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相似三角形模型总结以及例题
相似三角形模型总结以及例题
相似三角形模型是同一个三角形被两次放大或缩小的一种模型，具有
以下特点：
1. 比较定理：三条边的比值相等，两个三角形都是一样的形状，只有
大小不同。
2. 角平分线定理：若两个三角形相似，则其中一角被平分线分割，得
到的两条边构成另一个三角形，且两个三角形也是相似的。
3. 中位线定理：若两个三角形相似，则其中一角的一边被中线分割，
形成的两个三角形，也是相似的。
理解相似三角形模型，最重要的是理解它的边和角之间的关系。
例题：若两个三角形的边比例是2:3:4和8:24:32，则它们是否相似？
答案：是的，它们是相似的。
由比较定理可知，若两个三角形的边比
例满足x:ax:ax^2关系，则它们是相似的，而2:3:4 = 8:24:32，满足
x:ax:ax^2关系，所以它们是相似的。
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（完整版）相似三角形模型分析大全（精）.doc第一部分相似三角形知识要点大全知识点 1. ．相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。
（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变．解：是相似图形。
因为它们的形状相同，大小不一定相同．例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________( 填序号 ) ．解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥．知识点 2．比例线段对于四条线段 a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a c（或a:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．bd解读：（ 1）四条线段 a,b,c,d成比例，记作a c（或 a:b=c:d ），不能写成其他形式，即比例线段b d有顺序性．（ 2）在比例式a c（或 a:b=c:d ）中，比例的项为 a,b,c,d，其中 a,d 为比例外项， b,c 为比例内项， dbd是第四比例项．（ 3）如果比例内项是相同的线段，即a bb或 a:b=b:c ，那么线段 b 叫做线段和的比例中项。
c(4) 通常四条线段a,b,c,d 的单位应一致，但有时为了计算方便，a 和b 统一为一个单位，c 和d 统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．例 3．已知线段 a=2cm, b=6mm, 求 a． b分析：求a即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比．b例 4．已知 a,b,c,d成比例，且 a=6cm,b=3dm,d= 3dm ，求 c 的长度．2分析：由 a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d ，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c ．知识点 3．相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．例 5．若四边形 ABCD 的四边长分别是 4， 6，8， 10，与四边形 ABCD 相似的四边形 A 1B 1C 1D 1 的最大边长为 30，则四边形 A 1B 1C 1D 1 的最小边长是多少？分析：四边形 ABCD 与四边形 A 1B 1C 1D 1 相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1，再根据相似3多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．知识点 4．相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读：（ 1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（ 4）相似用“∽”表示，读作“相似于” ；（ 5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．注意：①相似比是有顺序的，比如△ABC ∽△ A 1B 1C 1，相似比为 k, 若△ A 1B 1C 1∽△ABC ，则相似比为1。
中考中相似三角形的常见模型及典型例题
B
C
（2）对应边比： AD AE DE AC AB BC
例 1 如图，梯形ABCD中，AD//BC,对角线AC、BD交于点O，BE//CD
交CA延长线于E．求证：OC2 OA OE
E
AD//BC BE//CD
A
D
．O
B
AO OD OC OB OC OD OE OB
C
AO OC OC OE
（1）内角平分线定理： AB BD AC CD
（2）证明：作平行线构造A字型相似
E A
△BAD∽△BEC
B
DC
【模型3】角平分线型
【三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比】
（1）外角平分线定理： AB BD AC CD
F A E
（2）证明：作平行线构造A字型相似
B
C
D
例 6 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题：
【二级形态】三垂直模型→K型相似
E
F
△BED∽△CDF
E
F
BD C
BD
C
【模型5】一线三等角相似
【二级形态】三垂直模型→K型相似
△BED∽△CDF
E E
PE
R
BD
F
F
F
M
C
C
BD
C
Q BD
T
☆基本结论1： △BED∽△CDF，将图中相似三角形进行平移仍相似 ☆基本结论2： 矩形内两垂直线段之比等于矩形边长之比：DE PQ ☆基本结论3： 特别地，当矩形PQTR为正方形时，DE=MFM. F QT
（3）求线段的比；
（4）证明线段的等积式。
【模型1】“A”字型＆“8”字型
初二 超经典相似三角形模型分析大全
相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识(一)A字型、反A字型(斜A字型）（平行）B（不平行）(二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）(不平行)(三）母子型B(四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五)一线三直角型:（六）双垂型:二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GA BCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形：例1：如图，梯形ABCD 中,AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ,BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2:已知:如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上， ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知:如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证:FC FB FD ⋅=2．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线,∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：（1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NBACDEB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证:EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
求证：∠=︒GBM 90GMF EHDCA5．已知：如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°，BC =2,AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ,交边AC 于点D (点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点,且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证:AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时,求△BEP 的面积．ABPD E双垂型:1、如图，在△ABC 中,∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：(1）△ABD ∽△ACE;（2）△ADE ∽△ABC ；(3）BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离.C共享型相似三角形:1、△ABC 是等边三角形，D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120，已知BD=1，CE=3，，求等边三角形的边长.2、已知：如图，在Rt △ABC 中,AB =AC ，∠DAE =45°．求证:(1)△ABE ∽△ACD ； (2）CD BE BC ⋅=22．CA一线三等角型相似三角形:例1：如图，等边△ABC 中，边长为6,D 是BC 上动点，∠EDF =60° (1)求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =1,FC =3时，求BE例2：（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；②若x BP =，y CQ =,求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域;（2）正方形ABCD 的边长为5(如下图）,点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ 。
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第一部分相似三角形知识要点大全知识点 1.．相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。
（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变．解：是相似图形。
因为它们的形状相同，大小不一定相同．例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)．解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥．知识点2．比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a cb d（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作a cb d（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段有顺序性．（2）在比例式a cb d（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d是第四比例项．（3）如果比例内项是相同的线段，即a bb c或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。
(4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求ab．分析：求ab即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比．例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=32dm，求c的长度．分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c．知识点3．相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为13，再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．知识点4．相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．注意：①相似比是有顺序的，比如△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k,若△A 1B 1C 1∽△ABC ，则相似比为1k。
相似三角形模型分析大全
第一部分 相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景BDEBDEJ OADBCAB CDBDD（五）一线三直角型：（六）双垂型：D二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展共享性一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1、已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．CB EDAGABCEFACDEB例2、已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD △BC 于D ，CG △AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质．关键是能根据所证连接CE 相关练习：1、如图，梯形ABCD 中，AD △BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE △CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ⋅=2．2、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．3、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．ACBPD E（第4题图）双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED解答：证明：（1）∵CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ， ∴∠AFB=∠AEC ，∠A 为公共角，∴△ABD ∽△ACE （两角对应相等的两个三角形相似）． （2）由（1）得AB ：AC=AD ：AE ，∠A 为公共角，∴△ADE ∽△ABC （两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） (3)∵△ADE ∽△ABC ∴AD ：AB=DE ：BC 又∵∠A=60° ∴BC=2ED共享型相似三角形1、△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,△DAE= 120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.DEC如图∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60° 又∵DBCE 在一条直线上∴∠ADB+∠DAB=∠CAE+∠AEC=∠ABC=60° ∵∠DAE=120°∴∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=120°-60°=60° 由上可知∠ADB=∠CAE ，∠DAB=∠CAE ∴△DAB ∽△AEC∵三角形相似对应边成比例 ∴BD ／AC=AB ／CE ∵BD=1，CE=3 ∴AB=AC=√32、已知：如图，在Rt△ABC 中，AB =AC ，△DAE =45°．求证：（1）△ABE △△ACD ； （2）CD BE BC ⋅=22．解答：证明：（1）在Rt △ABC 中， ∵AB=AC ，∴∠B=∠C=45°． （1分）∵∠BAE=∠BAD+∠DAE ，∠DAE=45°，AB C EC A∴∠BAE=∠BAD+45°． （1分） 而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，（1分） ∴∠BAE=∠CDA ． （1分） ∴△ABE ∽△DCA ． （2分） （2）由△ABE ∽△DCA ，得． （2分）∴BE •CD=AB •AC ． （1分） 而AB=AC ，BC 2=AB 2+AC 2， ∴BC 2=2AB 2． （2分） ∴BC 2=2BE •CD ． （1分）点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强，难度较大．一线三等角型相似三角形例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，△EDF =60° （1）求证：△BDE △△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE证明：（1）∵△ABC 是等边三角形∴∠B=∠C=60°∵∠EDF=60°∴∠CDF+∠EDB=180°-∠EDF=120° ∠BED+∠EDB=180°-∠B=120°∴∠CDF=∠BED∵∠B=∠C ∴△BDE 相似△CFD 2、∵BD=1 ∴CD=BC-BD=6-1=5∵△BDE 相似△CFD ∴BE/CD=BD/CFCADBEFBE/5=1/3 BE=5/3例2、已知在梯形ABCD 中，AD △BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足△BPC ＝△A ． ①求证；△ABP △△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足△BPE ＝△A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长．解答：解：（1）∵ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AB=DC ． ∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A ∴∠ABP=∠DPC ， ∴△ABP ∽△DPC ∴，即：解得：AP=1或AP=4．（2）①由（1）可知：△ABP ∽△DPQ ∴，即：，∴（1＜x ＜4）．②当CE=1时，AP=2或．点评：本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，利用相似三角形得出线段间的比例关CBADCBA DCDA BP系是求解的关键．例3：如图，在梯形ABCD 中，AD △BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF △△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF CD ⊥，求BE 的长1.证明:∵AB=CD.∴梯形ABCD 为等腰梯形,∠B=∠C;又∠EMF=∠B,则:∠CMF=180度-∠EMF-∠BME=180度-∠B-∠BME=∠BEM. ∴⊿CMF ∽⊿BEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE. ∵MF/EM=BM/BE;∠EMF=∠B. ∴△MEF ∽△BEM.2.解:当BM=BE=3时:MF/ME=BM/BE=1,则MF=ME.∴EF ∥BC;又BE=3=AB/2.故EF 为梯形的中位线,EF=(AD+BC)/2=9/2; 当ME=BM=3时:∠MEB=∠B=∠C=∠FMC.连接DM.BM=BC/2=3=AD,又BM 平行BM,则四边形ABMD 为平行四边形. ∴∠DMC=∠B=∠FMC,即F 与D 重合,此时EF=CD=6. 3.解:∵EF ⊥CD;∠CFM=∠BME=∠EFM. ∴∠EFM=45°=∠BME.作EG ⊥BM 于G,则EG=GM;作AH ⊥BM 于H.BH=(BC-AD)/2=3/2,AH=√(AB ²-BH ²)=3√15/2. 设EG=GM=X,则BG=3-X.BG/BH=EG/AH,(3-X)/(3/2)=X/(3√15/2),X=(45-3√15)/14. BE/BA=EG/AH,即BE/6=[(45-3√15)/14]/(3√15/2),BE=(6√15-6)/7.练习：如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线,EG FG 交直线AC 于点,M N ， （1）写出图中与BEF ∆相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （4）若1AE =，试求GMN ∆的面积．一线三直角型相似三角形例：已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作CP PE ⊥，交边AB 于点E,设y AE x PD ==,，（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。
相似三角形典型模型及例题
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
①当点Q在DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长．
例4：如图，在梯形 中， ∥ ， ， ．点 为边 的中点，以 为顶点作 ，射线 交腰 于点 ，射线 交腰 于点 ，联结 ．
（1）求证：△ ∽△ ；
（2）若△ 是以 为腰的等腰三角形，求 的长；
（六）双垂型：
二：相似三角形判定的变化模型
旋转型：由A字型旋转得到
8字型拓展
共享性
一线三等角的变形
一线三直角的变形
2：相似三角形典型例题
（1）母子型相似三角形
例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．
求证： ．
例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ．
（3）
例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证；△ABP∽△DPC
②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB
(完整版)相似三角形知识点及典型例题,推荐文档
相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC， （2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CEEF∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
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相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(3)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
(4)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
(5)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
(6)判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ ABC 中，/ BAC=90 , AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)( AD) 2=BD- DC ( 2)( AB) 2=BD • BC ,22(3)( AC) =CD・ BC。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即 2 2(AB) + ( AC) = ( BC)2典型例题:例1 如图，已知等腰 △ABC 中，AB = AC , AD 丄BC 于D , CG II AB , BG 分别交AD , AC 于E 、F ，求证：BE 2=EF EG证明：如图，连结 EC ,v AB = AC , AD 丄BC ,•••/ ABC = Z ACB , AD 垂直平分 BC••• BE = EC ，/ 1 =Z 2，•/ ABC- / 1 =Z ACB- / 2 ,即/ 3 = Z 4，又 CG // AB ，•/ G = Z 3，•/ 4 = Z GCE EF又•••/ CEG = Z CEF , CEF GEC , • EG = CE • EC 2= EG- EF ，故 EB 2=EF -EG【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明•而 其中利用线段的垂直平分线的性质得到 BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE , EF , EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
相似三角形常见模型与经典型例题讲解
第一部分相似三角形模型分析、相似三角形判定的基本模型认识（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（二）8字型、反8字型（五）一线三直角型:（六）双垂型:、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到--- 1-—三一◎石亡8字型拓展一线三等角的变形一线三直角的变形例2:已知：如图，△ ABC 中，点E 在中线AD 上, ■ DEB =/ABC .求证：(1) DB 2 二 DE DA ; (2) . DCE=/DAC .例3:已知：如图，等腰△ABC 中, AB= AC ADL BC 于 D, CG/ ABBG 分别交AD AC 于E 、F .第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1:如图，梯形 ABCDK AD// BC 对角线 AC BD 交于点O, BE/ CD 交CA 延长线于E.求证：OC 2 =OA OE .求证：BE 2二 EF EG .相关练习:1、如图，已知ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线.求证： FD 2二FB FC .A(3)2、已知：AD 是 Rt △ ABC 中/A 的平分线，/ C=90°, EF 是AD 的垂直平分线交 AD 于MEF 、BC 的延长线 交于一点M求证：(1) △ AM 3A NMD; (2)ND2=NC- NB3、已知：如图，在△ ABC 中，/ ACB=90 , CDLAB 于 D, 是AC 上一点，CF 丄BE 于F 。
求证：EB- DF=AE- DB4.在AABC 中，AB=AC 高AD 与 BE 交于H, EF 丄BC ，垂足为F ,延长AD 到G,使DG=EF M 是AH 的中点。
当厶BEP-与^ ABC 相似时，求△ BEP 的面积.双垂型1、如图，在△ ABC 中，/ A=60°, BD CE 分别是AC AB 上的高 求证：(ABD^A ACE (2)△ ADE^A ABQ (3)BC=2ED5求证：-GBM =905.（本题满分14分, 5分)已知：如图，在 一个动点，PC L AB 交边AC 于点D 线DC 上一点，且/ EP[=Z A.设A y . (1) 求证：AE=2PE第（1）小题满分4分，第（2）、（ 3）小题满分各 （第25题图）Rt △ ABC 中，/ (2) 求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域; D求证：(1) △(2) BC 2 =2BE CD •2、如图，已知锐角厶ABC AD CE 分别是BC AB 边上的高，△ BDE 的面积分别是 27和3, DE=6・..2 ,求：点B 到直线AC 的距离。
相似三角形典型模型及例题
1：类似三角形模子一：类似三角形剖断的根本模子（一）A字型.反A字型（斜A字型）（平行）（不服行）（二）8字型.反8字型（平行）（不服行）（三）母子型（四）一线三等角型：三等角型类似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为布景,一个与等腰三角形的底角相等的极点在底边地点的直线上,角的双方分离与等腰三角形的双方订交如图所示：（五）一线三直角型：三直角类似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例,三直角型类似平日是以矩形或者正方形形为布景,或者在一条直线上有一个极点在该直线上移动或者扭转的直角,几种罕有的根本图形如下：当标题标前提中只有一个或者两个直角时,就要斟酌经由过程添加帮助线结构完全的三直角型类似,这往往是许多压轴题的冲破口,进而将三角型的前提进行转化.（六）双垂型：二：类似三角形剖断的变更模子扭转型：由A字型扭转得到8字型拓展CB EDA共享性一线三等角的变形2：类似三角形典范例题（1）母子型类似三角形例1：如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC.BD交于点O,BE∥CD交CA延伸线于E．求证：OEOAOC⋅=2．GAB CE F例2：已知：如图,△ABC 中,点E 在中线AD 上求证：（1（2例3：已知：如图,等腰△ABC 中,AB ＝AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ∥AB ,BG 分离交AD .AC 于E .F ．1.如图,已知AD 为△ABC 的角等分线,EF 为AD的垂直等分线．求证：2.已知：AD 是Rt△ABC 中∠A 的等分线,∠C=90°,EF 是AD 的垂直等分线交AD 于M,EF.BC 的延伸线交于一点N.求证：(1)△AME∽△NMD;3.已知：如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于D,E 是AC 上一点,CF ⊥BE 于F.求证：EB·DF=AE·DB4.,AB=AC,高AD与BE 交于垂足为F,延伸AD 到G,使DG=EF,M 是AH的中点.5已知：如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,BC =2,AC =4,P 是斜边AB 上的一个动点,PD ⊥AB ,交边AC 于点D （点D 与点A .C 都不重合）,E 是射线DC 上一点,且∠EPD =∠A ．设A .P 两点的距离为x ,△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ;（2）求y 关于x 的函数解析式,并写出它的界说域; （3）当△BEP 与△ABC 类似时,求△BEP 的面积．AD EB（2）双垂型1.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD.CE分离是AC.AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE;（2）△ADE∽△ABC;(3)BC=2ED2.如图,已知锐角△ABC,AD.CE分离是BC.AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分离是27和求：点B到直线AC的距离.（3）共享型类似三角形1.△ABC是等边三角形,DBCE在一条直线上,∠DAE=120°,已知BD=1,CE=3,求等边三角形的边长.2.已知：如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△ACD; （2(4)一线三等角型类似三角形例1：如图,等边△ABC中,边长为6,D是BC上动点,∠EDF=60°（1）求证：△BDE∽△CFD（2）当BD=1,FC=3时,求BE例2：（1）,,;,并写出函数的界说域;D ECADBE F（2）,,,.例3：已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＜BC ,且AD ＝5,AB ＝DC ＝2． （1）如图8,P 为AD 上的一点,知足∠BPC ＝∠A ．①求证;△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）假如点P 在AD 边上移动（点P 与点A .D 不重合）,且知足∠BPE ＝∠A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,那么①当点Q 在DC 的延伸线上时,设AP ＝x ,CQ ＝y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的界说域;②当CE ＝1时,写出AP 的长．例4：如图,的中点,ABC PQAB CDCAB CDABC（1（2,; （31.如图,在△ABC 中,边上, (1) 求证：△ABD ∽△DCE;(2),; (3),试解释△ADE 是什么三角形,并解释来由．2.如图,已知在△ABC 中, AB =AC =6,BC =5,D 是AB 上一点,BD =2,E 是BC 上一动点,联络DE,射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ;（2）当F 是线段AC 中点时,求线段BE 的长;（3）联络DF ,假如△DEF 与△DBE 类似,求FC 的长．3.已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＜BC ,且BC =6,AB =DC =4,点E 是AB 的中点．（1）如图,P 为BC 上的一点,且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ;（2）假如点P 在BC 边上移动（点P 与点B .C 不重合）,且知足∠EPF =∠C ,PF 交直线CD 于点F ,同时交直线AD 于点M ,那么①当点F 在线段CD的延伸线上时,设BPDF,并写出函数的界说域;ABCDE,求BP的长．4.如图,动点,（1; （2）证实个中一对三角形类似;（3,; （4(5)一线三直角型类似三角形例1.已知矩形ABCD 中,CD=2,AD=3,点P 是AD 上的一个动点,且和点A,D 不重合,过点P 交边AB 于点E,求y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值规模. 例2.AB 上的一点,点P 是AC上的一个动点段BC 于点Q,（不与点B,C 重合）,x 的函数关系,并写出界说域. 1.点D 是BC 的中点,点E 是AB 边上的动点AC 于点F （1）.求AC 和BC 的长EDCBAPB（2）.,求BE 的长.（3）.贯穿连接EF,,求BE的长.2.在直角三角形ABC 中是AB 边上的一点,E 是在AC 边上的一个动点,（与A,C 不重合）BC 订交于点F.(1).当点D 是边AB 的中点时,(2).（3）.求y 关于x 的函数关系式,并写出界说域3.如图,的一个动点,（1,;（2,. 4.如图,(图1) (1); (2),;(图2)(3),并写出界说域.F CBAQPDCBAQPDC BA。
(完整版)相似三角形模型分析大全(非常全面-经典)
相似三角形模型分析大全1、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（6）双垂型：2、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展B一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：．OE OA OC ⋅=2例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ．ABC DEB ∠=∠求证：（1）； （2）．DA DE DB ⋅=2DAC DCE ∠=∠ACDEB例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：．EG EF BE ⋅=2相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：．FC FB FD ⋅=22、已知：AD 是Rt△ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND =NC·NB23、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BCGBM90求证：∠=︒5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高A（第25题图）求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=6，求：点B 到直线AC 的距离。
相似三角形_模型分析和典型例题讲解大全
第一部分 相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）AB CD ECB A DE（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）（平行） （不平行）（三）母子型CADABCD垂直 不垂直 （四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．AC DEB2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
相似三角形模型分析大全
第一部分相似三角形知识要点大全知识点1..相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。
（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.例1 .放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变.解：是相似图形。
因为它们的形状相同，大小不一定相同.例2 •下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100。
的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是 _____________ （填序号）.解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100。
的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似.答案：②⑤⑥.知识点2•比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即--（或b da:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.a c解读：（1）四条线段a,b,c,d 成比例，记作——（或a：b=c:d ）,不能写成其他形式，即比例线段b d有顺序性.a c（2）在比例式（或a:b=c:d ）中，比例的项为a,b,c,d ，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，db d是第四比例项.a b（3）如果比例内项是相同的线段，即或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。
b c⑷通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等.a例3 .已知线段a=2cm, b=6mm,求b分析：求a即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比.b3 、例4 .已知a,b,c,d 成比例，且a=6cm,b=3dm,d= dm,求c的长度.2分析：由a,b,c,d 成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d 统一单位后代入求c. 知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.例5.若四边形ABCD勺四边长分别是4, 6, 8, 10,与四边形ABCD相似的四边形A1BGD的最大边长为30,则四边形ABCD的最小边长是多少？1分析：四边形ABCD与四边形ABQD相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1，再根据相似3 多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长.知识点4 •相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形. 解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种； (2) 应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； (3) 相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同; (4) 相似用“s”表示，读作“相似于” ； (5) 相似三角形的对应边之比叫做相似比.注意：①相似比是有顺序的，比如△AB3A A i B i C i ，相似比为 k,若厶A i BiC i s^1ABC 则相似比为一。
相似三角形”A“字模型(含详细问题详解)-经典
教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． 4．相似三角形周长的比等于相似比． ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DEAB AC BC==， 【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，求证：△ADE∽△DBF．证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△DBF．A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①【解答】证明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽△DBF．故选：B．【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或秒时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，，即，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，，即，解得t=．综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似．故答案为4.8或．图②反A字型，∠ADE=∠B或∠1=∠B结论：AE AD DE==AC AB BC【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=即=时，△ABC∽△AED．故选：A．【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，∴△ACP∽△ABC；∵，∠A=∠A，∴△ACP与△ABC；故答案为：B；．【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．【解答】解：当∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．故答案为∠ADE=∠B．【练习2】如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，∴====，∴=，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．【练习3】如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是角平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠CBD，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．【练习4】已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD．【解答】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．【练习5】如图，已知AD•AC=AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵AD•AC=AE•AB，∴=在△ABC与△ADE 中∵=，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE．【练习6】已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=4，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．图③双A字型【例4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC 的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若=，求的值．【解答】解：（1）∵∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，∴△ABC∽△AED．∵∠AED=∠ABC，∠EAG=∠BAF，∴△AEG∽△ABF．∵∠EDG=∠ACF，∠DAG=∠CAF，∴△ADG∽△ACF．（2）∵=，∴=，∵△ADG∽△ACF，∴==．【练习1】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；（2）求AG与GF的比．【解答】解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；（2）∵==，=，∴=，又∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴∠ADG=∠C，∵AF为角平分线，∴∠DAG=∠FAE∴△ADG ∽△ACF ， ∴==，∴=2．图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）【例5】如图，△ABC ，是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm ，AD=30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M ． （1）求证：=；（2）求这个矩形EFGH 的周长；（3）是否存在一个实数a ，当HE=a 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在，试求出a ；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形HEFG 为矩形， ∴HG ∥EF ， 而AD ⊥BC ， ∴AM ⊥BC ，。
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相似三角形
1.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2
．
2.已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．
求证：（1）DA DE DB ⋅=2
； （2）DAC DCE ∠=∠．
3.已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．
求证：EG EF BE ⋅=2
．
A C D E B
4.如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2
．
5.如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED
6.△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.
A
B C D
E
D
E
A B
C
E
D
C
A
B
7.已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠DAE =45°．
求证：（1）△ABE ∽△ACD ； （2）CD BE BC ⋅=22．
8.如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD
（2）当BD =1，FC =3时，求BE
C
A
D
B E
F
9.如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．
（1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．
F
B
A
C
D E。