江苏省苏州市高一上学期期末考试数学试题

江苏省苏州市2021-2021学年上学期高一期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共分）
1.已知集合，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
集合A、B的公共元素是2，进而可得到集合A、B的交集。

【详解】集合A、B的公共元素是2，则AB＝{2}.
【点睛】本题考查了集合的交集，考查了学生对基础知识的掌握，属于基础题。

2.函数的定义域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由对数的真数大于0，列出不等式求解即可。

【详解】由题意，，解得，故函数的定义域为.
【点睛】本题考查了函数定义域的求法，考查了对数的性质，属于基础题。

3.若角的终边经过点,则的值为____
【答案】-2
【解析】
由三角函数的定义可得，应填答案。

4.已知向量＝(3，5)，＝(4，1)，则向量的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由即可得到答案。

【详解】由题意，.
【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示及运算，考查了学生对平面向量知识的掌握，属于基础题。

5.已知＝，且是第四象限角，则的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由是第四象限角，可得，进而可以求出，结合，可得到答案。

【详解】因为是第四象限角，所以，则，
则.
【点睛】本题考查了三角函数求值，考查了三角函数诱导公式，属于基础题。

6.下列函数中，定义域是R且在定义域上为减函数的是_________．
①；②；③；④．
【答案】①
【解析】
【分析】
对四个函数逐个分析，①满足题意；②是单调递增函数；③定义域不是R；④不是递减函数。

【详解】①，故的定义域是R且在定义域上为减函数；②，为定义域上的增函数，不满足题意；③，定义域为，不满足题意；④，在定义域上不是单调函数，不满足题意。

故答案为①.
【点睛】本题考查了函数的定义域，考查了函数单调性的判断，涉及指数函数、对数函数、一次函数与分段函数，属于基础题。

7.设，若，则 .
【答案】
【解析】
当，解得（舍去），当，解得或（舍去），当，解得（舍去），综上故填．
8.已知函数的零点(n，n＋1)，，则n的值是_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
分析可得函数是上的增函数，，，可知零点在(1，2)上，进而可得到答案。

【详解】因为函数和都是上的增函数，所以函数是上的增函数，
由于，，故函数的零点(1，2)，即n=1.
【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，考查了函数的单调性，属于基础题。

9.计算：＝_________．
【答案】7
【解析】
【分析】
由指数与对数的运算性质，化简即可得到答案。

【详解】，，故＝3+4=7.
【点睛】本题考查了指数与对数式子的运算性质，考查了学生的计算能力，属于基础题。

10.把函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则得到的图象的函数解析式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数图象的伸缩、平移变换规律，即可得到答案。

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到.
【点睛】由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。

11.某次帆船比赛LOGO（如图1）的设计方案如下：在Rt△ABO中挖去以点O为圆心，OB为半径的扇形BOC（如图2），使得扇形BOC的面积是Rt△ABO面积的一半．设∠AOB＝(rad)，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设，，进而表示出三角形的面积和扇形的面积，然后建立关系式可得到的值。

【详解】设，，则三角形的面积为，扇形的面积为，
则，故，
因为，所以.
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了扇形的面积公式，考查了学生分析问题、解决问题能力，属于中档题。

12.如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立坐标系，用坐标表示，即可求出的值，进而得到答案。

【详解】设，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示坐标系，则，，，，，，则，
，，
即，
则即，解得，，则.
【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量在
平面几何的应用，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题。

13.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，沿着过C点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B落在矩形的左边AD上．设折痕所在的直线与AB交于M点，记翻折角∠BCM 为，则tan的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设顶点B对折后交AD于N，设，由题中关系可得，即可求出，进而由可得到答案。

【详解】设顶点B对折后交AD于N，设，则，
，则，
故，即，解得，则.
【点睛】本题考查了平面几何的翻折问题，考查了直角三角形在解决几何问题
中的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题。

14.已知函数，设函数，若函数在R上恰有两个不同的零点，则k的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知在R上恰有两个不同的解，即函数与的图象有两个不同交点，结合函数的表达式画出的图象，即可得到答案。

【详解】由题意知在R上恰有两个不同的解，即函数与的图象有两个不同交点，
当时，，，则，当时，取得最小值为；
当时，，，则，当
时，取得最大值为.
可画出函数的图象，可知当时，函数与的图象有两个不同交点。

【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解。

二、解答题（本大题共6小题，共分）
15.设全集U＝R，已知集合A＝{1，2}，B＝，集合C为不等式组的解集．
(1)写出集合A的所有子集；
(2)求和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）对集合A＝{1，2}，写出它的子集即可；（2）先求出集合C，由补集和并集的概念求出和即可。

【详解】（1）因为集合，所以它的子集,, ,;
（2）因为 }, 所;
由，解得，所以
所以
【点睛】本题考查了集合的子集，考查了集合的补集与并集的求法，考查了不等式的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题。

16.设向量＝(cos x，1)，＝(，4sin x)．
（1）若⊥，求tan x的值；
（2）若(＋)∥，且[]，求向量的模．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由⊥，建立等式关系进而可以得到tan x的值；（2）由(＋)∥，建立等式关系可以得到的值，结合[]可以求出向量，进而得到答案。

【详解】（1）因为，所以
因为，所以，即.
（2）因为,即
所以，即，所以，
因为，所以，所以，即，
此时，所以.
【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，平面向量共线的坐标表示，向量的模，考查了三角函数的化简与求值，属于中档题。

17.已知函数是定义在R上的偶函数，当x≤0时，．
（1）当x＞0时，求函数的表达式；
（2）记集合M＝，求集合M．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时，，代入x≤0时的解析式，利用偶函数的性质，即可得到答案；（2）分情况讨论，当时，；当时，，分别求解即可。

【详解】（1）因为当时，,所以，
又因为函数为偶函数，所以，
所以时，函数的表达式为.
（2）当时，，
若，则,显然不成立；
当时，若，
则,即,
平方后有，解得，适合题意.
综上可知，.
【点睛】已知函数的奇偶性求解析式：
将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于的方程(组)，从而得到的解析式。

18.某校高一数学研究小组测量学校的一座教学楼AB的高度已知测角仪器距离地面的高度为h 米，现有两种测量方法：
方法如图用测角仪器，对准教学楼的顶部A，计算并记录仰角；后退a米，重复中的操作，计算并记录仰角．
方法如图用测角仪器，对准教学楼的顶部A底部B，测出教学楼的视角，测试点与教学楼的水平距离b米．
请你回答下列问题：
用数据，，a，h表示出教学楼AB的高度；
按照方法II，用数据，b，h表示出教学楼AB的高度．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，，可得，进而可求出的表达式；（2）过作，垂足为，可表示出，，结合与，可得到的表达式，进而得到教学楼高度的表达式。

【详解】（1）由题意得：，，所以，，
因为，所以，
所以教学楼AB的高度为.
(2)如下图，过作，垂足为，则，
所以，
因为，
所以.
所以，
所以教学楼的高度为，
故教学楼的高度为.
【点睛】利用直角三角形的性质是解决本题的关键，本
题涉及多个直角三角形，利用公共边构造等量关系，考查了学生对所学知识的应用，属于中档题。

19.在平面直角坐标系xOy中，已知点，．
求的值；
若的平分线交线段AB于点D，求点D的坐标；
在单位圆上是否存在点C，使得若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）63；（2）；（3）单位圆上存在点或，满足题意. 【解析】
【分析】
（1）分别表示出与，即可求出；（2）设点，由与平行可得到，再由，得到，即可求出的值，进而得到答案；（3）假设单位圆上存在点
满足条件，用向量的坐标表示出，结合，即可求出点C的坐标。

【详解】（1）因为，
所以；
（2）设点,则，
因为点在线段上，
所以,即有，化简得, ①
再设，
因为，
同理，
可知,化简得，②
由①②解得，，即点的坐标为.
（3）假设单位圆上存在点满足条件，
则
；
当时，，即，
又因为，所以，
可知或.
所以，当为第二象限角时，;
当为第四象限角时，.
综上所述，单位圆上存在点或,满足题意。

【点睛】本题考查了向量的数量积，共线向量的性质及向量的坐标运算，考查了学生对向量知识的理解及运用，属于中档题。

20.定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数．（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；
（3）若，(﹣1，)，其中k R，且为“2距”增函数，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到
在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值。

【详解】（1）任意,,
因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数。

（2）.
因为是“距”增函数，所以恒成立，
因为,所以在上恒成立，
所以，解得，因为,所以.
（3）因为，，且为“2距”增函数，
所以时，恒成立，
即时，恒成立，
所以，
当时，，即恒成立，
所以, 得;
当时，，
得恒成立，
所以,得,
综上所述，得.
又，
因为,所以，
当时，若，取最小值为；
当时，若，取最小值.
因为在R上是单调递增函数，
所以当，的最小值为；当时的最小值为，
即 .
【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题。