数学奥林匹克高中训练题(17)及答案[最新版]

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数学奥林匹克高中训练题（17）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题22)集合111{|log 2,}23n
n n N -<<-∈的真子集的个数是(A)． (A) 7 (B)8 (C)31 (D)32
2．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．
(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个
3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．
(A){1,2,3,4,5,6} (B) {0,1,2,3,4,5,6} (C) {0,1,3,4,5,6} (D) {0,1,2,3,5,6}
4．(训练题22) 函数(),()y f x y g x ==的定义域及值域都是R ，且都存在反函数，则11((()))y f g f x --=的反函数是(B)．
(A)1((()))y f g f x -= (B) 1((()))y f g f x -= (C) 11((()))y f g f x --= (D) 11((()))y f g f x --=
5．(训练题22) 若cos 40sin 40o o ω=+,则1239239ωωωω-++++等于(D)． (A)1cos 2018o (B) 1sin 409o (C) 1cos 409o (D) 2sin 209o 6．(训练题22) 当01x <<时，2
22sin sin sin ,(),x x x x x x
的大小关系是(B)． (A) 222sin sin sin ()x x x x x x << (B) 2
22sin sin sin ()x x x x x x
<< (C) 222sin sin sin ()x x x x x x << (D) 222sin sin sin ()x x x x x x
<< 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题22) 已知211
(),()5,()2
f x x
g x x g x -==-+表示)(x g 的反函数，设11()(())(())F x f g x g f x --=-．则()F x 的最小值是 703
．
2．(训练题22) 在1000和9999之间由四个不同数字组成，且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有 840 个．
3．(训练题22) 四面体P ABC -中，,8,6,9,120o PC ABC AB BC PC ABC ⊥===∠=面，则二面
角B AP C --的余弦值是 ． 4．(训练题22) 设{}P =不少于3的自然数，在P 上定义函数f 如下：若,()n P f n ∈表示不是n 的约数的最小自然数，则(360360)f = 16 ．
5．(训练题22)n 为不超过1996的正整数，如果有一个θ，使(sin cos )sin cos n
i n i n θθθθ+=+成立，则满足上述条件的n 值共有 498 个．
6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25，按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则红色子列中由1开始数起的第1996个数是 3929 ． 第二试
一、(训练题22)(本题满分25分) 点M 是正三角形内一点，证明：由线段,MA MB 和MC 为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的13
． 二、(训练题22)(本题满分25分) 若21x y +≥，试求函数2224u y y x x =-++的最小值．95-
三、(训练题22)(本题满分35分) 证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数x 和y ，使得如下
不等式成立0212x y x y xy
-≤<+++． 四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”，假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”，证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边．
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