轴、直线y ＝﹣2x 交于点A 、B ，则△AOB 的面积为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
变式9-1．（2021·河北承德市·九年级二模）如图，点A ，B ，C 在一次函数2y x b =-+的图象上，它们的横坐标依次为1-，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（）
A ．1
B ．3
C ．3(1)b -
D ．3(2)2
b - 变式9-2．（2021·西安市铁一中学九年级其他模拟）若直线y ＝3x +m 和y ＝nx ﹣4相交于
点P （﹣3，﹣2），则方程组34y x m y nx =-⎧⎨=+⎩
的解为（ ） A ．32x y =-⎧⎨=-⎩ B ．32x y =-⎧⎨=⎩ C ．32x y =⎧⎨=-⎩ D ．32x y =⎧⎨=⎩
变式9-3．（2021·陕西西安市·高新一中九年级其他模拟）若直线l 1经过点（﹣1，0），l 2经过点（2，2），且l 1与l 2关于直线x ＝1对称，则l 1和l 2的交点坐标为（ ） A ．（1，4） B ．（1，2） C ．（1，0） D ．（1，3）
考点题型十一次函数的实际应用
典例10（2021·四川广安市·中考真题）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A ，B 两种树苗，第一次购进A 种树苗30棵，B 种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A 种树苗24棵，B 种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A ，B 两种树苗各自的单价均不
变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
变式10-1．（2021·山东济南市·中考真题）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
变式10-2．（2021·浙江宁波市·中考真题）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y （千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
变式10-3．（2021·江苏南通市·中考真题）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．。