2016-2017学年河北省保定市定州中学高三(上)开学数学试卷(解析版)

2016-2017学年河北省保定市定州中学高三（上）开学数学试卷一、选择题（共12小题，共60分）
1．（5分）已知集合P＝{x|x（x﹣3）＜0}，Q＝{x||x|＜2}，则P∩Q＝（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（2，3）D．（﹣2，3）2．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（）
A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）3．（5分）已知a为实数，函数f（x）＝x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）
A．[1，8]B．[3，8]C．[1，3]D．[﹣1，8]
4．（5分）平行线3x+4y﹣9＝0和6x+8y+2＝0的距离是（）
A．B．2C．D．
5．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C 的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
6．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
其中正确的命题是（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
7．（5分）如图在棱长均为2的正四棱锥P﹣ABCD中，点E为PC中点，则下列命题正确的是（）
A．BE平行面P AD，且直线BE到面P AD距离为
B．BE平行面P AD，且直线BE到面P AD距离为
C．BE不平行面P AD，且BE与平面P AD所成角大于
D．BE不平行面P AD，且BE与面P AD所成角小于
8．（5分）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是（）
A．B．C．D．
9．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）
A．B．C．D．
10．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A＝“第一次取到的是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，则P（B|A）＝（）
A．B．C．D．
11．（5分）如图是函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤）图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x（x∈R）的图象上所有的点（）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变12．（5分）三角函数f（x）＝a sin x﹣b cos x，若f（﹣x）＝f（+x），则直线ax﹣by+c ＝0的倾斜角为（）
A．B．C．D．
二、填空题（4小题，共20分）
13．（5分）函数y＝2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是．
14．（5分）一个袋中有12个除颜色外完全相同的球，2个红球，5个绿球，5个黄球，从中任取一球，不放回后再取一球，则第一次取出红球时第二次取出黄球的概率为．15．（5分）已知棱长为1的立方体ABCD﹣A1B1C1D1，则从顶点A经过立方体表面到达正方形CDD1C1中心M的最短路线有条．
16．（5分）已知不等式|x﹣2|＜3的解集为A，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为B，则图中阴影部分表示的集合为．
三、解答题（8小题，共70分）
17．（8分）若关于x的实系数方程x2+ax+b＝0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S．
（1）设z＝2a﹣b，求z的取值范围；
（2）过点（﹣5，1）的一束光线，射到x轴被反射后经过区域S，求反射光线所在直线l经过区域S内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l的方程．
18．（8分）已知函数f（x）＝x2+x﹣ln（x+a）+3b在x＝0处取得极值0．（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝x+m在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围．
19．（8分）如图，直角三角形ABC中，A＝60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．
（1）求证：PE⊥BD；
（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求．
[选修4-1：几何证明选讲]
20．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：DC2＝DE•DB；
（Ⅱ）若CD＝2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．
21．（8分）某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题T2，并约定：两人成
绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．
（I）求丙、丁未签约的概率；
（II）记签约人数为X，求X的分布列和数学期望EX．
22．（10分）为了了解某学段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；
第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如右图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．（1）将频率当作概率，请估计该学段学生中百米成绩在[16，17）内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数（精确到0.01秒）；
（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．
23．（10分）已知函数f（x）＝2a sinωx cosωx+2cos2ωx﹣（a＞0，ω＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；
（II）若f（α）＝，求sin（4α+）的值．
24．（10分）已知向量＝（sin，1），＝（cos，cos2）．
（Ⅰ）若•＝1，求cos（﹣x）的值；
（Ⅱ）记f（x）＝•，在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，求函数f（A）的取值范围．
2016-2017学年河北省保定市定州中学高三（上）开学数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，共60分）
1．【解答】解：由集合P中的不等式解得：0＜x＜3，即P＝（0，3）；
由Q中的不等式解得：﹣2＜x＜2，即Q＝（﹣2，2），
则P∩Q＝（0，2）．
故选：B．
2．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab＝1，
则abc＝c∈（10，12）．
故选：C．
3．【解答】解：令函数g（x）＝x2﹣ax﹣2，由于g（x）的判别式△＝a2+8＞0，故函数g （x）一定有两个零点，
设为x1和x2，且x1＜x2．
∵函数f（x）＝x2﹣|x2﹣ax﹣2|＝，
故当x∈（﹣∞，x1）、（x2，+∞）时，
函数f（x）的图象是位于同一条直线上的两条射线，
当x∈（x1，x2）时，函数f（x）的图象是抛物线y＝2x2﹣ax﹣2下凹的一部分，且各段连在一起．
由于f（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，
∴a＞0且函数g（x）较小的零点x1＝≥﹣1，
即a+2≥，
平方得a2+4a+4≥a2+8，得a≥1，
同时由y＝2x2﹣ax﹣2的对称轴为x＝，
若0≤≤2，可得0≤a≤8．
综上可得，1≤a≤8，
故实a的取值范围为[1，8]，
故选：A．
4．【解答】解：两平行直线的距离d＝＝＝2．故选：B．
5．【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，
易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE＝，
DE＝，tan∠ADE＝，
∴∠ADE＝60°．
故选：C．
6．【解答】解：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；这符合平面垂直平面的判定定理，正确的命题．
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；可能n∥m，α∩β＝l．错误的命题．
③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；题目本身错误，是错误命题．
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．
故选：D．
7．【解答】解：连接AC，BD，交点为O，以O为坐标原点，
OC，OD，OP方向分别x，y，z轴正方向建立空间坐标系，
由正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为2，点E为PC的中点，
则O（0，0，0），A（﹣，0，0），B（0，﹣，0），
C（，0，0），D（0，，0），
P（0，0，），E（，0，），
则＝（，，），＝（﹣，0，﹣），
＝（0，，﹣），
设＝（x，y，z）是平面P AD的一个法向量，
则，
取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣1），
设BE与平面P AD所成的角为θ，
则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝＜，
故BE与平面P AD不平行，且BE与平面P AD所成的角小于30°．
由此排除选项A，B，C．
故选：D．
8．【解答】解：∵成功次数ξ服从二项分布，
每次试验成功的概率为1﹣＝，
∴在10次试验中，成功次数ξ的期望为×10＝．
故选：D．
9．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数是3×3＝9种结果，
满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，
由于共有三个小组，则有3种结果，
根据古典概型概率公式得到P＝，
故选：A．
10．【解答】解：由题意，P（AB）＝＝，P（A）＝＝∴P（B|A）＝＝．
故选：D．
11．【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，
所以函数的表达式可以是y＝sin（2x+φ）．
代入（﹣，0）可得φ的一个值为，
故图象中函数的一个表达式是y＝sin（2x+），
即y＝sin2（x+），
所以只需将y＝sin x（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，
再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．
故选：A．
12．【解答】解：由f（﹣x）＝f（+x），知三角函数f（x）的图象关于x＝对称，∴f（0）＝f（），∴a sin0﹣b cos0＝a sin﹣b cos，即a＝﹣b，
∴直线ax﹣by+c＝的斜率，其倾斜角为．
故选：D．
二、填空题（4小题，共20分）
13．【解答】解：∵y＝2sin（﹣2x）＝﹣2sin（2x﹣），
∴只要求y＝2sin（2x﹣）的减区间，
∵y＝sin x的减区间为[2kπ+，2kπ+]，
∴2x﹣∈[2kπ+，2k]，
∴x，
∵x∈[0，π]，
∴，
故答案为：[，]．
14．【解答】解：∵一个袋中有12个除颜色外完全相同的球，2个红球，5个绿球，5个黄球，
从中任取一球，不放回后再取一球，
∴第一次取出红球后袋中还有11个除颜色外完全相同的球，1个红球，5个绿球，5个黄球，
∴第一次取出红球时第二次取出黄球的概率为P＝．
故答案为：．
15．【解答】解：由题意，经过边DD1或DC时，路线最短，有2条．
故答案为：2．
16．【解答】解：A＝{x||x﹣2|＜3}＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}＝{x|1﹣x＞0}＝{x|x
＜1}，
则∁U B＝{x|x≥1}，
由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁U B），
∴A∩（∁U B）＝{x|1≤x＜5}，
故答案为：{x|1≤x＜5}．
三、解答题（8小题，共70分）
17．【解答】解：方程x2+ax+b＝0的两根在区间（0，1）和（1，3）上的几何意义是：函数y＝f（x）＝x2+ax+b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，3）内，由此可得不等式组
，即，
则在坐标平面aOb内，点（a，b）对应的区域S如图阴影部分所示，
易得图中A，B，C三点的坐标分别为（﹣4，3），（﹣3，0），（﹣1，0），（4分）
（1）令z＝2a﹣b，则直线b＝2a﹣z经过点A时z取到下边界﹣11，经过点C时z取到上边界﹣2，
又A，B，C三点的值没有取到，所以﹣11＜z＜﹣2；（8分）
（2）过点（﹣5，1）的光线经x轴反射后的光线必过点（﹣5，﹣1），由图可知
可能满足条件的整点为（﹣3，1），（﹣3，2），（﹣2，2），（﹣2，1），
再结合不等式知点（﹣3，1）符合条件，所以此时直线方程为：y+1＝﹣（x+5），即y＝x+4 （12分）
18．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知，
∵当x＝0时，f（x）取得极值0，
∴解得a＝1，b＝0；
经检验a＝1，b＝0符合题意；
（Ⅱ）由（1）知f（x）＝x2+x﹣ln（x+1），
则方程即为，
令，
则方程φ（x）＝0在区间[0，2]恰有两个不同实数根．
∵；
当x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（0，1）上单调递减；
当x∈（1，2）时，φ′（x）＞0，于是φ（x）在（1，2）上单调递增；
依题意有，
∴﹣﹣ln2＜m≤1﹣ln3．
19．【解答】解：（1）∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥CD，BD⊥PD，
又PD∩CD＝D，
∴BD⊥平面PCD，
又PE⊂平面PCD中，
∴BD⊥PE，即PE⊥BD；
（2）如图所示，
连接BE，交DM与点F，
∵PE∥平面DMN，
∴PE∥NF，
又点N为PB中点，
∴点F为BE的中点；
∴DF＝BE＝EF；
又∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∴△DEF是等边三角形，
设DE＝a，则BD＝a，DC＝BD＝3a；
∴＝＝．
[选修4-1：几何证明选讲]
20．【解答】（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD＝∠CBD ∵∠ABD＝∠ECD
∴∠CBD＝∠ECD
∵∠BDC＝∠EDC
∴△BCD∽△CED
∴
∴CD2＝DE•DB．
（II）解：设⊙O的半径为R
∵D是弧AC的中点
∴OD⊥AC，设垂足为F
在直角△CFO中，OF＝1，OC＝R，CF＝
在直角△CFD中，DC2＝CF2+DF2
∴
∴R2﹣R﹣6＝0
∴（R﹣3）（R+2）＝0
∴R＝3
21．【解答】解：（I）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为A，B，C，D．由题意知A，B，C，D相互独立，且，．
记事件“丙、丁未签约”为F，
由事件的独立性和互斥性得：
P（F）＝1﹣P（CD）…（3分）
＝…（4分）
（II）X的所有可能取值为0，1，2，3，4．…（5分）
，
，
，
，
．
所以，X的分布列是：
…（12分）
X的数学期望…（13分）
22．【解答】解：（1）设前3组的频率依次为3x，8x，19x，则由题意可得：3x+8+19x＝1﹣
0.32﹣0.08＝0.6，
由此得：x＝0.02，
∴第二组的频率为0.16，
∵第二组的频数为8，
∴抽取的学生总人数为人，
由此可估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数＝0.32×50＝16人，
设所求中位数为m，由前可知第一组、第二组、第三组的频率分别为0.06、016、0.38则0.06+0.16+0.38（m﹣15）＝0.5，
解得m＝15.74
所以估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数为16人；所有抽取学生的百米成绩的中位数为15.74秒．
（2）记“两个成绩的差的绝对值大于1秒”为事件A．
由（1）可知从第一组抽取的人数＝0.02×3×50＝3人，不妨记为a，b．c
从第五组抽取的人数＝0.08×50＝4人，不妨记为1，2，3，4，
则从第一、五组中随机取出两个成绩有：ab，ac．a1，a2，a3，a4，bc，b1，b2，b3，b3，c1，c2，c3，
c4，12，13，14，23，24，34这21种可能；
其中两个成绩的差的绝对值大于1秒的来自不同的组，共有12种．
∴
∴两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率为．
23．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2a sinωx cosωx+2cos2ωx﹣＝a sin2ωx+cos2ωx＝sin（2ωx+φ）
∵f（x）的最小正周期为T＝π
∴，ω＝1，
∵f（x）的最大值为2，
∴＝2，
即a＝±1，
∵a＞0，∴a＝1．
即f（x）＝2sin（2x+）．
由2x+＝+kπ，
即x＝+，（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（α）＝，得2sin（2α+）＝，
即sin（2α+）＝，
则sin（4α+）＝sin[2（2α+）]＝﹣cos2（2α+）＝﹣1+2sin2（2α+）＝﹣1+2×（）2＝﹣．
24．【解答】解：（1）
∵
∴
∵
（2）∵（2a﹣c）cos B＝b cos C
∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A
∵sin A＞0
∴cos B＝
∵B∈（0，π），
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴。