【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：一次函数与几何图形面积探究(解析版)

【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：一次函数与几何图形面积探究
考点一 一次函数图象与坐标轴围成图形的面积 【知识点睛】
❖ 求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高； 类型一 一条直线与坐标轴围成的三角形面积 解题步骤：
①求出直线与x 轴、y 轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴围成的直角三角形的两条直角边长； ②利用三角形面积公式求出三角形的面积 【类题训练】
1．已知一次函数图象经过A （﹣4，﹣10）和B （3，4）两点，与x 轴的交于点C ，与y 轴的交于点D ． （1）求该一次函数解析式；
（2）点C 坐标为 ，点D 坐标为 ；
（3）画出该一次函数图象，并求该直线和坐标轴围成的图形面积．
【分析】（1
）用待定系数法求直线AB 的解析式； （2）令y ＝0求得点C 的坐标，令x ＝0求得点D 的坐标；
（3）利用已知的点A 和点B 画出一次函数的图象，然后利用求得的点C 和点D 求出OC 和OD 的长度，最后求得直线和坐标轴围成的图形面积．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），则
，解得：
，
∴一次函数的解析式为y ＝2x ﹣2．
（2）当x ＝0时，y ＝﹣2，当y ＝0时，x ＝1， ∴C （1，0），D （0，﹣2）． 故答案为：（1，0），（0，﹣2）．
（3）由点A和点B，可以画出一次函数的图象，如下如所示，
∵C（1，0），D（0，﹣2），
∴OC＝1，OD＝2，
∴S△OCD＝＝1，
∴一次函数与坐标轴围成的图形的面积为1．
2．在平面直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点．
（1）求这条直线与坐标轴围成的图形的面积．
（2）若这条直线与y＝﹣x+1交于点C，求点C的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，进一步求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
（2）联立方程，解方程即可．
【解答】（1）解：设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点代入得，
解得，
∴直线解析式为y＝﹣2x+3，
将x＝0代入得y＝3，
∴与y轴交于点（0，3），
将y=0代入得x＝，
∴与x轴交于点（，0），
∴S＝×3×＝．
（2）解得，
∴点C的坐标是（2，﹣1）．
变式．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是．
【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0）可知b＝﹣2k，用k表示出函数图象与y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0），
∴2k+b＝0，b＝﹣2k，
∴y＝kx﹣2k，
令x＝0，则y＝﹣2k，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1，
∴×2×|﹣2k|＝1，即|2k|＝1，
解得：k＝±，
则函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
故答案为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
类型二两条直线与坐标轴围成的三角形面积
解题标准：
在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离
【类题训练】
1．如图，若直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+4交于点B（﹣1，m），且两条直线与y轴分别交于点C、点A；那么△ABC 的面积为．
【分析】根据B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1，求出B点的坐标，再根据直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4解析式，即可求出答案，根据已知得出B点的坐标，再根据直线y＝﹣2x+1和直线y＝x+4求得与y轴交点A和C点的坐标，再根据三角形的面积公式得出S△ABC．
【解答】解：∵B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1，
∴y＝﹣2×（﹣1）+1＝3，即B点的坐标为（﹣1，3）
又直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4得：3＝﹣k+4，
解得k＝1；
∴直线AB的解析式为y＝x+4，
∴直线AB与y轴交点A的坐标为（0，4），
∵直线y＝﹣2x+1与y轴交点C的坐标为（0，1），
∴AC＝4﹣1＝3，
∴S△ABC＝AC•|x B|＝×3×1＝．
故答案为．
2．如图，直线l1：y＝﹣2x+b与直线l2：y＝kx﹣2相交于点P（1，﹣1），直线l1交y轴于点A，直线交y轴于点B，则△PAB的面积为．
【分析】利用一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）可得直线l1与直线l2：与y轴交点，然后可求出△PAB 的面积．
【解答】解：∵直线l1：y＝﹣2x+b与直线l2：y＝kx﹣2相交于点P（1，﹣1），
∴﹣1＝﹣2×1+b，
解得：b＝1，
∴A点坐标为（0，1），
∵直线l2：y＝kx﹣2交y轴于B，
∴B（0，﹣2），
∴AB＝3，
∴△PAB的面积为：3×1＝，
故答案为：．
变式．已知直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为（）A．y＝﹣x﹣4 B．y＝﹣2x﹣4 C．y＝﹣3x+4 D．y＝﹣3x﹣4
【分析】首先求出直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积等于4，得到一个关于k 的方程，求出此方程的解，即可得到直线的解析式．
【解答】解：直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴的交点坐标为（0，﹣4）（，0），
∵直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，
∴4×（﹣）×0.5＝4，解得k＝﹣2，
则直线的解析式为y＝﹣2x﹣4．
故选：B．
类型三三条直线围成的三角形面积
解题标准：
在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离
【类题训练】
1．如图，已知点A（2，4），B（﹣2，2），C（4，0），求△ABC的面积．
【分析】先利用待定系数法求直线AB的解析式，再确定直线AB与x轴的交点D的坐标，然后根据三角形面积公式和以S△ABC＝S△ACD﹣S△BDC进行计算．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（2，4）、B（﹣2，2）代入得，
解得．
所以直线AB的解析式为y＝x+3，
当y＝0时，y＝x+3＝0，解得x＝﹣6，
则D点坐标为（﹣6，0），
所以S△ABC＝S△ACD﹣S△BDC
＝×（4+6）×4﹣×（4+6）×2
＝10．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求△ADE的面积；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAD＝S△ADE，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，在Rt △AOB 中，利用勾股定理可求出AB 的长度，由折叠的性质可得出AC ＝AB ，结合OC ＝OA +AC 可得出OC 的长度，进而可得出点C 的坐标；
（2）根据点E 为直线AB 与直线CD 的交点，联立两直线解析式可求出点E 坐标，再由△ADE 和△ADB 组成△BDE ，得△ADE 的面积=△BDE 的面积-△ABD 的面积，即可求出△ADE 的面积；
（3）假设存在，设点P 的坐标为（0，m ），则DP ＝|m +6|，利用三角形的面积公式可得出关于m 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝﹣x +4＝4， ∴点B 的坐标为（0，4）； 当y ＝0时，﹣x +4＝0， 解得：x ＝3，
∴点A 的坐标为（3，0）． 在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝4， ∴AB ＝
＝5．
由折叠的性质，可知：∠BDA ＝∠CDA ，∠D ＝∠C ，AC ＝AB ＝5， ∴OC ＝OA +AC ＝8， ∴点C 的坐标为（8，0）． （2）∵C （8，0），D （0，﹣6）， ∴直线CD 的解析式为：y=
4
3
x-6， ∵点E 为直线AB 与直线CD 的交点．
由⎪⎩
⎪⎨⎧-=+-=643434x y x y 求得点E 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512-524，
， ∴S △ADE ＝S △BDE ﹣S △ABD ＝BD •|x E |﹣BD •|x A |＝9
（3）假设存在，设点P 的坐标为（0，m ），则DP ＝|m +6|． ∵S △PAD ＝S △ADE ，即DP •OA ＝×OD •OA ，
∴|m+6|＝3，
解得：m＝﹣3或m＝﹣9，
∴假设成立，即y轴上存在一点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得S△PAD＝S△ADE．
3．如图，已知：直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，直线CD：y＝x+b分别与x轴、y轴交于点C、D，直线AB与CD相交于点P，S△ABD＝2．求：
（1）b的值和点P的坐标；
（2）求△ADP的面积．
【分析】（1）首先根据分别与x轴、y轴交于点A、B可求得A、B坐标，然后根据S△ABD＝2可求得D点坐标，代入直线CD：y＝x+b可求得b，直线AB与CD相交于点P，联立两方程可求得P点坐标．
（2）可把S△ADP的面积分解为S△ABD+S△BDP，而S△BDP＝|x P|，即可求得．
【解答】解：（1）∵直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，
令y＝0则x＝﹣2，A（﹣2，0），
令x＝0则y＝1∴B（0，1），
又∵S△ABD＝2
∴|BD|•|OA|＝2而|OA|＝2
∴|BD|＝2，
又B（0，1），
∴D（0，﹣1）
∴b＝﹣1；
∵直线AB与CD相交于点P，联立两方程得：，
解得x＝4，y＝3，
∴P（4，3）；
（2）由图象坐标可知：S△ADP＝S△ABD+S△BDP＝2+|x P|＝6
或S△ADP＝S△PAC+S△DAC＝|y P|）＝×3×（1+3）＝6．
4．已知直线m经过两点（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，﹣2），且与y轴交点的纵坐标是﹣3，它和x轴、y轴的交点是D、C；
（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；
（2）计算四边形ABCD的面积；
（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积．
【分析】（1）利用待定系数法可分别求出直线AB的解析式为y＝2x+4；直线CD的解析式为y＝x﹣3；然后利用两点确定一直线画函数图象；
（2）利用坐标轴上点的坐标特征确定A点坐标为（0，4）＝B点坐标为（﹣2，0）、D点坐标为（6，0），然后根据三角形面积公式和四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD进行计算；
（3）根据一次函数的交点问题通过解方程组得到E点坐标，然后利用△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD进行
计算．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把（1，6）、（﹣3，﹣2）代入得，
解得．
所以直线AB的解析式为y＝2x+4；
设直线CD的解析式为y＝mx+n，
把（2，﹣2）、（0，﹣3）代入得，
解得，
所以直线CD的解析式为y＝x﹣3；
如图所示；
（2）把x＝0代入y＝2x+4得y＝4，则A点坐标为（0，4）；
把y＝0代入y＝2x+4得2x+4＝0，解得x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；
把y＝0代入y＝x﹣3得x﹣3＝0，解得x＝6，则D点坐标为（6，0），
所以四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD＝×（6+2）×4+×（6+2）×3＝28；
（3）解方程组得，
所以E点坐标为（﹣，﹣），
所以△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD
＝×（6+2）×﹣×（6+2）×3
＝．
变式．已知点A（2，4），B（﹣2，2），C（x，2），若△ABC的面积为10，求x的值．
【分析】审题知B、C纵坐标相等，所以BC是一条平行于x轴的直线，所以A到BC的距离为2，而且B、C两点之间的距离可用两点的横坐标之差的绝对值表示，即x+2的绝对值．已知三角形的面积为10，依此列出方程求解即可．
【解答】解：由B、C纵坐标相等，所以BC是一条平行于x轴的直线，所以A到BC的距离为4﹣2＝2，BC＝|x ﹣（﹣2）|＝|x+2|，
因为△ABC的面积为10，
所以×2×|x+2|＝10，
|x+2|＝10，
x+2＝10，或x+2＝﹣10，
解得：x＝8，或x＝﹣12．
考点二一次函数图象与几何图形动点面积
【知识点睛】
❖此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息
❖对函数图象的分析重点抓住以下两点：
①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义
②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点
❖动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。

【类题训练】
1．如图，边长为2的正方形ABCD中，点P从点A出发沿路线A→B→C→D匀速运动至点D停止，已知点P的速度
为1，运动时间为t，以P、A、B为顶点的三角形面积为S，则S与t之间的函数图象可能是（）
A．B．C．D．
【分析】分点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动三种情况，逐次求出函数表达式，即可求解．【解答】解：①当点P在AB上运动时（0≤t≤2），
∵点P、A、B在一条直线上，故S＝0；
②当点P在BC上运动时（2＜t≤4），见题干图，
S＝AB×PB＝×2×（t﹣2）＝t﹣2，为一次函数，
当t＝4时，S＝2；
③当点P在CD上运动时（4＜t≤6），
同理可得：S＝×AB×BC＝×2×2＝2，为常数；
故选：C．
2．如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动．设点P 的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】当点P到达点B时，△AOP的面积为6，此时△AOP的高为BC，则6＝×AB×（BC），解得AB•BC ＝24，而AB+BC＝10，即可求解．
【解答】解：从图象看，当点P到达点B时，△AOP的面积为6，此时△AOP的高为BC，
∴△AOP的面积＝×AB×（BC）＝6，解得AB•BC＝24①，
而从图②看，AB+BC＝10②，
联立①②并解得，
故选：D．
3．如图1，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形MNPO的周长是（）
A．16 B．18 C．20 D．22
【分析】由函数图象知，PN＝4，PO＝10﹣4＝6，即可求解．
【解答】解：由函数图象知，PN＝4，PO＝10﹣4＝6，
故矩形MNPO的周长＝2（PN+PO）＝2×（4+6）＝20，
故选：C．
4．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按A﹣B﹣C﹣D 的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，△PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，当P 运动到BC中点时，△APD的面积为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】首先结合图形和函数图象判断出CD的长和AD的长，进而可得AB的长，从而可得E点坐标，然后再计算出当5＜t≤10时直线解析式，然后再代入t的值计算出s即可．
【解答】解：根据题意得：四边形ABCD是梯形，
当点P从C运动到D处需要2秒，则CD＝2，△ADP面积为4，
则AD＝4，
根据图象可得当点P运动到B点时，△ADP面积为10，
则AB＝5，则运动时间为5秒，
∴E（5，10），
设当5＜t≤10时，函数解析式为s＝kt+b，
∴，
解得：，
∴当5＜t≤10时，函数解析式为s＝﹣t+16，
当P运动到BC中点时时间t＝7.5，
则s＝7，
故选：D．
5．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发，沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1.5单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则下列线段长度错误的是（）
A．AB＝6 B．BC＝8 C．AD＝2D．CD＝12
【分析】A．当t＝4时，点P到达A处，即AB＝4×1.5＝6，即可求解；
B．过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，则DE＝CE＝AB＝6，即可求解；
C．当S＝60时，点P到达点D处，则S＝CD•BC＝×12×BC＝60，即可求解；
D．AD＝＝＝2，即可求解．
【解答】解：A．当t＝4时，点P到达A处，即AB＝4×1.5＝6，
故A正确，不符合题意；
B．过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC＝AD，
∴DE＝CE＝AB＝6，
∴CD＝12，
故B正确，不符合题意；
C．当S＝60时，点P到达点D处，则S＝CD•BC＝×12×BC＝60，
解得BC＝10，故C错误，符合题意；
D．AD＝＝＝2，故D正确，不符合题意．
故选：B．
考点三一次函数图象与网格图形的面积
【知识点睛】
❖解题步骤：
①确定题中所给正方形的个数，算成平分后一半图形的面积
②根据直线所过另一点，将图形的其中一半加上个别正方形，凑成直角三角形
③由凑成的直角三角形的面积求出直线另一点的坐标
④根据待定系数法求出直线解析式
【类题训练】
1．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）
A．y＝﹣x B．y＝﹣x C．y＝﹣x D．y＝﹣x
【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．
【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB＝3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S△AOB＝4+1＝5，
∴OB•AB＝5，
∴AB＝，
∴OC＝，
由此可知直线l经过（﹣，3），
设直线方程为y＝kx，
则3＝﹣k，
k＝﹣，
∴直线l解析式为y＝﹣x，
故选：D．
2．如图，在直角坐标系中有一个缺失了右上格的九宫格，每个小正方形的边长为1，点A的坐标为（2，3）．要过点A画一条直线AB，将此封闭图形分割成面积相等的两部分，则直线AB解析式是．
【分析】设直线AB与x轴交于B（x，0），则直线AB左边梯形的面积等于整个图形面积的一半，即为4，由梯形面积公式求x，得出直线AB的解析式．
【解答】解：设直线AB与x轴交于B（x，0），
依题意，得×（x+2）×3＝4，
解得x＝，
∴B（，0），
设直线AB：y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线AB：y＝x﹣．
故答案为：y＝x﹣．
3．如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过A（1，0）点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为．
【分析】根据题意即可画出相应的辅助线，从而可以求得相应的函数解析式，本题得以解决．
【解答】解：将由图中1补到2的位置，
∵10个正方形的面积之和是10，
∴梯形ABCD的面积只要等于5即可，
∴设BC＝4﹣x，则[（4﹣x）+3]×3÷2＝5，
解得，x＝，
∴点B的坐标为（，3），
设过点A和点B的直线的解析式为y＝kx+b，
，
解得，，
即过点A和点B的直线的解析式为y＝，
故答案为：y＝．
4．在平面直角坐标系中，点P在直线y＝x+b的图象上，且点P在第二象限，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，四边形OAPB是面积为25的正方形，则直线y＝x+b的函数表达式是．
【分析】根据正方形的性质得到PA＝PB＝5，求得P（﹣5，5），根据点P在直线y＝x+b的图象上，解方程得到b＝10，于是得到结论．
【解答】解：如图，∵四边形OAPB是面积为25的正方形，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
∴PA＝PB＝5，
∵点P在第二象限，
∴P（﹣5，5），
∵点P在直线y＝x+b的图象上，
∴5＝﹣5+b，
∴b＝10，
∴直线y＝x+b的函数表达式是y＝x+10，
故答案为：y＝x+10．
【综合题训练】
1．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0）、点B（0，6），过原点的直线l交直线AB于点P．（1）求∠OAB的度数和△AOB的面积；
（2）当直线l的解析式为y＝2x时，求点P的坐标；
（3）当时，求直线l的解析式．
【分析】（1）可得出OA＝OB，∠AOB＝90°，从而求得结果；
（2）求出l的解析式，与y＝2x联立方程组，解得结果；
（3）分为点P在BA上和BA的延长线上，当点P在AB上时，作PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D，可推出PD＝2PC，代入y＝﹣x+6求得；当点P在BA的延长线上时，作OE⊥AB于E，作PF⊥OA于F，求得AP＝BP＝6，进而求得结果．
【解答】解：（1）∵A（6，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA
＝
＝
＝45°，
S△AOB＝＝＝18；
（2）设直线AB的解析式是：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+6，
∴，
∴，
∴P（2，4）；
（3）如图1，
设点P（a，b），
当点P在AB上时，
作PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D，
∵，
∴＝，
∵OA＝OB，
∴＝，
∴PD＝2PC，
∴a＝2b，
又∵b＝﹣a+6，
∴a＝4，b＝2，
∴P（4，2），
∴直线l的解析式是：y＝x，
如图2，
当点P在BA的延长线上时，
作OE⊥AB于E，作PF⊥OA于F，
∴∠AFP＝∠AOB＝90°，
∵，
∴＝，
∴AP＝BP，
∴AP＝AB，
∵∠OAB＝∠PAF，
∴△APF≌△ABO（AAS），
∴AF＝OA＝6，PF＝OB＝6，
∴OF＝12，
∴P（12，﹣6），
∴直线l的解析式是：y＝﹣；
综上所述：直线l的解析式是：y＝或y＝﹣x．
2．如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合．折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）求OC的长度，并求出此时直线BC的表达式；
（3）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝OA，求△ABP的面积．
【分析】（1）令x＝0和y＝0即可求出点A，B的坐标；
（2）连接BC，设OC＝x，则AC＝BC＝4﹣x，在Rt△BOC中，利用勾股定理求出x，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（3）先求出点P的坐标，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y＝3，
故点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．
故答案为：（4，0），（0，3）；
（2）连接BC，
设OC＝x，
∵直线CD垂直平分线段AB，
∴AC＝CB＝4﹣x，
∵∠BOA＝90°，
∴OB2+OC2＝CB2，
32+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴OC＝，
∴C（，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（3）如图，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵OP＝OA，
∴OP＝2，
∴点P的坐标为（2，0），P′（﹣2，0），
∴AP＝2，AP′＝6，
∴S△ABP＝AP•OB＝×2×3＝3；
S△ABP′＝AP′•OB＝×6×3＝9．
综上：△ABP的面积为3或9．
3．如图，直线l：y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，OM⊥AB于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．
（1）点A坐标为，点B坐标为，线段OM的长为；
（2）当△BOP的面积是6时，求点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与△OMP全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，否则，说明理由．
【分析】（1）先求得点A、B的坐标，可求得OA、OB、AB的长，利用面积法即可求得OM的长；
（2）先画图，确定△BOP面积可以BO为底，P到y轴距离为高求得P到y轴距离，再分类讨论求得答案；
（3）分△OMP≌△PQO与△OMP≌△OQP两种情况讨论，结合图形分析即可求解．
【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，
令x＝0，则y＝3，令y＝0，则﹣x+3＝0，
解得：x＝，
∴点A、B的坐标分别是（，0），（0，3），
∴OA＝，OB＝3，
∴AB＝＝＝，
∵S△OAB＝OA•OB＝AB•OM，
∴OM＝＝．
故答案为：（，0），（0，3），；
（2）如图，
设点P（x，﹣x+3），
∴S△BOP＝OB•x＝×3x＝6，
∴x＝4，
∴点P的横坐标为4或﹣4，
∴横坐标为4时，﹣x+3＝﹣，
∴横坐标为﹣4时，纵坐标为：﹣x+3＝，
∴点P坐标为（4，﹣）或（﹣4，）；
（3）存在，理由如下：
①当△OMP≌△PQO时，如图2和图3，
由（1）得OM＝，
∴PQ＝OM＝，即P点横坐标为﹣或，
当P点横坐标为﹣时，纵坐标为：﹣+3＝，
∴P（﹣，），
当P点横坐标为时，纵坐标为：﹣+3＝，
∴P（），
此时点P的坐标为（﹣），（）；
②当△OMP≌△OQP时，如图4和图5，
∴OQ＝OM＝，即点P、点Q纵坐标为﹣或，
由﹣x+3＝−，解得：x＝；
由﹣x+3＝，解得：x＝；
此时点P的坐标为（），（）；
综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣）或（）或
（）或（）；
4．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法直接求出；
（2）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论；
（3）分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论：
①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算对应点P 的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，
∴，
解得：k＝﹣1，b＝4；
（2）存在两种情况：
①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，
∵OB＝OA＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，
∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，
∴AO'＝4﹣4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，
由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，
∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，
∴S△BOP＝OB•OP＝＝8+8；
（3）分4种情况：
①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）；
②当BP＝PQ时，如图3，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，
∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝4，
∴OP＝4+4，
∴P（4+4，0）；
③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，
△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP＝4，
∴OP＝4﹣4，
∴P（4﹣4，0）；
④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
∴此时P（﹣4，0）；
综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4，0）．。