山东省莱芜市高三数学上学期期中试题文(2021年整理)

山东省莱芜市2018届高三数学上学期期中试题文
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山东省莱芜市2018届高三数学上学期期中试题 文
第Ⅰ卷（共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}|2A x x =≤,集合{}3|log 1B x x =<，则A B =（ ） A ．{}|2x x ≤
B ．{}|3x x <
C ．{}|02x x <≤
D ．{}|12x x <≤
2。

下列命题中的假命题是（ ） A ．x R ∃∈，lg 0x = B ．,x R ∃∈tan 0x = C ．x R ∀∈，20x >
D ．x R ∀∈,20x >
3。

下列函数中,既是奇函数又是区间(0,)+∞上的减函数的是（ ）
A ．y =
B ．1y x -=
C ．3y x =
D ．2x y -=
4.数列{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项的和，若7703
S π
=，则4sin a =（ ）
A ．
B ．12-
C ．12
D 5。

已知向量a ，b 的夹角为60︒，且||2a =，|2|27a b -=,则||b =（ ）
A
B C ．2
D ．3
6。

要得到函数()cos(2)6
f x x π
=-的图象,只需将函数()sin 2g x x =的图象( ）
A ．向左平移6π个单位
B ．向右平移6π
个单位
C ．向左平移3π个单位
D ．向右平移3
π
个单位
7。

ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos C =（ ）
A ．1
4
-
B ．-
C ．14
D
8.函数3
31
x x y =-的大致图象是（ )
9。

我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法前两步分为：
第一步：构造数列1，12，13，14，…，1
n
．①
第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)1a ,2a ，3a ，…，n a ． 则12231n n a a a a a a -+++=…（ ） A ．2(1)n -
B ．(1)n n -
C ．2n
D ．(1)n n +
10.函数223,0,
()|2|ln ,0x x x f x x x x ⎧+-≤=⎨-->⎩
零点的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11.在平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，边2AB =,1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足
||||
||||
BM CN BC CD =
，则AM AN ⋅的取值范围是（ ） A ．[]1,3 B ．[]1,5 C ．[]2,4 D ．[]2,5
12。

函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[]0,1x ∈时,()f x x =()()g x f x x m =--有三个零点,则实数m 的取值范围是（ )
A ．11
(2,2)()44k k k Z -+∈
B ．11
(2,2)()33k k k Z -+∈
C ．11
(4,4)()44k k k Z -+∈
D ．11
(4,4)()33
k k k Z -+∈
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上） 13.21
1log 52
2
+的值为 ．
14.计算：
cos102sin 20sin10︒-︒
=︒
．
15.已知曲线1C ：x y e =与曲线2C :2()y x a =+，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数a 的值为 ．
16。

若对任意的x D ∈，均有()()()g x f x h x ≤≤成立,则称函数()f x 为函数()g x 和函数()h x 在区间D 上的“中间函数"．已知函数()(1)1f x k x =--，()2g x =-，()(1)ln h x x x =+,且()f x 是()g x 和()h x 在区间[]1,2上的“中间函数”，则实数k 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17。

已知函数22()cos ()sin 6f x x x π
=--．
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间;
(2)求()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值．
18.在数列{}n a 中，已知121a a ==，212n n n a a a λ+++=+,*n N ∈，λ为常数． （1）证明:1a ,4a ，5a 成等差数列； （2）设12n n
a
a n
b +-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
19。

已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3
C π
=．
(1）若224ab a c =-,求
sin sin B
A
的值； (2)求sin sin A B 的取值范围．
20。

已知函数3221
()(1)3
f x x ax a x b =-+-+（a ，b R ∈）．
（1）若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值；
（2）若()f x 在区间(1,1)-上不是单调函数，求a 的取值范围．
21.在等差数列{}n a 中，13a =,其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，且
2211b S +=，3329S b =．
（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；
（2）令
1
2
n
n
n
a
c
n b
=⋅，设数列{}n c的前n项和为n T，求1
n
n
T
T
-（*
n N
∈）的最小值．
22.已知函数
1
()()3ln
f x a x x
x
=--．
(1）若函数()
f x在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（3）设函数
3
()
e
g x
x
=,若在[]
1,e上至少存在一点
x，使得
00
()()
f x
g x
>成立，求实数a的取值
范围．
高三期中质量检测文科数学试题答案
一、选择题
1—5：CDBAD 6-10:ABCBC 11、12：DC 二、填空题
13.。

22ln 2- 16。

1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
三、解答题
17。

解：（1）2211
()cos ()sin 1cos(2)(1cos 2)6232
f x x x x x ππ⎡⎤=--=+---⎢⎥⎣⎦
1cos(2)cos 223x x π⎡⎤=
-+⎢⎥⎣⎦
13(2cos 2)222x x =+)23x π=+， 所以函数()f x 的最小正周期为π． 由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
,k Z ∈，
得51212
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦,k Z ∈．
（2）因为0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦,所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,
所以sin(2)13x π≤+≤，所以3
()4
f x ≥-， 所以()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为34-．
18。

解:（1)因为212n n n a a a λ+++=+，121a a ==， 所以32121a a a λλ=-+=+，
同理，432231a a a λλ=-+=+，543261a a a λλ=-+=+， 又因为413a a λ-=，543a a λ-=, 所以4154a a a a -=-， 故1a ，4a ，5a 成等差数列．
（2）由212n n n a a a λ+++=+，得211n n n n a a a a λ+++-=-+， 令1n n n c a a +=-，则1n n c c λ+-=,1210c a a =-=， 所以{}n c 是以0为首项,公差为λ的等差数列， 所以1(1)(1)n c c n n λλ=+-=-，
即1(1)n n a a n λ+-=-，21n n a a n λ++-=，两式相加,得:2(21)n n a a n λ+-=-， 所以1(1)22n n
a
a n n
b λ+--==，
02(1)122222n n n S b b b λλλ-=+++=++++……，
当0λ=，n S n =，
当0λ≠，0
2(1)122222
12
n n n S λλλλ
λ--=++++=-…．
19.解：（1）由余弦定理及题设可知：22224c a b ab a ab =+-=-，得b =，
由正弦定理
sin sin B b A a =，得sin sin B
A
= (2）由题意可知23
A B π
+=．
21sin sin sin sin(
)sin sin )32A B A A A A A π=-=+112cos 244A A =-+11sin(2)264
A π=-+．
因为203A π<<
，所以2666A πππ7-<-<，故1sin(2)126
A π-<-≤, 所以sin sin A
B 的取值范围是3
(0,]4
．
20。

解：（1)∵(1,(1))f 在30x y +-=上，∴(1)2f =，
∵点(1,2)在()y f x =的图象上,∴21
213
a a
b =-+-+，
又'(1)1f =-,∴21211a a -+-=-，
∴2210a a -+=，解得1a =，8
3
b =．
∴3218
()33
f x x x =-+，2'()2f x x x =-，
由'()0f x =可知0x =和2x =是()f x 的极值点．
∵8(0)3f =,4
(2)3
f =，(2)4f -=-,(4)8f =,
∴()f x 在区间[]2,4-上的最大值为8，最小值为4-．
（2）因为函数()f x 在区间(1,1)-上不是单调函数,所以函数'()f x 在(1,1)-上存在零点． 而'()0f x =的两根为1a -,1a +,
若1a -，1a +都在(1,1)-上，则111,
111,
a a -<+<⎧⎨-<-<⎩解集为空集，这种情况不存在；
若有一个根在区间(1,1)-上,则111a -<+<或111a -<-<, ∴(2,0)(0,2)a ∈-．
21.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则2
3311,
2(3332)9,
d q d d q +++=⎧⎨++++=⎩ 解得3d =,2q =， 所以3n a n =，12n n b -=． （2）由（1)得132n n c =⋅，故13(1)2
n n T =-, 所以由13(1)2n n T =-
可知，n T 随n 的增大而增大，所以1
3
2n T T ≥=， 令1()f x x x =-，0x >，则21
'()10f x x =+>，故()f x 在0x >时是增函数，
111156
n n T T T T -
≥-=, 所以，1n n T T -
的最小值是5
6
． 22。

解：（1）222
33'()a ax x a
f x a x x x -+=+-=，0x >，
因为函数()f x 在其定义域内为增函数， 所以230ax x a -+≥，0x >恒成立， 当0a ≤时，显然不成立； 当0a >时，3
02a
>,要满足230ax x a -+≥，0x >时恒成立，则2940a ∆=-≤， ∴32
a ≥
． （2）设函数13()()()()3ln e
h x f x g x a x x x x
=-=---，[]1,x e ∈，
则原问题转化为在[]1,e 上至少存在一点0x ,使得0()0h x >，即max ()0h x >．
①0a ≤时，13()()3ln e
h x a x x x x =---，
∵[]1,x e ∈，∴10x x -≥，30e
x >，ln 0x >,则()0h x <,不符合条件；
②0a >时，22222
333(3)(1)(33)
'()a e ax x a e a x e x h x a x x x x +-++++-=+-==, 由[]1,x e ∈，可知22
(1)(33)
'()0a x e x h x x ++-=
>， 则()h x 在[]1,e 单调递增，max ()()60a h x h e ae e ==-->，整理得261
e
a e >-．
综上所述,26(,)1
e
a e ∈+∞-．。