人教版九年级数学上册二次函数的图像与性质

增减性： 【a>0】 x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 X>0，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
【a<0】 x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 X>0，即在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
ax2 a<0
图像与性质 (y=ax2)
y ax2
x O a>0
y O
x
二次函数
最值： 【a>0】 二次函数有最小值，即当x=0时，y最小值=0，此时最 低点为（0，0）
）
A．-6 或1 B.-3或2 或-1 或-2
【练习1】已知二次函数y=7x2+13x+9,求此二次函数图象的顶点坐 标__________ _
二次函数
图像与性质 一般式
【练习2】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是 直线x=1. 以下四个判断：①b2>4ac；②4a-2b+c<0；③不等式 ax2+bx+c>0的解集是x>2；④若（ -1 ，y1），（5，y2）是抛物线 上的两点，则y1＜y2。其中正确的是（ ）
x>-b/2a，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 二次函数有最大值，即当x=0时，y最大值=0，此时最高点为（0，0）
x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
对称轴：直线x=h(y轴)
【练习】已知函数y=（m﹣2）xm2+m-4 ﹣2是关于x的二次函数，则m=_____．
x=h
a<0
图像与性质
y x=h
x O a>0
y O
x
x=h a<0
二次函数
顶点式 [y=a(x-h)2+k,(a≠0]
增减性： 【a>0】 x<h，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 x>h，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
【a<0】 x<h，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 x>h，即在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
|a|越大，开口越小； 初中学生由于正处在初级的逻辑思维阶段，知记知识时机械记忆的成分较多，理解记忆的成分较少，这就不能适应初中学生的新要求
。因此，重a>视0对学生进行记法指导，使其能够容易记忆，这是初中数学教学的必然要求。
y
|a|越小，开口越大。
O
x
对称轴：直线x=h(y轴)
顶点坐标：（h，k）
【a<0】 二次函数有最大值，即当x=0时，y最大值=0，此时最 高点为（0，0）
ax2 a<0
图像与性质
二次函数
顶点式 [y=a(x-h)2+k,(a≠0]
y x=h
开口方向及其大小：
(3)定时定量做一些客观题和中档题，训练速度和a正>0确开率，口适量向做上一些，综合并题向，提上高解无题限思维延能力伸。；并及时总结、记忆，内化提高。
二次函数
概念
a<0开口向下，并向下无限延伸。
待定系数法求解二次函数解析式
a>0开口向上，并向上无限延伸；
【例题】下列函数是二次函数的是（ 【练习2】若 A(-4,y1)，B(-1,y2) ，C(2,y3) 为二次函数
③不等式ax2+bx+c>0的解集是x>2；
）
A．y=2x+1 B． y=-2x+1 C．y=x +1 【练习1】下列关于二次函数y=2x2+3，下列说法正确的是（ ）．
x O a>0
y O
x
ax2 a<0
二次函数
开口方向及其大小： a>0开口向上，并向上无限延伸； a<0开口向下，并向下无限延伸。 |a|越大，开口越小； |a|越小，开口越大。
对称轴：直线x=0(y轴) 顶点坐标：（0，0）
图像与性质 (y=ax2)
y ax2
x O a>0
y O
x
二次函数
【例1】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) (1) (1)
(2)
【例2】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ a(x＋c)2的图象大致为()
A．
B．
C．
D．
图像与性质
二次函数
【练习1】下列关于二次函数y=2x2+3，下列说法正确的是 （ ）．
A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是(2,3)
【练习1】已知二次函数y=7x2+13x+9,求此二次函数图象的顶点坐标__________
_2Biblioteka 已知抛物线上任意三点坐标时
D．1/2x+1
x<h，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
一次函数:一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.
一抛物线的形状，开口方向与y=3/2x2-3x+1 相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解析式为_______．
图像与性质
y x=h
x O a>0
y O
x
x=h a<0
二次函数
顶点式 [y=a(x-h)2+k,(a≠0]
最值： 【a>0】 二次函数有最小值，即当x=h时，y最小值=0， 此时最低点为（h，k）
【a<0】 二次函数有最大值，即当x=h时，y最大值=0， 此时最高点为（h，k）
图像与性质
二次函数
二次函数
概念
C．
D．
当一直抛物线的顶点坐标或对称轴或最大（小）值时
x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
[【y=练a(习x-h1】)2+已k,知(a≠二定0次] 函义数y：=7x2+一13x+般9,求地此二，次函形数图如象的y顶=点a坐x标2__+__b__x__+__c_(a,b,c是常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量，a,b,c分别 二次函数有最小值，即当x=0时，y最小值=0，此时最低点为（0，0）
图像与性质
y x=h
二次函数
一般式 [y=ax2+bx+c,(a≠0)]
x O a>0
y O
x
x=h
a<0
图像与性质
y x=h
x O a>0
y O
x
x=h a<0
二次函数
一般式 [y=ax2+bx+c,(a≠0)]
增减性： 【a>0】 x<-b/2a，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 x>-b/2a，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
【a<0】 x<-b/2a，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 x>-b/2a，即在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
图像与性质
y x=h
二次函数
一般式 [y=ax2+bx+c,(a≠0)]
x O a>0
y O
x
x=h
a<0
二次函数
图像与性质 一般式
【例题】点 （a,5)在 y=x2+5x-1的图象上，则a为（
a<0开口向下，并向下无限延伸。 2.有的同学漠视自己作业和考试中出现的错误，将他们简单的归结为粗心大意。这是很严重的错误想法，我们的错误都有其必然性，一
定要究根问底，找出真正的原因，及时改正，并记住这样的教训。
30 逆定理 和一条线段两个端点x距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
22 等腰三O角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
x<-b/2a，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
注意： 【例1】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
①自变量的最高次数必须是2（也就是说在y=ax2+bx+c中，a≠0，
而b，c可以为0）
②含自变量的代数式是整式，而不是分式
3.一抛物线的形状，开口方向与y=3/2x2-3x+1 相
同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解析式为 _______．
作业
4.如图，在Rt▲AOB 中，AB⊥OB ，且AB=OB=3 ，设直线x=t截此三 角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下
列选项中的
A．
B．
C．
D．
C．当x<-1时，y 随x的增大而增大
D．当x=0时， 有最小值是3
【练习2】若 A(-4,y1)，B(-1,y2) ，C(2,y3) 为二次函数 y=-(x+2)2+3 的图象上的三点，则 y1，y2 ，y3 的关系是（ ）． A．y1<y2<y3 B． y3<y1<y2 C． y3<y2<y1 D． y2<y1<y3
待定系数法求解 二次函数解析式
二次函数
【例题】 已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0) (1)求抛物线的解析式 (2）求抛物线的顶点坐标
作业
1.二次函数y＝x2＋1的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
A．①②
B．①④
C．①③ D．②③④
待定系数法求解 二次函数解析式
形式 一般式
顶点式
交点式
二次函数
解析式（a≠0） y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
适用条件 已知抛物线上任意三点 坐标时
当一直抛物线的顶点坐 标或对称轴或最大（小） 值时
已知抛物线与x轴的两交 点坐标
A．y=2x+1 B． y=-2x+1 C．y=x2 +1 D．1/2x+1
[y=ax2+bx+c,(a≠0)]
【练习】已知函数y=（m﹣2）x 二次函数有最大值，即当x=0时，y最大值=0，此时最高点为（0，0）
m2+m-4
﹣2是关于x的二次
函数，则m=_____．
图像与性质 (y=ax2)
y ax2
二次函数的图像与性质
所学过的函数
正比例函数：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的 函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
一次函数:一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)， 那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx， 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
什么样的函数叫做二次函数呢？
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