宣城市六中2019——2020学年度第二学期期末考试八年级数学试题

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宣城市六中2019—2020学年度第二学期期末考试
八年级数学试题
提示：考试时间：100分钟,试卷满分100分.
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅰ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅰ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
2.下列化简结果正确的是()
A. √2+√3=√5
B. a√−1
a
=−√a
C. (√3)3=9√3
D. 2√12+√18=7√3
3.直角三角形的两条直角边分别是6，8，则此直角三角形三条中线的和是()
A. √15+√73+2√13
B. √15+√77+2√13
C. 5+√73+2√13
D. 5+√77+2√13
4.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：
班级参加人
数
平均数中位数方差
甲班55135149191
乙班55135151110
某同学分析上表后得出如下结论：
(1)甲、乙两班学生的平均成绩相同；
(2)乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字的个数≥150为优秀)；
(3)甲班成绩的波动比乙班大．
上述结论中，正确的是()
A. (1)(2)
B. (2)(3)
C. (1)(3)
D. (1)(2)(3)
5.下列判断错误的是()
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形
D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
6.方程(m−2)x2−√3−mx+1
4
=0有两个实数根，则m的取值范围()
A. m>5
2
B. m≤5
2
且m≠2 C. m≥3 D. m≤3且m≠2
7.下列命题中，正确的是()
A. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
B. 对角线相等的平行四边形是菱形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
8.如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD中AD，BD，BC，AC的中点，当四边形ABCD满足什么
条件时，四边形EFGH是菱形
A. AC⊥BD
B. AB=CD
C. AC=BD
D. AB⊥CD
9.如图，图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别由若干个点组成，照此规律，若图(n)中共有
129个点，则n=()
A. 8
B. 9
C. 10
D. II
10.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是边AD上一点，点F是矩形内一点，
∠BCF=30°，则EF+1
2
CF的最小值是()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 2√3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共16分）
11.省运会举行射击比赛，我市射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛，在选拔赛中，每人射击10
次，计算他们10次成绩的平均数和方差如下表，请你根据表中数据选一人参加比赛，最适合的人选是______．
甲乙丙丁
平均数9.29.09.09.2
方差 2.0 1.8 1.5 1.3
12.方程x2
(x+2)(x−1)−1
2
=x
(x+2)(x−1)
的根是______．
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，
DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于______ ．
14.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BG于点E，CF⊥AD于点F，∠B=60°，当边AD：AB=______
时，四边形AECF是正方形．
三、计算题（本大题共1小题，共5分）
15.(−√2)2+|1−√2|−(√3−1)0×√18
四、解答题（本大题共6小题，共49分）
16.（8分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BF平分∠ABC，交
DE于点F，FG//AB交BC于点G．
(1)求证：四边形BDFG是菱形；
(2)若EF=1，CG=4，求四边形BDFG的周长．17.（6分）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A、B、C为格点(格子线的交点)
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)求AB边上的高．
18.（6分）
在校
体育集训队中，跳高运动员小军和小明的9次成绩如下：(单位：m)
小军：1.41、1.42、1.42、1.43、1.43、1.43、1.44、1.44、1.45
小明：1.38、1.38、1.39、1.41、1.43、1.45、1.47、1.48、1.48
(1)小军成绩的众数是______ ．
(2)小明成绩的中位数是______ ．
(3)只能有一人代表学校参赛．两人的平均成绩都是1.43，因为______ (填人名)的成绩稳定，所以体
育老师选该同学参赛．
19.（7分）(1)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，其中a≠0，若方程有一个根为1，则a，b，c
满足条件为______ ．
(2)解方程：217x2−307x+90=0
20.（10分）如图，这是一个矩形养鸡场的平面图，一边靠墙(有阴影的直线)，其余边用60米的篱笆围成．养
鸡场被分割成三个面积相等的矩形区域①、②、③.且AD>AB.若养鸡场的总面积为162平方米，求AD的长．
21.（12分）在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，将Rt△ABC沿着对角线AC对折得到△AMC．
(1)如图①，CM交AD于点E，EF⊥AC于点F，求EF的长．
(2)如图②，再将Rt△ADC沿着对角线AC对折得到△ANC，顺次连接B、M、D、N，求：四形BMDN
的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、√2与√3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a√−1
a
=−√a，故本选项正确；
C、(√3)3=3√3，故本选项错误；
D、2√12+√18=4√3+3√2≠7√3，故本选项错误．
故选B．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵直角三角形的两条直角边分别是6，8，
∴斜边=√62+82=10，
∴此直角三角形三条中线的和=√32+82+√62+42+5=5+√73+2√13，
故选：C．
利用勾股定理，根据中线的定义计算即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
4.【答案】D
【解析】解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；
根据中位数可以确定，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；
根据方差可知，甲班成绩的波动比乙班大．
故(1)(2)(3)正确，
故选：D．
两条平均数、中位数、方差的定义即可判断；
本题考查平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5.【答案】D 【解析】【分析】
根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．
本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．【解答】
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项不符合题意；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项符合题意．
故选：D．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到
{
m−2≠0
3−m≥0
Δ=(−√3−m)2−4(m−2)×1
4
≥0，然后解不等式组即可．
【解答】
解：根据题意得：
{
m−2≠0
3−m≥0
Δ=(−√3−m)2−4(m−2)×
1
4
≥0
,
解得：m≤5
2
且m≠2．
故选B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定，要求学生对这些基本的图形熟练掌握．根据平行
四边形的判定方法、正方形的判定方法、矩形的判定方法以及菱形的判定方法逐项分析即可．
【解答】
A.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故该选项错误；
B.对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项错误；
C.对角线垂直的平行四边形是菱形，故该选项错误；
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项正确．
故选D.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质有关知识，根据邻边相等的平行性四边形是菱
形可得当四边形ABCD满足AB=CD时，EFGH是菱形．
【解答】
解：当四边形ABCD满足AB=CD时，EFGH是菱形，
∵E、F、G、H分别是AB，BD，BC，AC的中点．
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF平行且等于1
2
AB，
同理EH平行且等于1
2
CD，
∴EF=EH，
∵四边形EFGH是平行四边形．
∴平行四边形EFGH是菱形
故选B．
9.【答案】C
【解析】解：图(1)有1×2+2×1−1=3个点；
图(2)有2×3+2×2−1=9个点；
图(3)有3×4+2×3−1=17个点；
图(4)有4×5+2×4−1=27个点；
…
图(n)有n×(n+1)+2×n−1=n2+3n−1个点；
令n2+3n−1=129，
解得：n=10或n=−13(舍去)
故选：C．
仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解．
本题考查了图形的变化类问题，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现，解题的关键是能够找到图形变化的通项公式，难度不大．
10.【答案】A
【解析】解：过F作GH//CD，交AD于G，BC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，AD//BC，
∴GH⊥AD，∠CHF=90°，
∵∠BCF=30°，
∴FH=1
2
CF，
∵点E是边AD上一点，∴EF+1
2
CF=EF+FH，
即EF+1
2
CF的最小值是GH，
∵∠GHC=∠BCD=∠D=90°，
∴四边形DGHC是矩形，
∴GH=CD=AB=3，
即EF+1
2
CF的最小值是3；
故选：A．
作辅助线，先根据直角三角形30度角的性质可知1
2
CF=FH，得GH的长是EF+1
2
CF的最小值，从而得结论．
本题考查了矩形的判定和性质，平行线的距离，直角三角形30度角的性质等知识，解题关键是确定EF+1
2
CF 的最小值是GH．
11.【答案】丁
【解析】解：∵甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，
甲，乙，丙，丁四个人中丁的方差最小，
说明丁的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差两个方面说明丁成绩既高又稳定，
∴丁是最佳人选．
故答案为：丁．
根据甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丁的方差最小，说明丁的成绩最稳定，得到丁是最佳人选．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12.【答案】x=2
【解析】解：去分母得：2x2−x2−x+2=2x，
整理得：(x−2)(x−1)=0，
解得：x=2或x=1，
经检验x=1是增根，分式方程的解为x=2，
故答案为：x=2
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13.【答案】2.4
【解析】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，
连接CD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形EDFC是矩形，
∴EF=CD，∠EDF=90°，
∵点Q是EF的中点，
∴DQ=1
2EF=1
2
CD，
当CD最小时，则DQ最小，
根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则CD最小，
∴DQ=1
2EF=1
2
CD=1
2
×6×8
10
=2.4，
故答案为：2.4．
连接CD，根据矩形的性质可知：EF=CD，∠EDF=90°，根据直角三角形斜边中线的性质得出DQ=1
2
EF=
1
2
CD，当CD最小时，则DQ最小，根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则DQ最小，再根据三角形的面积为定值即可求出DQ的长．
本题考查了勾股定理的运用、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，解题的关键是求DQ的最小值转化为其相等线段CD的最小值．
14.【答案】(√3+1)：2
【解析】解：当AD：AB=2：(√3+1)时，
∵平行四边形ABCD，
∴AD//BC，
∵AE⊥BG于点E，CF⊥AD于点F，
∴AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠B=60°，AE⊥BG，
∴AB=2BE，AE=√3BE，
∵AD：AB=2：(√3+1)，
∴BC：AB=2：(√3+1)，
∴EC=BC−BE=√3BE，
∴AE=EC，
∴平行四边形AECF是正方形．
故答案为：(√3+1)：2 根据平行四边形的性质和正方形的判定解答即可．
此题主要考查了平行四边形的性质和判定，正方形的判定与性质的作用：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法．
15.【答案】解：原式=2+√2−1−1×3√2
=−2√2+1．
【解析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16.【答案】证明：(1)∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴BC=2DE，DE//BC，且FG//AB
∴四边形BDFG是平行四边形
∵BF平分∠ABC
∴∠DBF=∠GBF
∵DE//BC
∴∠GBF=∠DFB
∴∠DFB=∠DBF
∴DF=DB
∴四边形BDFG是菱形；
(2)∵四边形BDFG是菱形；
∴DF=BG=GF=BD
∵BC=2DE
∴BG+4=2(BG+1)
∴BG=2
∴四边形BDFG的周长=4×2=8
【解析】(1)由三角形中位线定理可得BC=2DE，DE//BC，且FG//AB，可证四边形BDFG是平行四边形，由角平分线的性质和平行线的性质可得DF=DB，即可得四边形BDFG是菱形；
(2)由菱形的性质可得DF=BG=GF=BD，由BC=2DE，可求BG的长，即可求四边形BDFG的周长．本题考查了菱形的性质和判定，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
17.【答案】解：(1)△ABC是直角三角形．
理由如下：AC=√12+32=√10，BC=√22+62=2√10，AB=√52+52=5√2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
(2)设AB边上的高为h，
∵∠C=90°，
∴S△ABC=1
2
AC·BC=1
2
×√10×2√10=10，
∵AB=5√2，SΔABC=1
2
AB·ℎ=10，
∴ℎ=2√2．
即AB 边上的高为2√2．
【解析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积，充分利用网格是解题的关键． (1)根据勾股定理分别求出AB 、BC 、AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC 的形状； (2)根据三角形的面积公式代入数值计算即可．
18.【答案】解：(1)1.43；
(2)1.43； (3)小军．
【解析】解：(1)∵小军的9次成绩中，1.43m 出现次数最多， ∴小军成绩的众数是1.43， 故答案为：1.43；
(2)∵小明从小到大排列的9次成绩中，最中间的成绩即第5次成绩为1.43m ， ∴小明成绩的中位数是1.43， 故答案为：1.43；
(3)∵S 小军2
=1
9×[(1.41−1.43)2+(1.42−1.43)2+(1.42−1.43)2+(1.43−1.43)2+(1.43−1.43)2+
(1.43−1.43)2+(1.44−1.43)2+(1.44−1.43)2+(1.45−1.43)2
]≈0.00013，
S 小明2=1
9×[(1.38−1.43)2+(1.38−1.43)2+(1.39−1.43)2+(1.41−1.43)2+(1.43−1.43)2+(1.45−
1.43)2+(1.47−1.43)2+(1.48−1.43)2+(1.48−1.43)2]≈0.00156，
∴S 小军2<S 小明2，即小军的成绩稳定，
∴体育老师选小军参赛， 故答案为：小军． 【分析】
(1)根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可得； (2)根据中位数的定义求解可得；
(3)根据方差公式：s 2=1
n [(x 1−x¯)2+(x 2−x¯)2+⋯+(x n −x¯)2]，分别计算出小军、小明成绩的方差，方差小的成绩稳定．
本题考查众数、中位数及方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
19.【答案】(1)a +b +c =0；
(2)解：∵217−307+90=0， ∴x =1时，217x 2−307x +90=0， 由(1)得：此方程程有一根为x =1；
设此方程的另一个根为α，则1⋅α=90
217，即α=90
217， 所以此方程的另一个根为90
217．
故此方程的解为x 1=1，x 2=90
217．
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b
a ，x 1⋅x 2=c
a ．
(1)根据题意，一元二次方程ax 2+bx +c =0有一个根为1，即x =1时，ax 2+bx +c =0成立，将x =1代入可得答案；
(2)由217−307+90=0，可得x =1时，217x 2−307x +90=0，根据(1)的结论得出此方程程有一根为x =1；再由根与系数的关系可求此方程的另一个根． 【解答】
解：(1)根据题意，一元二次方程ax 2+bx +c =0有一个根为1， 即x =1时，ax 2+bx +c =0成立， 即a +b +c =0， 故答案为a +b +c =0； (2)见答案．
20.【答案】解：设CE 的长度为x ，AD 的长度为y ，
依题意得：{1
2
xy =162
3
12
(60−3x −2y)⋅y =1
2
xy
， 解得{
x 1=6y 1=18，{x 2=9
y 2=12
，
当{x 2=9y 2=12时，AB =12(60−2y −3x)+x =13.5， 此时AB >AD ． ∵AD >AB ，
∴{x 2=9y 2=12，不合题意，舍去． 答：AD 的长度为18米．
【解析】设AD 的长度为x ，结合题意得到其它几条线段的长度，由矩形的面积公式列出方程并解答． 考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，列出方程组并解答．注意：限制性条件AD >AB 的存在．
21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形
∴AB =CD =3，AD =BC =4，∠B =∠D =90°，AD//BC ∴AC =√AB 2+BC 2=5，
∵将Rt △ABC 沿着对角线AC 对折得到△AMC ． ∴∠BCA =∠ACE ，
∵AD//BC ∴∠DAC =∠BCA ∴∠EAC =∠ECA
∴AE=EC ∵EC2=ED2+CD2，
∴AE2=(4−AE)2+9
∴AE=25 8
∵S△AEC=1
2
×AE×DC=
1
2
×AC×EF
∴25
8
×3=5×EF
∴EF=15 8
(2)∵将Rt△ABC沿着对角线AC对折得到△AMC，将Rt△ADC沿着对角线AC对折得到△ANC，∴AB=AM=3，CD=CN=3，∠BAC=∠CAM，∠ACD=∠ACN，AC⊥DN，DF=FN，
∵AB//CD
∴∠BAC=∠ACD
∴∠BAC=∠ACD=∠CAM=∠ACN
∴∠BAM=∠DCN，且BA=AM=CD=CN
∴△BAM≌△DCN(SAS)
∴BM=DN
∵∠BAM=∠DCN
∴∠BAM−90°=∠DCN−90°
∴∠MAD=∠BCN，且AD=BC，AM=CN
∴△AMD≌△CNB(SAS)
∴MD=BN，且BM=DN
∴四边形MDNB是平行四边形
如图，连接BD，
由(1)可知：∠EAC=∠ECA，
∵∠AMC=∠ADC=90°
∴点A，点C，点D，点M四点共圆，
∴∠ADM=∠ACM，
∴∠ADM=∠CAD
∴AC//MD，且AC⊥DN
∴MD⊥DN，
∴四边形BNDM是矩形
∴∠BND=90°
∵S△ADC=
1
2
×AD×CD=
1
2
×AC×DF
∴DF=
12
5
∴DN=
24
5
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD=5，
∴BN=√BD2−BN2=
7
5
∴四形BMDN的面积=BN×DN=7
5
×24
5
=168
25
【解析】(1)由矩形的性质可得AB=CD=3，AD=BC=4，∠B=∠D=90°，AD//BC，由勾股定理可求AC=5，由折叠的性质和平行线的性质可得AE=CE，由勾股定理可求AE的长，由三角形面积公式可求EF的长；
(2)由折叠的性质可得AB=AM=3，CD=CN=3，∠BAC=∠CAM，∠ACD=∠ACN，AC⊥DN，DF=FN，由“SAS”可证△BAM≌△DCN，△AMD≌△CNB可得
MD=BN，BM=DN，可得四边形MDNB是平行四边形，通过证明四边形MDNB是矩形，可得∠BND=90°，由三角形面积公式可求DF的长，由勾股定理可求BN的长，即可求四形BMDN的面积．
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明四边形BNDM是矩形是本题的关键．。