矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等强化训练专题练习(二)带答案人教版高中数学真题技巧总结提升

高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.
2．在直角坐标系中，已知椭圆2241x y +=，矩阵阵⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=0110M ，0210N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积. 评卷人
得分 二、解答题
3．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．
【考点定位】本题考查的是矩阵的特征值特征向量和逆矩阵的运算，正确理解概念是本题的关键。

4．已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下变为直线':1l x by +=.
(Ⅰ)求实数,a b 的值;
(Ⅱ)若点00(,)p x y 在直线上,且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,求点p 的坐标. （汇编年普通高等
学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））矩阵与变换
5．求曲线C ：xy=1在矩阵⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=1111M 对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程。

6．已知矩阵A =3101⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα．
7．已知矩阵M 2311-⎛⎫ ⎪-⎝⎭所对应的线性变换把点A(x,y )变成点'(13,5)A ,试求M 的逆矩阵及点A 的坐标。

8．二阶矩阵M 有特征值8λ=，其对应的一个特征向量e =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，并且矩阵M 对应的变换将点（－1，2）变换成点(－2,4)，求矩阵M 的逆矩阵2M .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分 一、填空题
1．易得……3分,在直线上任取一点，经矩阵变换为点，则，∴，即……8分代入
中得,∴直线的方程为……………10分
解析：易得11101122020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
……3分, 在直线l 上任取一点(,)P x y ''，经矩阵AB 变换为
点(,)Q x y ，则11122022x x x y y y y ⎡⎤⎡⎤'''+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦，∴122x x y y y ⎧''=+⎪⎨⎪'
=⎩，即142
x x y y
y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩……8分 代入20x y ''+-=中得12042
y x y -+-=,∴直线l '的方程为480x y +-=……………10分
2．，………………4分设为椭圆上任一点，它在的作用下所对应的点为，则，………………6分∴，即，………………10分代入得，………………12分∴.………………14分
解析： 010*********MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， ………………4分
设00(,)x y 为椭圆2241x y +=上任一点，它在MN 的作用下所对应的点为(,)x y ，则000010202x x x y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， ………………6分 ∴ 002x x y y =⎧⎨=⎩，即002
x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ………………10分 代入220041x y +=得221x y +=， ………………12分
∴ S π=. ………………14分
评卷人
得分 二、解答题
3．
4．解:(Ⅰ)设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''
由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2x x y y y
'=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上,所以1x by ''+=,即(2)1x b y ++=
依题意121a b =⎧⎨+=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩
(Ⅱ)由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得00000
2x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线上,所以01x =
故点P 的坐标为(1,0)
5．
6．
7．
8．设M=a b c
d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则由a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=811⎡⎤⎢⎥⎣⎦得a b c d +⎡⎤⎢⎥+⎣
⎦=88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即a+b=c+d=8.……2分 由a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,得2224a b c d -+-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，从而-a+2b=-2，-c+2d=4. ……4分 由a+b =8及-a+2b=-2，解得a=6，b=2； ……………………………………6分
由c+d =8及-c+2d=4，解得c=4，b=4所以M=6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， ……………………8分
从而M2=
62
44
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
62
44
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
=
4420
4024
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
(10)
分。