第二章Petri网的基本概念及性质
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M = M0 + AT X
上式称为Petri网的状态方程（state equation）。
状态方程是M从M0可达的一个必要条件，而非充分条件。
关联矩阵与状态方程
证：
变迁发生序列与Petri网语言
Petri网进行分析的另一种方法是考察网系统中所有可能 发生的变迁序列以及这些序列构成的集合的性质。
注：RG(PN)可看作是有限自动机的一个图形表示。
推论3.1.设PN=(P,T;F, M0)为一个有界Petri网， 若 L0(PN)，使得 |||R(M0)|，则L0(PN) 是一个无限集。
第三部分 Petri网的分析方法
提纲
可达标识图与可覆盖性树 关联矩阵与状态方程 Petri网语言 Petri网进程
可达标识图与可覆盖性树
对于有界Petri网，其可达标识集R(M0)是一个有限集合，因此可以以R(M0)作为顶点集，以标识 之间的直接可达关系为弧集构成一个有向图，称为Petri网的可达标识图（reachable marking graph）。
一个字母表上满足某些特定条件的字符串的集合，称为该 字母表上的一个语言。
将Petri网的变迁集T看作一个字母表，或者给出变迁集 到某个字母表上的一个映射，那么该Petri网所有可能 发生的变迁序列（或其映射）的集合就是T（或）上的 一个语言。
变迁发生序列与Petri网语言
定义3.4.设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。 : T→为标注函数，Qt R(M0)。令 L={() *|T*:M0[>M,M Qt} L’={() *|(T*:M0[>M) (M’Qt ，MM’)} （1）若Qt是预先给定R(M0)的一个子集，则称L为PN产生的L-型语言；L’ 称为PN产生的G-型语言。 （2）若Qt ={M R(M0) |tT: M[t>}，则称L为PN产生的T-型语 言。 （3）若Qt= R(M0) ，则称L为PN产生的P-型语言。
M ³ A M[ti>的充分必要条件是
T
-
i*
引理3.2. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。A为PN的关联矩阵， 如果M[ti> M’，则
有
( )T
M ¢ = M + Ai*
定理3.2. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。A为PN的关联矩阵， 若M R(M0)，则 存在非负整数的n维向量X，使得
Step3： If tT:M[t> Then
把M的标注改为“端点”，返回Step1
Step4： For 每个满足M[t> 的tT Do
4.1：
计算M[t>M’中的M’；
4.2： 4.3：
If 从M0 到M的有向路上存在M’’使M’’<M’ Then 找出使M’’(pj)< M’(pj)的分量j，把M’的第j个分量改为；
变迁发生序列与Petri网语言
设为一个串，L为一个语言，记 Pref()={x| y: xy= }
Suff()={x| y: yx= } Pref(L)={x| L: xPref()} Suff(L)={x| L: xSuff()} 定义3.7.设L为一种语言，如果
Pref(L)=L 则称L为一种前缀语言。 定理3.3. Petri网PN=(P,T;F, M0)所确定的语言L0(PN)是一种前缀语言，即
变迁发生序列与Petri网语言
定义3.5.设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。L是PN产生的L-型 （ G-型， T-型， P-型）语言。对于标注函数 : T→： （1）若=T，且tT: (t)=t，则称L是PN产生的L-型（ G型， T-型， P-型）无标注语言，记为Lf（ Gf， Tf， Pf） （2）若tT: (t)（表示空串），则称L是PN产生的L-型 （ G-型， T-型， P-型）无空标注语言，记为L（ G， T， P）； 否则称L是PN产生的L-型（ G-型， T-型， P-型）含空标注语言， 记为L （ G ， T ， P ）。
A=[aij]nm
（3.1）
来表示，称A为PN（N）的关联矩阵（incidence matrix）。其中
{ } { } aij = ai+j - ai-j , i Î 1,2, ,n , j Î 1,2, ,m
( ) ai+j
=
ìï í
1,
if
ti , sj Î F
îï 0, other
( ) ai-j
算法3.1. Petri网可覆盖性树的构造算法
输入： PN=(P,T;F, M0) 输出：CT(PN)
算法步骤：
Step0：以M0作为CT(PN)的根结点，并标之以“新”； Step1：While 存在标注为“新”的结点 Do
任选一个标注为“新”的结点，设为M；
Step2：
If 从M0 到M的有向路上有一个结点的标识等于M Then 把M的标注改为“旧”，返回Step1；
A j , Aj , Aj
M
=
éëM
(
)p ,M 1
(
p 2
),
( ) ,M
p m
ùT û
关联矩阵与状态方程
p1 p2 p3 p4
p1
t1
t2
t3
t1 1 -1 0 0
A=A+ -A- = t2 -1 1 1 0
p2
p3
p4
t3 1 0 -1 -1
t4
t4 0 -1 -1 1
p1 p2 p3 p4 t1 0 1 0 0
M是一个终端标识。 定理3.2. 设pj P，在Petri网PN中pj的界 B(pj )等于RG(PN)中
各个顶点向量的第j个分量的最大值。 推论3.3. PN是安全的当且仅当RG(PN)中每个顶点的向量都是0-1
向量。
可达标识图与可覆盖性树
定理3.3. 有界Petri网PN是活的当且仅当在RG(PN)中，从顶点 M0出发的每条有向路都走入一个强连通子图，而且在每个这样的强 连通子图中，每个t T至少是一条有向弧的旁标。
变迁发生序列与Petri网语言
t1 p1
t2
t3 p2
t4
M0 : (0,1,0)
p3
t1 t2
t3
t4
M1 : (1,0,0)
M2: (0,0,1)
设Qt={M1}，则 Lf (PN)= (t1•t2+t3•t4)*• t1 Tf (PN)= Pf(PN)= (t1•t2+t3•t4)* • (+t1+t3) 这里Qt={M0 , M1 , M2}
p4
t2
t4
(0,1, ,0) 新
t1
t4
(1,0, ,0) 新旧 (0,0, ,1) 新
t3 (1,0, ,0) 旧新
可达标识图与可覆盖性树
定理3.1. PN是有界Petri网当且仅当 （按算法3.1构造的）CT(PN)中，每个 结点的标识向量都不含有分量。
对有界Petri网PN，按照算法3.1构造 出来的树结构称为PN的可达性树 （reachability tree），记为 RT(PN)。
定义3.2. 设CT(PN)为Petri网的可覆 盖性树。若将CT(PN)中标识向量相同 的结点合并在一起，便得到PN的可覆盖 性图，记为CG(PN)。
M0 : (1,0,0,0) t2
(0,1,1,0)
t1
t4
(1,0, ,0)
t2 t1
(0,1, ,0)
t1
t4
(0,0,0,1) t3
(1,0, ,0)
？ 定理3.3、3.4和3.5在无界 Petri网中还成立吗？
可达标识图与可覆盖性树
若PN不是有界网，则R(M0)是一个无限集合，无法画出PN的可达标识图。 为了用有限形式表达一个有无限个状态的系统的运行情况，引入一个表示无
界量的符号。 具有下述性质： （1）对任意正整数n： > n， n= （2）
其中????1212ijijijaaainjm??????????????1if??????????12120otherijijtsfainjm?????????????1if12120otherjiijstfainjm???????关联矩阵与状态方程pn的输出矩阵pn的输入矩阵ijnm?aa???????ijnm?nm?aa??j???????行向量列向量标识miaiiaa?????jjjaaa???????????12tmmmpmpmp??????关联矩阵与状态方程p1p2t1t2p4t3p3aaap1p2t1t2p4t3p3110011101011t4p1p2t1t2p4t3t4p3a0100100000110110p1p2t1t2p4t3t4p3a1000011010000001t40111关联矩阵与状态方程?引理31
(0,0, ,1)
t3 (1,0, ,0)
提纲
可达标识图与可覆盖性树 关联矩阵与状态方程 Petri网语言 Petri网进程
关联矩阵与状态方程
网的结构可以用一个矩阵来表示，从而可以引入线性代数的方法对Petri网进行分析。
定义3.3. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。 P={p1, p2,,pm } ，T={t1, t2,,tn }，则网N =(P,T;F)可以用一个n行m列矩阵
定理3.4. 有界Petri网PN的两个变迁t1和t2处于公平关系的充分必 要条件是在RG(PN)的每条有向回路C中， t1是其中的一条弧的旁标 当且仅当t2也是其中一条弧的旁标。
定理3.5. PN是公平Petri网的充分必要条件是在RG(PN)的每条有 向回路C中，每个 t T 都至少是C中一条弧的旁标。
=
ìï í
1,
if
sj ,ti Î F
îï 0, other
i Î {1,2, ,n}, j Î {1,2, ,m} i Î {1,2, ,n}, j Î {1,2, ,m}
关联矩阵与状态方程
PN的输出矩阵 A aij nm
PN的输入矩阵 A aij nm
行向量
Ai , Ai , Ai
列向量 标识M
变迁发生序列与Petri网语言
终止符集
L-型 G-型 T-型 P-型
无标注类 Lf Gf Tf Pf
标注
无空标注类 L G T P
含空标注类 L G T P
变迁发生序列与Petri网语言
CFL
RL
PNL
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CSL
PNL同Chomsky体系中各型语言的关系
每种正规语言（RL）都是Petri网语言（PNL） 每种Petri网语言都是上下文有关语言（CSL） Petri网语言类同上下文无关语言类（CFL）是两个相交但互不包含的语言类
定义3.1. 设PN=(P,T;F, M0)为一个有界Petri网。PN的可达标识图定义为一个三元组 RG(PN)=(R(M0),E, L)，其中 E={(Mi,Mj)| Mi, Mj R(M0),tk T: Mi [ tk> Mj } L:E→T，L(Mi,Mj)= tk 当且仅当Mi [ tk> Mj 称R(M0)为顶点集，E为弧（边）集， 若L(Mi,Mj) = tk，则称tk为弧(Mi,Mj)的旁标。
在CT(PN)中引入一个“新”结点M’，从M到M’画一条有向弧，并把此弧旁标以t；
Step5： 擦去结点M的“新”标注，返回Step1。
可达标识图与可覆盖性树
p1
t1
t2
t3
M0 : (1,0,0,0) 新 t2
(0,1,1,0) 新
t1
t4
(1,0, 1,0) 新 (0,0,0,1)新端点
p2
p3
A- = t2 1 0 0 0 t3 0 0 1 1 t4 0 1 1 0
p1 p2 p3 p4 t1 1 0 0 0
A+ = t2 0 1 1 0 t3 1 0 0 0 t4 0 0 0 1
关联矩阵与状态方程
引理3.1. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。A为PN的关联矩阵， tiT，则
Pref(L0(PN))=L0(PN)
变迁发生序列与Petri网语言
在形式语言理论中，Pumping引理是正规语言和上下文无关语言的一个重 要性质。
定理3.4.设PN=(P,T;F, M0)为一个有界Petri网， L0(PN)。如果 |||R(M0)|，则可写成=xyz的形式，其中x,y,zT*,|xy| |R(M0)|且|y|1，使得对任意非负整数i，都有xyiz L0(PN)。
t1
t3
M0 : (0,1,0)
p1
p2
p3
t1 t2
t3
t4
t2
t4
M1 : (1,0,0)
M2: (0,0,1)
可达标识图与可覆盖性树
通过可达标识图RG(PN)可以分析有界Petri网PN的各种性质。 定理3.1. 对任意Mi,Mj R(M0)，Mj是从 Mi可达的当且仅当在
RG(PN)中，从Mi到Mj存在一条有向路。 推论3.1. 在RG(PN)中，从M0到每个结点都有一条有向路。 推论3.2. M R(M0)是PN的一个死标识当且仅当在RG(PN)中，
变迁发生序列与Petri网语言
定义3.6.设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。称 L0(PN)={T*| M0[>M}
或 L0(PN)= {T*| MR(M0): M0[>M} 为PN所确定的P-型无标注语言。简称为PN所确定的语言。 L0(PN)是Petri网PN从初始标识M0出发的一切可发生的变迁序列 的集合。 由于M0R(M0)，所以总有L0(PN)。
当库所pj中的标识数在Petri网的运行过程中趋向于无限增长时，就把标识向 量中的第j个分量改为 ，以此覆盖所有这类标识。
通过引入 ，就可以用有限树来反映无界Petri网的运行情况，称该有限树 为Petri网PN的可覆盖性树（coverability tree），记为CT(PN)。
可达标识图与可覆盖性树
上式称为Petri网的状态方程（state equation）。
状态方程是M从M0可达的一个必要条件，而非充分条件。
关联矩阵与状态方程
证：
变迁发生序列与Petri网语言
Petri网进行分析的另一种方法是考察网系统中所有可能 发生的变迁序列以及这些序列构成的集合的性质。
注：RG(PN)可看作是有限自动机的一个图形表示。
推论3.1.设PN=(P,T;F, M0)为一个有界Petri网， 若 L0(PN)，使得 |||R(M0)|，则L0(PN) 是一个无限集。
第三部分 Petri网的分析方法
提纲
可达标识图与可覆盖性树 关联矩阵与状态方程 Petri网语言 Petri网进程
可达标识图与可覆盖性树
对于有界Petri网，其可达标识集R(M0)是一个有限集合，因此可以以R(M0)作为顶点集，以标识 之间的直接可达关系为弧集构成一个有向图，称为Petri网的可达标识图（reachable marking graph）。
一个字母表上满足某些特定条件的字符串的集合，称为该 字母表上的一个语言。
将Petri网的变迁集T看作一个字母表，或者给出变迁集 到某个字母表上的一个映射，那么该Petri网所有可能 发生的变迁序列（或其映射）的集合就是T（或）上的 一个语言。
变迁发生序列与Petri网语言
定义3.4.设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。 : T→为标注函数，Qt R(M0)。令 L={() *|T*:M0[>M,M Qt} L’={() *|(T*:M0[>M) (M’Qt ，MM’)} （1）若Qt是预先给定R(M0)的一个子集，则称L为PN产生的L-型语言；L’ 称为PN产生的G-型语言。 （2）若Qt ={M R(M0) |tT: M[t>}，则称L为PN产生的T-型语 言。 （3）若Qt= R(M0) ，则称L为PN产生的P-型语言。
M ³ A M[ti>的充分必要条件是
T
-
i*
引理3.2. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。A为PN的关联矩阵， 如果M[ti> M’，则
有
( )T
M ¢ = M + Ai*
定理3.2. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。A为PN的关联矩阵， 若M R(M0)，则 存在非负整数的n维向量X，使得
Step3： If tT:M[t> Then
把M的标注改为“端点”，返回Step1
Step4： For 每个满足M[t> 的tT Do
4.1：
计算M[t>M’中的M’；
4.2： 4.3：
If 从M0 到M的有向路上存在M’’使M’’<M’ Then 找出使M’’(pj)< M’(pj)的分量j，把M’的第j个分量改为；
变迁发生序列与Petri网语言
设为一个串，L为一个语言，记 Pref()={x| y: xy= }
Suff()={x| y: yx= } Pref(L)={x| L: xPref()} Suff(L)={x| L: xSuff()} 定义3.7.设L为一种语言，如果
Pref(L)=L 则称L为一种前缀语言。 定理3.3. Petri网PN=(P,T;F, M0)所确定的语言L0(PN)是一种前缀语言，即
变迁发生序列与Petri网语言
定义3.5.设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。L是PN产生的L-型 （ G-型， T-型， P-型）语言。对于标注函数 : T→： （1）若=T，且tT: (t)=t，则称L是PN产生的L-型（ G型， T-型， P-型）无标注语言，记为Lf（ Gf， Tf， Pf） （2）若tT: (t)（表示空串），则称L是PN产生的L-型 （ G-型， T-型， P-型）无空标注语言，记为L（ G， T， P）； 否则称L是PN产生的L-型（ G-型， T-型， P-型）含空标注语言， 记为L （ G ， T ， P ）。
A=[aij]nm
（3.1）
来表示，称A为PN（N）的关联矩阵（incidence matrix）。其中
{ } { } aij = ai+j - ai-j , i Î 1,2, ,n , j Î 1,2, ,m
( ) ai+j
=
ìï í
1,
if
ti , sj Î F
îï 0, other
( ) ai-j
算法3.1. Petri网可覆盖性树的构造算法
输入： PN=(P,T;F, M0) 输出：CT(PN)
算法步骤：
Step0：以M0作为CT(PN)的根结点，并标之以“新”； Step1：While 存在标注为“新”的结点 Do
任选一个标注为“新”的结点，设为M；
Step2：
If 从M0 到M的有向路上有一个结点的标识等于M Then 把M的标注改为“旧”，返回Step1；
A j , Aj , Aj
M
=
éëM
(
)p ,M 1
(
p 2
),
( ) ,M
p m
ùT û
关联矩阵与状态方程
p1 p2 p3 p4
p1
t1
t2
t3
t1 1 -1 0 0
A=A+ -A- = t2 -1 1 1 0
p2
p3
p4
t3 1 0 -1 -1
t4
t4 0 -1 -1 1
p1 p2 p3 p4 t1 0 1 0 0
M是一个终端标识。 定理3.2. 设pj P，在Petri网PN中pj的界 B(pj )等于RG(PN)中
各个顶点向量的第j个分量的最大值。 推论3.3. PN是安全的当且仅当RG(PN)中每个顶点的向量都是0-1
向量。
可达标识图与可覆盖性树
定理3.3. 有界Petri网PN是活的当且仅当在RG(PN)中，从顶点 M0出发的每条有向路都走入一个强连通子图，而且在每个这样的强 连通子图中，每个t T至少是一条有向弧的旁标。
变迁发生序列与Petri网语言
t1 p1
t2
t3 p2
t4
M0 : (0,1,0)
p3
t1 t2
t3
t4
M1 : (1,0,0)
M2: (0,0,1)
设Qt={M1}，则 Lf (PN)= (t1•t2+t3•t4)*• t1 Tf (PN)= Pf(PN)= (t1•t2+t3•t4)* • (+t1+t3) 这里Qt={M0 , M1 , M2}
p4
t2
t4
(0,1, ,0) 新
t1
t4
(1,0, ,0) 新旧 (0,0, ,1) 新
t3 (1,0, ,0) 旧新
可达标识图与可覆盖性树
定理3.1. PN是有界Petri网当且仅当 （按算法3.1构造的）CT(PN)中，每个 结点的标识向量都不含有分量。
对有界Petri网PN，按照算法3.1构造 出来的树结构称为PN的可达性树 （reachability tree），记为 RT(PN)。
定义3.2. 设CT(PN)为Petri网的可覆 盖性树。若将CT(PN)中标识向量相同 的结点合并在一起，便得到PN的可覆盖 性图，记为CG(PN)。
M0 : (1,0,0,0) t2
(0,1,1,0)
t1
t4
(1,0, ,0)
t2 t1
(0,1, ,0)
t1
t4
(0,0,0,1) t3
(1,0, ,0)
？ 定理3.3、3.4和3.5在无界 Petri网中还成立吗？
可达标识图与可覆盖性树
若PN不是有界网，则R(M0)是一个无限集合，无法画出PN的可达标识图。 为了用有限形式表达一个有无限个状态的系统的运行情况，引入一个表示无
界量的符号。 具有下述性质： （1）对任意正整数n： > n， n= （2）
其中????1212ijijijaaainjm??????????????1if??????????12120otherijijtsfainjm?????????????1if12120otherjiijstfainjm???????关联矩阵与状态方程pn的输出矩阵pn的输入矩阵ijnm?aa???????ijnm?nm?aa??j???????行向量列向量标识miaiiaa?????jjjaaa???????????12tmmmpmpmp??????关联矩阵与状态方程p1p2t1t2p4t3p3aaap1p2t1t2p4t3p3110011101011t4p1p2t1t2p4t3t4p3a0100100000110110p1p2t1t2p4t3t4p3a1000011010000001t40111关联矩阵与状态方程?引理31
(0,0, ,1)
t3 (1,0, ,0)
提纲
可达标识图与可覆盖性树 关联矩阵与状态方程 Petri网语言 Petri网进程
关联矩阵与状态方程
网的结构可以用一个矩阵来表示，从而可以引入线性代数的方法对Petri网进行分析。
定义3.3. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。 P={p1, p2,,pm } ，T={t1, t2,,tn }，则网N =(P,T;F)可以用一个n行m列矩阵
定理3.4. 有界Petri网PN的两个变迁t1和t2处于公平关系的充分必 要条件是在RG(PN)的每条有向回路C中， t1是其中的一条弧的旁标 当且仅当t2也是其中一条弧的旁标。
定理3.5. PN是公平Petri网的充分必要条件是在RG(PN)的每条有 向回路C中，每个 t T 都至少是C中一条弧的旁标。
=
ìï í
1,
if
sj ,ti Î F
îï 0, other
i Î {1,2, ,n}, j Î {1,2, ,m} i Î {1,2, ,n}, j Î {1,2, ,m}
关联矩阵与状态方程
PN的输出矩阵 A aij nm
PN的输入矩阵 A aij nm
行向量
Ai , Ai , Ai
列向量 标识M
变迁发生序列与Petri网语言
终止符集
L-型 G-型 T-型 P-型
无标注类 Lf Gf Tf Pf
标注
无空标注类 L G T P
含空标注类 L G T P
变迁发生序列与Petri网语言
CFL
RL
PNL
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CSL
PNL同Chomsky体系中各型语言的关系
每种正规语言（RL）都是Petri网语言（PNL） 每种Petri网语言都是上下文有关语言（CSL） Petri网语言类同上下文无关语言类（CFL）是两个相交但互不包含的语言类
定义3.1. 设PN=(P,T;F, M0)为一个有界Petri网。PN的可达标识图定义为一个三元组 RG(PN)=(R(M0),E, L)，其中 E={(Mi,Mj)| Mi, Mj R(M0),tk T: Mi [ tk> Mj } L:E→T，L(Mi,Mj)= tk 当且仅当Mi [ tk> Mj 称R(M0)为顶点集，E为弧（边）集， 若L(Mi,Mj) = tk，则称tk为弧(Mi,Mj)的旁标。
在CT(PN)中引入一个“新”结点M’，从M到M’画一条有向弧，并把此弧旁标以t；
Step5： 擦去结点M的“新”标注，返回Step1。
可达标识图与可覆盖性树
p1
t1
t2
t3
M0 : (1,0,0,0) 新 t2
(0,1,1,0) 新
t1
t4
(1,0, 1,0) 新 (0,0,0,1)新端点
p2
p3
A- = t2 1 0 0 0 t3 0 0 1 1 t4 0 1 1 0
p1 p2 p3 p4 t1 1 0 0 0
A+ = t2 0 1 1 0 t3 1 0 0 0 t4 0 0 0 1
关联矩阵与状态方程
引理3.1. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。A为PN的关联矩阵， tiT，则
Pref(L0(PN))=L0(PN)
变迁发生序列与Petri网语言
在形式语言理论中，Pumping引理是正规语言和上下文无关语言的一个重 要性质。
定理3.4.设PN=(P,T;F, M0)为一个有界Petri网， L0(PN)。如果 |||R(M0)|，则可写成=xyz的形式，其中x,y,zT*,|xy| |R(M0)|且|y|1，使得对任意非负整数i，都有xyiz L0(PN)。
t1
t3
M0 : (0,1,0)
p1
p2
p3
t1 t2
t3
t4
t2
t4
M1 : (1,0,0)
M2: (0,0,1)
可达标识图与可覆盖性树
通过可达标识图RG(PN)可以分析有界Petri网PN的各种性质。 定理3.1. 对任意Mi,Mj R(M0)，Mj是从 Mi可达的当且仅当在
RG(PN)中，从Mi到Mj存在一条有向路。 推论3.1. 在RG(PN)中，从M0到每个结点都有一条有向路。 推论3.2. M R(M0)是PN的一个死标识当且仅当在RG(PN)中，
变迁发生序列与Petri网语言
定义3.6.设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。称 L0(PN)={T*| M0[>M}
或 L0(PN)= {T*| MR(M0): M0[>M} 为PN所确定的P-型无标注语言。简称为PN所确定的语言。 L0(PN)是Petri网PN从初始标识M0出发的一切可发生的变迁序列 的集合。 由于M0R(M0)，所以总有L0(PN)。
当库所pj中的标识数在Petri网的运行过程中趋向于无限增长时，就把标识向 量中的第j个分量改为 ，以此覆盖所有这类标识。
通过引入 ，就可以用有限树来反映无界Petri网的运行情况，称该有限树 为Petri网PN的可覆盖性树（coverability tree），记为CT(PN)。
可达标识图与可覆盖性树