新高考数学-空间向量与立体几何-第2课时教案
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第5页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
2．在两个向量共线的充要条件中，为何要求 b≠0? 答：当 b＝0 时，若 a≠0，仍有 a∥b，但不存在 λ∈R，使得 a＝λb.
第6页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
3．空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 答：共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加 减运算与平面中一致．
课时学案
第9页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
题型一 向量的共线问题 例 1 (1)已知 A，B，C 三点共线，O 为直线外任意一点，若O→C＝mO→A＋nO→B， 则 m＋n＝____1____． 【解析】 由于 A，B，C 三点共线，所以存在实数 λ，使得A→C＝λA→B，即O→C －O→A＝λ(O→B－O→A)，所以O→C＝(1－λ)O→A＋λO→B，所以 m＝1－λ，n＝λ，所以 m＋ n＝1.
的直线互相____平__行__或__重_合_______
平行于同一个平面的向量
充要 条件
对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，若两个向量 a，b 不共线，则向量 p
a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使 a 与 a，b 共面的充要条件是存在唯一的
＝λb
有序实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb
第3页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
第15页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
A→1F＝25A→1C＝25(A→C－A→A1) ＝25(A→B＋A→D－A→A1)＝25a＋25b－25c. 所以E→F＝A→1F－A→1E＝25a－145b－25c＝25(a－23b－c)， 又E→B＝E→A1＋A→1A＋A→B＝－23b－c＋a＝a－23b－c， 所以E→F＝25E→B，且有公共点 E，所以 E，F，B 三点共线．
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
课内导航
01 课时学案 02 课后巩固
第1页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
1.1.1 空间向量及其线性运算(第2课时) 共线向量与共面向量
第2页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
要点 共线向量与共面向量
共线(平行)向量
共面向量
表示若干空间向量的有向线段所在 定义
第10页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
(2)如图，四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形且不共面．M，N 分别是 AC， BF 的中点．试判断C→E与M→N是否共线？
第11页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
【解析】 因为 M，N 分别是 AC，BF 的中点， 四边形 ABCD，ABEF 都为平行四边形， 所以M→N＝M→A＋A→F＋F→N＝12C→A＋A→F＋12F→B ＝12C→A＋A→F＋12(A→B－A→F) ＝12C→A＋12A→F＋12A→B＝12(A→B＋A→F－A→C)． 又C→E＝C→A＋A→F＋F→E＝A→F－A→C＋A→B＝A→B＋A→F－A→C，所以M→N＝12C→E. 所以M→N∥C→E，即C→E与M→N共线．
(2)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A→1E ＝2E→D1，F 在对角线 A1C 上，且A→1F＝23F→C.求证：E，F，B 三点 共线．
【证明】 连接 AC，EF，EB，设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c. 因为A→1E＝2E→D1，A→1F＝23F→C， 所以A→1E＝23A→D＝23b，
使A→P＝___xA_→_B_＋_y_A→_C___，或对空间任意
一点 O 来说，有O→P＝O→A＋xA→B＋yA→C 若在 l 上取A→B＝a，则上式可化为O→P＝O→A＋tA→B
第4页
Hale Waihona Puke 新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
1．平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 答：对任意两个平面向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使 a ＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量．
证明一直线上有一点不在另一条直线上．
②三点共线：证明三点 A，B，C 共线，只需证明存在实数 λ，使A→B＝λB→C或
A→B＝λA→C即可．
第13页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
思考题 1 (1)设向量 e1，e2 是不共线的两个向量，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1 ＋6e2，判断向量 a 与 b 是否共线．
第16页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
题型二 向量的共面问题
例 2 (1)在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 DD1 的中点，N∈AC，且 AN∶NC ＝2，求证：A1，B，N，M 四点共面．
第7页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
4．当 a，b 共线时，三个向量共面的充要条件是否成立？ 答：当 p 与 a，b 都共线时，存在不唯一的实数对(x，y)使 p＝xa＋yb 成立．当 p 与 a，b 不共线时，不存在(x，y)使 p＝xa＋yb 成立．
第8页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
第12页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
探究 1 (1)判断向量共线的策略：
①熟记共线向量的充要条件：a.若 a∥b，b≠0，则存在唯一实数 λ 使 a＝λb；
b.若存在唯一实数 λ，使 a＝λb，则 a∥b.
②判断向量共线的关键：找到实数 λ.
(2)三点共线与直线平行的判断：
①线线平行：证明两直线平行要先证明两直线的方向向量 a，b 平行，还要
【解析】 假设 a，b 共线，则 a＝λb，即 3e1＋4e2＝λ(－3e1＋6e2)，即 3e1 ＋4e2＝－3λe1＋6λe2，因为 e1，e2 不共线，所以－ 6λ3λ＝＝43. ，方程组无解，故不存
在实数 λ，使 a＝λb，所以向量 a 与 b 不共线．
第14页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
如果 l 为经过 A 且平行于已知非零向量 a 的直
线，那么对于空间任一点 O，点 P 在直线 l 上
推论
的充要条件是存在实数 t，使O→P＝O→A＋ta，其 中 a 叫做直线 l 的___方__向__向_量_____，如图所示． 如图，空间一点 P 位于平面 ABC 内的
充要条件是存在有序实数对(x，y)，
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
2．在两个向量共线的充要条件中，为何要求 b≠0? 答：当 b＝0 时，若 a≠0，仍有 a∥b，但不存在 λ∈R，使得 a＝λb.
第6页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
3．空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 答：共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加 减运算与平面中一致．
课时学案
第9页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
题型一 向量的共线问题 例 1 (1)已知 A，B，C 三点共线，O 为直线外任意一点，若O→C＝mO→A＋nO→B， 则 m＋n＝____1____． 【解析】 由于 A，B，C 三点共线，所以存在实数 λ，使得A→C＝λA→B，即O→C －O→A＝λ(O→B－O→A)，所以O→C＝(1－λ)O→A＋λO→B，所以 m＝1－λ，n＝λ，所以 m＋ n＝1.
的直线互相____平__行__或__重_合_______
平行于同一个平面的向量
充要 条件
对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，若两个向量 a，b 不共线，则向量 p
a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使 a 与 a，b 共面的充要条件是存在唯一的
＝λb
有序实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb
第3页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
第15页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
A→1F＝25A→1C＝25(A→C－A→A1) ＝25(A→B＋A→D－A→A1)＝25a＋25b－25c. 所以E→F＝A→1F－A→1E＝25a－145b－25c＝25(a－23b－c)， 又E→B＝E→A1＋A→1A＋A→B＝－23b－c＋a＝a－23b－c， 所以E→F＝25E→B，且有公共点 E，所以 E，F，B 三点共线．
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
课内导航
01 课时学案 02 课后巩固
第1页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
1.1.1 空间向量及其线性运算(第2课时) 共线向量与共面向量
第2页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
要点 共线向量与共面向量
共线(平行)向量
共面向量
表示若干空间向量的有向线段所在 定义
第10页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
(2)如图，四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形且不共面．M，N 分别是 AC， BF 的中点．试判断C→E与M→N是否共线？
第11页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
【解析】 因为 M，N 分别是 AC，BF 的中点， 四边形 ABCD，ABEF 都为平行四边形， 所以M→N＝M→A＋A→F＋F→N＝12C→A＋A→F＋12F→B ＝12C→A＋A→F＋12(A→B－A→F) ＝12C→A＋12A→F＋12A→B＝12(A→B＋A→F－A→C)． 又C→E＝C→A＋A→F＋F→E＝A→F－A→C＋A→B＝A→B＋A→F－A→C，所以M→N＝12C→E. 所以M→N∥C→E，即C→E与M→N共线．
(2)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A→1E ＝2E→D1，F 在对角线 A1C 上，且A→1F＝23F→C.求证：E，F，B 三点 共线．
【证明】 连接 AC，EF，EB，设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c. 因为A→1E＝2E→D1，A→1F＝23F→C， 所以A→1E＝23A→D＝23b，
使A→P＝___xA_→_B_＋_y_A→_C___，或对空间任意
一点 O 来说，有O→P＝O→A＋xA→B＋yA→C 若在 l 上取A→B＝a，则上式可化为O→P＝O→A＋tA→B
第4页
Hale Waihona Puke 新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
1．平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 答：对任意两个平面向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使 a ＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量．
证明一直线上有一点不在另一条直线上．
②三点共线：证明三点 A，B，C 共线，只需证明存在实数 λ，使A→B＝λB→C或
A→B＝λA→C即可．
第13页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
思考题 1 (1)设向量 e1，e2 是不共线的两个向量，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1 ＋6e2，判断向量 a 与 b 是否共线．
第16页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
题型二 向量的共面问题
例 2 (1)在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 DD1 的中点，N∈AC，且 AN∶NC ＝2，求证：A1，B，N，M 四点共面．
第7页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
4．当 a，b 共线时，三个向量共面的充要条件是否成立？ 答：当 p 与 a，b 都共线时，存在不唯一的实数对(x，y)使 p＝xa＋yb 成立．当 p 与 a，b 不共线时，不存在(x，y)使 p＝xa＋yb 成立．
第8页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
第12页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
探究 1 (1)判断向量共线的策略：
①熟记共线向量的充要条件：a.若 a∥b，b≠0，则存在唯一实数 λ 使 a＝λb；
b.若存在唯一实数 λ，使 a＝λb，则 a∥b.
②判断向量共线的关键：找到实数 λ.
(2)三点共线与直线平行的判断：
①线线平行：证明两直线平行要先证明两直线的方向向量 a，b 平行，还要
【解析】 假设 a，b 共线，则 a＝λb，即 3e1＋4e2＝λ(－3e1＋6e2)，即 3e1 ＋4e2＝－3λe1＋6λe2，因为 e1，e2 不共线，所以－ 6λ3λ＝＝43. ，方程组无解，故不存
在实数 λ，使 a＝λb，所以向量 a 与 b 不共线．
第14页
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
如果 l 为经过 A 且平行于已知非零向量 a 的直
线，那么对于空间任一点 O，点 P 在直线 l 上
推论
的充要条件是存在实数 t，使O→P＝O→A＋ta，其 中 a 叫做直线 l 的___方__向__向_量_____，如图所示． 如图，空间一点 P 位于平面 ABC 内的
充要条件是存在有序实数对(x，y)，