人教A版选修12《第二章推理与证明》质量检测试卷含解析.doc

阶段质量检测（二）推理与证明
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()
A．归纳推理B．类比推理
C．演绎推理D．非以上答案
解析：选C根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.
2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致
D．“两个整数”概念不一致
解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．
3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：
①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．
则说法中正确的个数有()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．
4．下列推理正确的是()
A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a y
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a y
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．
5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为()
A．(3,9) B．(4,8)
C．(3,10) D．(4,9)
解析：选D因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整
数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D.
6．求证：2＋3> 5.
证明：因为2＋3和5都是正数，
所以为了证明2＋3>5，
只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，
即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．
上述证明过程应用了()
A．综合法B．分析法
C．综合法、分析法配合使用D．间接证法
解析：选B证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()
A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
8．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}()
A．一定是等比数列
B．一定是等差数列
C．可能是等比数列也可能是等差数列
D．一定不是等比数列
解析：选C设等比数列{a n}的公比为q，则a n＋a n＋1＝a n(1＋q)．∴当q≠－1时，{a n
＋a n＋1}一定是等比数列；
当q＝－1时，a n＋a n＋1＝0，此时为等差数列．
9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值()
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
解析：选D法一：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－
a2＋b2＋c2
2≤0.
法二：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a，b异号，∴ab＋bc＋ac＝ab<0，
排除A 、B 、C ，选D.
10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －
1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，
那么a ，b ，c 的值为( )
A ．a ＝12，b ＝c ＝1
4
B ．a ＝b ＝c ＝1
4
C ．a ＝0，b ＝c ＝1
4
D ．不存在这样的a ，b ，c
解析：选A 令n ＝1,2,3， 得⎩⎪⎨⎪
⎧
3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.
所以a ＝12，b ＝c ＝14
.
11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )
A ．S n ＝2n
n ＋1
B ．S n ＝
3n －1
n ＋1 C ．S n ＝2n ＋1
n ＋2
D ．S n ＝
2n
n ＋2
解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝1
6，
S 3＝32＝6
4
；
又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85
.
由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝8
5可以猜想S n ＝2n n ＋1
.
12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )
A.1 C ．4
D ．5
解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，
数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．
答案：x ，y 都大于1 14．已知a >0，b >0，m ＝lg
a ＋
b 2，n ＝lg a ＋b
2
，则m ，n 的大小关系是________． 解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >
a ＋
b ⇒ a ＋b
2
>a ＋b 2⇒lg a ＋b
2
>lg a ＋b
2
. 答案：m >n 15．已知 2＋23
＝223
， 3＋38
＝338
， 4＋415
＝ 4
4
15，…， 6＋a b ＝6a
b
，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.
解析：由题意归纳推理得
6＋a b ＝6
a b
，b ＝62－1 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：41
16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都
是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 2
4.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某
顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 3
8.
答案：a 3
8
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b
2
； (2)6＋10>23＋2.
证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b
2≥ab ，
∴lg a ＋b 2
≥lg ab ，
∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.
(2)要证 6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．
18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n
1＋a n
(n ＝1,2，…)． (1)求证：a n ＋1≠a n ；
(2)令a 1＝1
2，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n (不要求
证明)．
解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n
1＋a n ＝a n ，
解得a n ＝0或1.
从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1， 这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 所以a n ＋1＝a n 不成立． 故a n ＋1≠a n 成立．
(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝16
17，由此猜想：a n ＝2n
－1
2n －1＋1.
19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.
证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.
(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．
证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．
(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．
证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－1
2，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－
2<m <－12，∴1
4
＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．
解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．
(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．
(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．
20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S n
n
(n ∈N *)，
求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝2＋1，
3a 1＋3d ＝9＋32，
∴d ＝2.
故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S n
n ＝n ＋ 2.
假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0，
∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧
q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．
∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．
21．(本小题满分12分)已知：sin 2 30°＋sin 2 90°＋sin 2 150°＝3
2，sin 2 5°＋sin 2 65°＋sin 2
125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并
给予证明．
解：一般形式为：
sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝3
2.
证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)
2＋
1－cos (2α＋240°)2
＝32－1
2
[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－1
2(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°) ＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝3
2＝右边． 将一般形式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32也正确
22．(本小题满分12分)根据要求证明下列各题：
(1)用分析法证明：已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b |
|a ＋b |≤2；
(2)用反证法证明：1，2，3不可能是一个等差数列中的三项． 证明：(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b |
|a ＋b |≤ 2.
只需证|a |＋|b |≤ 2|a ＋b |，
只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，
只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，
上式显然成立，故原不等式得证．
(2)假设1，2，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第m ，n ，k 项(m ，n ，k ∈N *)， 则数列的公差d ＝2－1
n －m ＝3－1
k －m ，即2－1＝2(n －m )k －m
，
因为m ，n ，k ∈N *，所以(n －m )∈Z ，(k －m )∈Z ，所以2(n －m )
k －m 为有理数，
所以2－1是有理数，这与2－1是无理数相矛盾．
故假设不成立，所以1，2，3不可能是一个等差数列的三项．。